MATLAB在數(shù)字濾波器教學(xué)中的應(yīng)用楊小鳳

摘要：針對(duì)數(shù)字信號(hào)處理課程的重要教學(xué)內(nèi)容——數(shù)字濾波器，具有概念抽象、理論性強(qiáng)、設(shè)計(jì)方法靈活等特點(diǎn)，以培養(yǎng)應(yīng)用型人才為出發(fā)點(diǎn)，對(duì)課程教學(xué)進(jìn)行了改革與探索，利用MATLAB演示數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程，提高了教學(xué)質(zhì)量，取得了較好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：教學(xué)改革；數(shù)字信號(hào)處理；應(yīng)用型人才培養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）18-0207-03

一、引言

數(shù)字信號(hào)處理（Digital Signal Processing，DSP）是應(yīng)用最廣泛、發(fā)展最迅速的學(xué)科之一，是通信工程、電子信息工程等專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課[1]。數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)是這門課程的重要教學(xué)內(nèi)容，具有概念抽象、理論性強(qiáng)、設(shè)計(jì)方法靈活等特點(diǎn)，對(duì)于應(yīng)用型本科高校的學(xué)生來說，由于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱，不能很好地掌握這部分內(nèi)容的基本原理、物理意義和設(shè)計(jì)方法，更難將其應(yīng)用于今后的學(xué)習(xí)和工作中。

為了達(dá)到培養(yǎng)應(yīng)用型人才的教學(xué)目標(biāo)，筆者對(duì)DSP課程中關(guān)于數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的教學(xué)進(jìn)行了若干教學(xué)改革，根據(jù)因材施教的原則和應(yīng)用性的導(dǎo)向進(jìn)行教學(xué)，授課時(shí)淡化公式的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，僅在必要時(shí)推導(dǎo)一些重要的公式，把概念和結(jié)論講清楚，其余的數(shù)學(xué)內(nèi)容可以讓有興趣的學(xué)生課后自學(xué)，同時(shí)著重強(qiáng)調(diào)概念的物理意義、設(shè)計(jì)方法和應(yīng)用領(lǐng)域，做到數(shù)學(xué)概念、物理意義、設(shè)計(jì)應(yīng)用三者并重。教學(xué)中利用MATLAB軟件強(qiáng)大地?cái)?shù)值分析、信號(hào)處理和圖形顯示的功能，將其與數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的教學(xué)相結(jié)合，不僅可以使學(xué)生從繁重的數(shù)學(xué)運(yùn)算與推導(dǎo)中解脫出來，還可以使設(shè)計(jì)達(dá)到最優(yōu)化，從而快速有效地實(shí)現(xiàn)各種數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)、仿真與性能比較。

二、IIR數(shù)字濾波器的教學(xué)

無限長沖激響應(yīng)（Infinite Impulse Response，IIR）濾波器主要有如下幾種類型：巴特沃斯濾波器（Butterworth）、切比雪夫I型濾波器（Chebyshev I）、切比雪夫II型濾波器（Chebyshev II）和橢圓濾波器（Ellipse）[2]。上課時(shí)應(yīng)說明這幾種濾波器在性能上的區(qū)別，以便學(xué)生設(shè)計(jì)濾波器時(shí)根據(jù)性能要求選擇不同類型的濾波器。對(duì)相同的指標(biāo)要求，巴特沃斯濾波器階數(shù)最高，切比雪夫次之，橢圓濾波器階數(shù)最低；當(dāng)階數(shù)相同時(shí)，巴特沃斯濾波器過渡帶最寬，橢圓濾波器過渡帶最窄。

IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果是濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（z），設(shè)計(jì)步驟為：首先確定濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率wc，然后得到濾波器系統(tǒng)函數(shù)，運(yùn)用MATLAB進(jìn)行設(shè)計(jì)也相應(yīng)地需要調(diào)用兩個(gè)函數(shù)。

