演繹推理：從“邏輯認(rèn)知”走向“思維通透”

胡春燕??

摘 要：數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是思維方式，是歸納和演繹的邏輯思維方式?？v觀小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)以發(fā)展合情推理為主，演繹推理相對薄弱，甚至缺失?；诟吣昙?jí)兒童邏輯思維能力迅速發(fā)展的特征，應(yīng)將演繹推理能力的培養(yǎng)貫穿于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的各種活動(dòng)過程：在新知探索中，感受演繹推理的必要性；在練習(xí)應(yīng)用中，發(fā)展演繹推理的能力；在知識(shí)梳理中，提升演繹推理的能力。

關(guān)鍵詞：演繹推理；邏輯思維；循序漸進(jìn)

一、 問題緣起：中美數(shù)學(xué)課對比賞析

雞兔同籠問題是我國古代的數(shù)學(xué)名題。學(xué)習(xí)過不少名師的經(jīng)典課，收獲頗豐，發(fā)現(xiàn)國內(nèi)數(shù)學(xué)課堂注重培養(yǎng)學(xué)生的策略意識(shí)和問題解決能力，主流教法是出示問題、嘗試解決、策略交流、總結(jié)方法、策略提煉。

美國數(shù)學(xué)課堂教學(xué)雞兔同籠的方式不同于中國課堂，筆者選取一部分教學(xué)實(shí)錄呈現(xiàn)如下：一個(gè)住湖邊的老人養(yǎng)有狗和鴨，某天老人看到5個(gè)頭和14只腳，老人看到的是多少條狗、多少只鴨？片刻，學(xué)生便用二元一次方程找到了解決方案。老師沒有讓學(xué)生計(jì)算答案。而是讓學(xué)生通過兩個(gè)式子來推理，解釋答案是否合理。下面是師生對話：

師：答案是5只狗和4只鴨，對不對？生：不對，老人只看到5個(gè)頭。

師：狗不少于4條，對不對？生：不對，腳的總數(shù)是14，4條狗就16條腿了。

師：那會(huì)不會(huì)是三條狗呢？學(xué)生陷入沉思，發(fā)現(xiàn)3條狗12只腳，5個(gè)頭14只腳的話，那么兩只鴨子兩條腿，除非……教室里哄堂大笑。

師：假設(shè)鴨和狗都是進(jìn)化完整的，該有多少只鴨子呢？

學(xué)生議論紛紛：前提是不能超過5個(gè)頭和14只腳。

師：如果狗少于三只，能推出鴨子的數(shù)量嗎？生1：鴨子必須三只以上……因?yàn)椤?：如果三只鴨子，就有6條腿，狗就有……生3：如果狗腳不多于12條，就是狗不能多于3條，那么鴨子至少3只才能湊夠5個(gè)頭……

學(xué)生完成推理過程后老師才讓他們計(jì)算。

二、 深度思考：數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)追求

筆者并不“崇洋媚外”，更不會(huì)“拿來主義”，只是“理性思考”，對比中美課堂的不同風(fēng)格，剖析美國課堂的教學(xué)立意，“去其糟粕，取其精華”：美國老師并不滿足于計(jì)算尋求答案，而是“磨洋工”式地不斷提出假設(shè)，引發(fā)全方位的思考、猜想、推理、辨析，讓學(xué)生明白解題的理由，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。的確，數(shù)學(xué)不是算術(shù)，數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是思維方式，是歸納和演繹的邏輯思維方式。

史寧中教授曾指出：“‘基本思想主要是指演繹和歸納，這應(yīng)當(dāng)是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是最上位的思想?！庇纱丝梢?，推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位。

三、 意蘊(yùn)解讀：演繹推理的內(nèi)涵詮釋

推理，是由一個(gè)或者幾個(gè)已知判斷推出新判斷的思維形式。數(shù)學(xué)推理包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有事實(shí)出發(fā)，憑經(jīng)驗(yàn)和直覺通過歸納和類比等推斷結(jié)果的推理方式，合情推理是一種或然推理，前提正確，推出結(jié)論不一定正確；演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理、法則等）出發(fā)，按照邏輯推理規(guī)則進(jìn)行證明和計(jì)算的推理方式。演繹推理是一種必然推理，前提正確，推出結(jié)論一定正確。

