Hertz點(diǎn)接觸參數(shù)的工程計(jì)算方法

楊咸啟,榮超,鄒星波

(1.黃山學(xué)院,安徽 黃山 242700;2.安徽日飛軸承有限公司,安徽 銅陵 244000)

在球軸承零件受力分析時(shí)，需考慮2個(gè)零件的相互接觸力，該接觸力通常為Hertz點(diǎn)接觸應(yīng)力分布。Hertz點(diǎn)接觸是指在空載狀態(tài)下2個(gè)物體初始接觸為一個(gè)點(diǎn)的二次光滑曲面的接觸。在計(jì)算接觸力的大小時(shí)首先要利用接觸表面的曲率系數(shù)，再計(jì)算橢圓積分函數(shù)，但該計(jì)算過(guò)程相對(duì)復(fù)雜[1-4]。鑒于此，給出了近似的Hertz點(diǎn)接觸參數(shù)的近似計(jì)算方法，從而方便分析接觸應(yīng)力分布情況。

1 Hertz點(diǎn)接觸參數(shù)理論計(jì)算方法

一般Hertz點(diǎn)接觸模型和接觸區(qū)域如圖1所示。分析接觸應(yīng)力時(shí)需要計(jì)算的接觸參數(shù)有：接觸區(qū)域橢圓長(zhǎng)、短半軸和2個(gè)接觸體的彈性趨近量。

圖1 Hertz點(diǎn)接觸模型Fig.1 Hertzian point contact model

利用彈性力學(xué)接觸理論，可以得到點(diǎn)接觸區(qū)域上的表面壓應(yīng)力分布為[4]

(1)

式中：a，b分別為接觸區(qū)域橢圓長(zhǎng)、短半軸；Q為法向接觸載荷。

假設(shè)相互接觸的軸承零件材料均為GCr15，其彈性模量E=207 GPa，泊松比ν=0.3, 則接觸橢圓長(zhǎng)、短半軸分別簡(jiǎn)化為

(2)

(3)

式中：F(e),E(e)分別為第一、二類完全橢圓積分；e為接觸橢圓率；∑ρ為曲率和函數(shù)；對(duì)于凸面±取+,對(duì)于凹面±取-;RⅠ1,RⅠ2分別為接觸體1，2在第Ⅰ主曲面內(nèi)接觸點(diǎn)的曲率半徑；RⅡ1，RⅡ2分別為接觸體1，2在第Ⅱ主曲率面內(nèi)接觸點(diǎn)的曲率半徑。

2個(gè)接觸體的彈性接觸趨近量為

δ=2.791×10-4δ*(Q2∑ρ)1/3,

(4)

為了計(jì)算接觸區(qū)域參數(shù)，需要采用曲率比函數(shù)，即

(5)

式中：ρⅠ1,ρⅠ2分別為接觸體1，2在第Ⅰ主曲面內(nèi)接觸點(diǎn)的主曲率；ρⅡ1，ρⅡ2分別為接觸體1，2在第Ⅱ主曲率面內(nèi)接觸點(diǎn)的曲率。

曲率比函數(shù)又可表示為

(6)

當(dāng)已知接觸表面的主曲率后，首先計(jì)算出F(ρ)，再定出接觸橢圓率e。進(jìn)一步計(jì)算出第一、二類完全橢圓積分F(e),E(e)及a*，b*，δ*，但該計(jì)算過(guò)程復(fù)雜。實(shí)際工程問(wèn)題計(jì)算中是給定參數(shù)e計(jì)算出F(e),E(e),將計(jì)算結(jié)果制成圖表。利用圖表直接查找和插補(bǔ)方法來(lái)進(jìn)行快速近似計(jì)算。

2 點(diǎn)接觸參數(shù)近似計(jì)算方法

由于理論計(jì)算方法過(guò)程復(fù)雜，主要步驟是確定接觸橢圓偏心率及橢圓積分，再通過(guò)(2)～(4)式確定接觸參數(shù)a，b，δ，最終得到接觸應(yīng)力分布情況。下面介紹3種接觸橢圓率及橢圓積分的近似計(jì)算方法。

將接觸區(qū)域的主曲率面設(shè)為坐標(biāo)面，第Ⅰ主曲率面內(nèi)包含y軸方向(接觸橢圓短軸方向)，第Ⅱ主曲率面內(nèi)包含x軸方向(接觸橢圓長(zhǎng)軸方向)。將接觸點(diǎn)處的綜合曲率表示為

1/Rx=ρx1+ρx2，

(7)

1/Ry=ρy1+ρy2，

(8)

ρx1=ρⅡ1，ρx2=ρⅡ2，ρy1=ρⅠ1，ρy2=ρⅠ2，

式中：Rx,Ry為接觸體表面的綜合曲率半徑參數(shù)；ρx1，ρx2，ρy1，ρy2為接觸體的主曲率面內(nèi)接觸點(diǎn)的曲率。

由(5)式可得曲率比函數(shù)為

(9)