設(shè)計(jì)巴特沃斯數(shù)字濾波器：

[N，wc]=butterord（wp，ws，Rp，As）；[B，A]=butter

（N，wc，ftype）；

設(shè)計(jì)切比雪夫（I型）數(shù)字濾波器：

[N，wc]=cheb1ord（wp，ws，Rp，As）；[B，A]=cheby1

（N，Rp，wp，ftype）；

設(shè)計(jì)橢圓數(shù)字濾波器：

[N，wc]=ellipord（wp，ws，Rp，As）；[B，A]=ellip（N，

Rp，As，wc，ftype）；

其中，wp為通帶截止頻率；ws為阻帶截止頻率；Rp為通帶最大衰減；As為阻帶最小衰減；ftype為濾波器類型，ftype=high時(shí)，設(shè)計(jì)高通濾波器，ftype=stop時(shí)，設(shè)計(jì)帶阻濾波器，省略ftype為低通或帶通濾波器；A、B分別為濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分母多項(xiàng)式系數(shù)和分子多項(xiàng)式系數(shù)。講解各個(gè)參數(shù)的含義時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生查閱MATLAB幫助文件，培養(yǎng)學(xué)生觸類旁通的能力。下面通過兩個(gè)案例說明如何運(yùn)用MATLAB進(jìn)行IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的教學(xué)。

例1：設(shè)計(jì)一個(gè)低通數(shù)字濾波器，要求在通帶[0，0.2π]內(nèi)衰減不大于3dB，在阻帶[0.6π，π]內(nèi)衰減不小于40dB，且幅頻特性單調(diào)下降。

解：因?yàn)轭}目要求濾波器的幅頻特性單調(diào)下降，因此選擇巴特沃斯濾波器。MATLAB設(shè)計(jì)程序如下，濾波器幅頻響應(yīng)如圖1所示，從圖1可以看出邊界頻率處的衰減均符合題目指標(biāo)要求。

wp=0.2；ws=0.6；rp=3；rs=40；

[N，wc]=buttord（wp，ws，rp，rs）；

[B，A]=butter（N，rp，wc）；

hfvt=fvtool（B，A）；%畫幅頻響應(yīng)圖

例2：設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字低通濾波器，要求濾波器階數(shù)最低。等效的模擬低通濾波指標(biāo)是fp=100Hz，ap=1dB，fs=250Hz，as=60dB，采樣周期T=1ms。

解：因?yàn)轭}目要求濾波器的幅頻特性單調(diào)階數(shù)最低，因此選擇橢圓濾波器。MATLAB設(shè)計(jì)程序如下，濾波器幅頻響應(yīng)如圖2所示，從圖2可以看出邊界頻率處的衰減均符合題目指標(biāo)要求。

fp=100；fs=250；T=0.001；

wp=2*fp*T；ws=2*fs*T；

rp=1；rs=60；

[N，wc]=ellipord（wp，ws，rp，rs）；

[B，A]=ellip（N，rp，rs，wc）；

hfvt=fvtool（B，A）；

以上詳細(xì)介紹了利用MATLAB設(shè)計(jì)兩種IIR數(shù)字低通濾波器的方法，兩者的幅頻特性圖直觀地展示了巴特沃斯和橢圓濾波器的不同特點(diǎn)，給學(xué)生留下了深刻的印象。該方法也可以推廣到IIR高通、帶通和帶阻數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。在教學(xué)中利用MATLAB仿真軟件演示數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程，可以幫助學(xué)生深入理解數(shù)字濾波器的基本理論和設(shè)計(jì)方法。

三、FIR數(shù)字濾波器的教學(xué)

有限長沖激響應(yīng)（Finite Impulse Response，F(xiàn)IR）濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果是濾波器的單位脈沖響應(yīng)h（n），設(shè)計(jì)方法主要有兩種：窗函數(shù)法和等波紋最佳一致逼近法。窗函數(shù)法的逼近誤差在整個(gè)頻域分布極不均勻，在誤差最小的頻段往往遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于指標(biāo)。指標(biāo)相同時(shí)等波紋最佳一致逼近法使濾波器的階數(shù)最低，階數(shù)相同時(shí)使最大逼近誤差最小，即通帶最大衰減最小，阻帶最小衰減最大。

窗函數(shù)法的基本步驟：首先根據(jù)阻帶最小衰減選擇窗函數(shù)的類型，然后根據(jù)過渡帶寬度確定所選窗函數(shù)的長度，再調(diào)用MATLAB函數(shù)的fir1實(shí)現(xiàn)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)：hn=fir1（N，wc，ftype，window）；N為濾波器階數(shù)，等于窗長度減一；wc為過渡帶中心頻率，對(duì)π歸一化的數(shù)字頻率；ftype為濾波器類型；window為窗函數(shù)類型，常用的窗函數(shù)有海明窗（Hamming）、漢寧窗（Hanning）、布萊克曼窗（Blackman）等。上課時(shí)應(yīng)重點(diǎn)講解如何根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)選擇窗函數(shù)。

等波紋最佳一致逼近法可以利用MATLAB函數(shù)的remezord和remez來實(shí)現(xiàn)：[N，fo，mo，w]=remezord（f，m，rip，F(xiàn)s）；hn=remez（N，fo，mo，w，ftype）.

