淺談研究電源最大輸出功率的幾種方法
2018-07-25 04:55:48邢占樂谷樹亞
物理通報 2018年8期
邢占樂 谷樹亞
(河北蠡縣中學(xué) 河北 保定 071400)
張春梅
(蠡縣大百尺中學(xué) 河北 保定 071400)
在學(xué)習(xí)高中直流電路的知識時，對閉合電路中電源最大輸出功率與負(fù)載的關(guān)系的分析研究過程，可以從不同角度展開，巧妙地用物理規(guī)律公式結(jié)合數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系，采用圖像法推導(dǎo)出電源最大輸出功率的條件 .
1 基本的電學(xué)規(guī)律和概念
1.1 閉合電路歐姆定律
(1)內(nèi)容：閉合電路中的電流強(qiáng)度跟電源的電動勢成正比，跟整個電路的總電阻成反比.
1.2 閉合電路中各部分的電功率
如圖1所示，整個閉合電路包括內(nèi)電路和外電路，內(nèi)電路是指電源內(nèi)部的電路部分，包括內(nèi)電阻，而外電路是指電源兩極之外的電路部分，包括負(fù)載電阻和其他外部電阻.
圖1 閉合電路歐姆定律電路圖
整個電路消耗的功率叫總功率P總，電源的內(nèi)阻消耗的功率叫內(nèi)功率P內(nèi)，電源外部的負(fù)載電阻消耗的功率叫電源輸出功率P出.分別對應(yīng)的表達(dá)式如下：
(1)電源的總功率
P總=IE
(2)內(nèi)電阻內(nèi)耗功率
P內(nèi)=I2r
(3)負(fù)載電阻的功率
P出=P總-P內(nèi)=IE-I2r=IU=I2R
電源輸出的最大功率是我們所要討論的內(nèi)容，影響電路中各部分消耗功率的關(guān)鍵因素是外電阻變化、電路電流變化、路端電壓變化.
2 分析過程和方法
設(shè)定當(dāng)外電阻為純電阻電路時，電源電動勢為E,內(nèi)電阻為r,路端電壓為U，外電阻為R.如圖1所示，研究分析如下.
2.1 電源的輸出功率隨外電阻變化的討論
(1)配完全平方法
負(fù)載電阻R的功率
P出=I2R
(1)
據(jù)閉合電路歐姆定律
(2)
由式(1)、(2)聯(lián)立解得
(3)
從式(3)可以直接看出，當(dāng)R=r時，P出取得最大值，最大值為
由式(3)還可以繪制P出-R圖線，如圖2所示.
圖2 P出-R圖線
可以從圖像中直觀看出，電源的輸出功率隨外電路電阻的變化而變化，P出的數(shù)值隨負(fù)載電阻R數(shù)值的變化并不是單調(diào)的，只有當(dāng)R=r時，P出取得最大值；當(dāng)0
(2)配構(gòu)對勾函數(shù)法
同上由式(1)、(2)聯(lián)立解得負(fù)載電阻R的功率
(4)
式(4)的分母可以按對勾函數(shù)進(jìn)行處理，令式(4)中
存在最大值，最大值為
2.2 電源的輸出功率隨電路中電流變化的討論
(1)構(gòu)建P-I函數(shù)求極值法
據(jù)閉合電路中功率關(guān)系
P出=P總-P內(nèi)=IE-I2r
因電源的電動勢和內(nèi)阻為定值，P出隨電流I的變化而變，可以繪制P出-I二次函數(shù)圖線 ，如圖3所示.
圖3 P-I圖線
通過分析電流的變化可以推出當(dāng)R=r時，電源輸出最大功率為
2.3 電源的輸出功率隨路端電壓變化的討論
(1)構(gòu)建P-U函數(shù)求極值法
負(fù)載電阻R的功率
P出=UI
(5)
將式(2)變形為
(6)
由式(5)、(6)聯(lián)立解得輸出功率表達(dá)式
推得
因電源的電動勢和內(nèi)阻為定值，P出隨電壓U的變化而變，可以繪制P出-U二次函數(shù)圖線，如圖4所示.
圖4 P出-U圖線
2.4 電源的輸出功率從U-I圖像中討論
據(jù)閉合電路歐姆定律，可知路端電壓與電路電流的關(guān)系為
U=E-Ir
(7)
繪制U-I圖像如圖5所示.
圖5 U-I圖線
負(fù)載電阻的電功率
P出=IU
(8)
由式(7)、(8)可知，當(dāng)電路電流為I1,電路電壓為U1，負(fù)載電阻電功率為P1=I1U1，如圖6所示，可以看出矩形陰影面積表示負(fù)載電功率的大小,坐標(biāo)點(diǎn)(I1,U1)與原點(diǎn)連線斜率表示負(fù)載電阻大小，此時負(fù)載阻值為
圖6 當(dāng)電流為I1時，U-I圖像各部分的物理意義
當(dāng)電路電流為I2,電路電壓為U2，負(fù)載電阻電功率為P2=I2U2，如圖7所示,可以看出矩形陰影面積表示負(fù)載電功率的大小,坐標(biāo)點(diǎn)(I2,U2)與原點(diǎn)連線斜率表示負(fù)載電阻大小，此時負(fù)載阻值為
圖7 當(dāng)電流為I2時，U-I圖像各部分的物理意義
圖8 矩形面積最大時所對應(yīng)的各物理量
通過分析U-I圖像里的矩形面積變化可以推出當(dāng)R=r時，電源輸出最大功率為
3 結(jié)束語
通過上述幾種利用數(shù)學(xué)思想方法的探討分析，我們能夠輕松求得電源最大輸出功率的條件及最值，進(jìn)而方便直接、快捷解決相關(guān)直流電路的物理問題，并深知數(shù)學(xué)知識在解決物理問題方面有著重要的作用.其實(shí)很多物理規(guī)律都是通過數(shù)學(xué)建模歸納推導(dǎo)的，希望大家在學(xué)習(xí)物理的過程中牢牢樹立用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的思維和意識，這是學(xué)好物理的前提.