顯然，這里要求Rx>Ry。

2.1 第1種近似計(jì)算方法

根據(jù)文獻(xiàn)[4]，接觸橢圓半軸比值和橢圓積分的近似計(jì)算方法為

(10)

(11)

(12)

(13)

通過(guò)(11)～(13)式可得到接觸橢圓率及橢圓積分。在上面的計(jì)算過(guò)程中，需要注意接觸區(qū)域的長(zhǎng)軸和短軸與坐標(biāo)軸之間的位置對(duì)應(yīng)關(guān)系。

2.2 第2種近似計(jì)算方法

文獻(xiàn)[5-6]給出了接觸橢圓率e的一種近似計(jì)算方法，即

，(14)

通過(guò)(14)式計(jì)算出e后，再對(duì)橢圓積分進(jìn)行近似計(jì)算，即

F(e)≈1.386 294 4+0.111 972 3(1-e2)+

0.072 529 6(1-e2)2-

[0.5+0.121 347 8(1-e2)+

0.028 872 9(1-e2)2]ln(1-e2)，

(15)

E(e)≈1.0+0.463 015 1(1-e2)+

0.107 781 2(1-e2)2-

[0.245 272 7(1-e2)+

0.041 249 6(1-e2)2]ln(1-e2)，

(16)

通過(guò)(14)～(16)式可得到接觸橢圓率及橢圓積分。利用此方法計(jì)算時(shí)需要注意0

2.3 第3種近似計(jì)算方法

(14)式計(jì)算過(guò)程還是比較復(fù)雜，且參數(shù)F(ρ)趨近于零時(shí)為一種不定式，需要取更多的項(xiàng)才能準(zhǔn)確計(jì)算F(e),E(e)值。為避免不定式計(jì)算,對(duì)橢圓積分進(jìn)行變換,即

(17)

(18)

令

(19)

則

E(e)=(1-e2)F(e)+e2Δ(e)。

(20)

上面各式中，e的取值范圍為0≤e≤1，則π/2≤F(e)<∞，1≤E(e)≤π/2 ，π/4≤Δ(e)≤1。

由(6)式經(jīng)變換可得

(21)

將(20)式代入(21)式可得

(22)

(22)式表示橢圓率與橢圓積分和曲率比函數(shù)的關(guān)系。利用這種曲率比函數(shù)關(guān)系，對(duì)e，F(xiàn)(e),E(e)進(jìn)行近似計(jì)算如下

(23)

(24)

(25)

通過(guò)(23)～(25)式可得到接觸橢圓率及橢圓積分。利用此方法計(jì)算時(shí)，允許0≤F(ρ)≤1。

3 實(shí)例分析

以某深溝球軸承為例，采用上節(jié)介紹的近似方法進(jìn)行接觸參數(shù)計(jì)算，其中的接觸模型如圖2所示。軸承主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為：球徑Dw=22 mm，球組節(jié)圓直徑Dpw=162 mm，內(nèi)、外溝曲率半徑系數(shù)fi= 0.515，fe= 0.520，接觸角α=0。

圖2 深溝球軸承接觸模型Fig.2 Contact model of deep groove ball bearing

在內(nèi)圈溝道接觸點(diǎn)處

(26)

(27)

(28)

(29)

γ=Dwcosα/Dpw。

在外圈溝道接觸點(diǎn)處

(30)

(31)

(32)

(33)

通過(guò)(26)～(33)式，可得Rx，Ry，F(xiàn)(ρ)，見(jiàn)表1。

表1 Rx，Ry，F(xiàn)(ρ)的計(jì)算結(jié)果Tab.1 Calculated results of Rx，Ry，F(xiàn)(ρ)

再用上述3種近似計(jì)算方法計(jì)算e,F(e)和E(e)，結(jié)果見(jiàn)表2。3種近似計(jì)算的接觸橢圓率e比較接近，而第1種和第2種近似計(jì)算方法的F(e)，E(e)較接近，第3種計(jì)算方法計(jì)算過(guò)程更為簡(jiǎn)化一些。

表2 e，F(xiàn)(e),E(e)的計(jì)算結(jié)果Tab.2 Calculated results of e,F(e)，E(e)

4 結(jié)束語(yǔ)

介紹了Hertz點(diǎn)接觸的理論計(jì)算方法，將Hertz點(diǎn)接觸參數(shù)計(jì)算過(guò)程進(jìn)行了近似計(jì)算。擬合出Hertz點(diǎn)接觸曲率函數(shù)與接觸橢圓偏心率e、橢圓積分之間的關(guān)系函數(shù)。在接觸計(jì)算工程中省去了復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程，使得接觸計(jì)算變得相對(duì)簡(jiǎn)化。最后以深溝球軸承為例進(jìn)行實(shí)例分析，并對(duì)比分析了3種近似計(jì)算方法。說(shuō)明介紹的近似方法是有效的。