其中，f為邊界頻率向量；m為與f對(duì)應(yīng)的幅度向量；rip為各逼近頻段允許的波紋振幅（幅頻響應(yīng)偏差）；Fs為采樣頻率（省略時(shí)默認(rèn)為2Hz）；w為誤差加權(quán)向量。

下面通過一個(gè)案例說明如何運(yùn)用MATLAB進(jìn)行FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的教學(xué)。

例：用窗函數(shù)法和等波紋最佳一致逼近法設(shè)計(jì)一個(gè)FIR帶通濾波器，要求：阻帶下截止頻率ωls=0.2π，阻帶上截止頻率ωus=0.8π，通帶下截止頻率ωlp=

0.35π，通帶上截止頻率ωup=0.65π，通帶最大衰減 ap=1dB，阻帶最小衰減as=60dB。比較兩種方法的設(shè)計(jì)結(jié)果有何不同。

解：（1）窗函數(shù)法的關(guān)鍵在于正確選擇窗函數(shù)的類型，因?yàn)樽鑾ё钚∷p為60dB，因此只能選擇布萊克曼窗。MATLAB設(shè)計(jì)程序如下：濾波器的單位脈沖響應(yīng)和幅頻響應(yīng)如圖3所示，從圖3可以看出濾波器的階數(shù)為80，通帶性能指標(biāo)和題目要求較為接近，而阻帶最小衰減比題目要求多了10dB左右。

wls=0.2*pi；wlp=0.35*pi；wup=0.65*pi；

B=wlp-wls； % 過渡帶寬

N=ceil（12*pi/B）； % 選擇blackman窗（過渡帶寬12*pi/N）

wc=[wlp/pi-6/N，wup/pi+6/N]；

hn=fir1（N-1，wc，blackman（N））；

（2）等波紋最佳一致逼近法的MATLAB設(shè)計(jì)程序如下：濾波器的單位脈沖響應(yīng)和幅頻響應(yīng)如圖4所示，從圖4可以看出濾波器的幅頻響應(yīng)在通帶和阻帶都是等波紋的，濾波器的階數(shù)為28，比窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)結(jié)果（80階）要低得多，而且等波紋最佳一致法設(shè)計(jì)的性能指標(biāo)比較接近題目要求，使最大逼近誤差最小化。通過圖3和圖4的比較，直觀地展示了窗函數(shù)法和等波紋最佳一致逼近法的不同性能，大大增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)抽象概念和設(shè)計(jì)方法的理解。

f=[0.2，0.35，0.65，0.8]；m=[0，1，0]；rp=1；rs=60；

deta1=（10^（rp/20）-1）/（10^（rp/20）+1）；

deta2=10^（-rs/20）；

rip=[deta2，deta1，deta2]；

[N，fo，mo，w]=remezord（f，m，rip）；

N=N+2；% remezord估算的階數(shù)偏小，需要調(diào)整

hn=remez（N，fo，mo，w）；

四、結(jié)語

筆者根據(jù)應(yīng)用型本科高校人才培養(yǎng)的目標(biāo)和需求，將MATLAB仿真引入DSP課程教學(xué)，利用MATLAB演示數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程，不僅形象生動(dòng)，而且加強(qiáng)了課程內(nèi)容之間的相互聯(lián)系，能夠充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與主動(dòng)性，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)數(shù)字濾波器的基本理論和設(shè)計(jì)方法的理解和掌握，希望能對(duì)教學(xué)改革起到拋磚引玉的作用，以取得更好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]丁玉美，高西全.數(shù)字信號(hào)處理[M].西安電子科技大學(xué)出版社，2013.

[2]胡廣書.數(shù)字信號(hào)處理導(dǎo)論[M].第二版.北京：清華大學(xué)出版社，2013.