縱觀小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)以發(fā)展合情推理為主，演繹推理相對薄弱，甚至缺失。究其原因，一是兒童個(gè)體發(fā)展中，合情推理先于演繹推理；二是教師在教學(xué)中注重合情推理，相對忽視演繹推理。其實(shí)，數(shù)學(xué)活動(dòng)一般都是“先歸納后演繹”的邏輯推理過程，合情推理和演繹推理二者相互融合、不可偏廢。尤其第二學(xué)段，學(xué)生抽象邏輯思維逐步發(fā)展，在合情推理之后運(yùn)用合適的方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行演繹推理是必要的。

四、 策略建構(gòu)：培養(yǎng)演繹推理能力的多維路徑

《課標(biāo)》指出：“推理能力應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的各種活動(dòng)過程。”因而在教學(xué)過程中教師要給學(xué)生提供各個(gè)領(lǐng)域豐富的、有挑戰(zhàn)性的觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)結(jié)論、解釋結(jié)論、應(yīng)用結(jié)論，逐步培養(yǎng)推理能力。

（一） 在新知探索中，感受演繹推理的必要性

要發(fā)展兒童演繹推理的能力，首先要讓兒童有演繹推理的意識(shí)，感受演繹推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的必要性。

1. 鼓勵(lì)“質(zhì)疑—驗(yàn)證”，論證結(jié)論的科學(xué)性。

發(fā)現(xiàn)式教學(xué)不僅可以用于“發(fā)現(xiàn)”某些結(jié)論，而且可用于讓學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”結(jié)論的證明，恰當(dāng)使用這種方法，能讓學(xué)生在“先歸納后演繹”的邏輯推理中提升推理能力。比如教學(xué)蘇教版四下《乘法分配律》，在用不完全歸納法得出結(jié)論（a+b）×c=a×c+b×c后，很多老師認(rèn)為“大功告成”，便不再深入，導(dǎo)致喪失了培養(yǎng)學(xué)生演繹推理能力的機(jī)會(huì)。如果在大量數(shù)字驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑：“能把所有的情況都舉出來嗎？有什么辦法驗(yàn)證等式任何情況下一定成立？”教師可引導(dǎo)學(xué)生尋找反例，如果找不到也就增強(qiáng)了結(jié)論的正確性。還可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合的方式來驗(yàn)證（如圖）大長方形的面積等于兩個(gè)小長方形的面積之和，因此（a+b）×c=a×c+b×c。

演繹推理的過程是從不完全歸納向完全歸納發(fā)展的必經(jīng)之路。鼓勵(lì)學(xué)生反復(fù)質(zhì)疑合情推理得到的結(jié)論的確定性，啟發(fā)學(xué)生調(diào)動(dòng)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行演繹推理驗(yàn)證，“知其然”更“知其所以然”，在探“本”求“源”中提升思維的深刻性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

2. 引導(dǎo)“猜想—證明”，甄別結(jié)論的合理性。

布魯納指出，“在向?qū)W生揭示演繹和證明之前，使他們對材料有直感的理解是頭等重要的”。讓學(xué)生先猜一猜，力求產(chǎn)生對問題解決的直覺，這樣更容易引發(fā)學(xué)生調(diào)動(dòng)原有知識(shí)和能力綜合展開合乎邏輯的論證或反證過程。

比如教學(xué)蘇教版五下《異分母分?jǐn)?shù)加減法》，首先讓學(xué)生直覺猜想12+14的結(jié)果。在主要的兩種不同結(jié)論13和34的基礎(chǔ)上，教師可引導(dǎo)學(xué)生從多方面辨析證明哪個(gè)結(jié)果正確，哪個(gè)結(jié)果錯(cuò)誤？（1）因?yàn)?2=0.5，14=0.25，0.5+0.25=0.75≠13，所以13是錯(cuò)誤的。（2）因?yàn)?2小時(shí)=30分，14小時(shí)=15分，13小時(shí)=20分鐘，所以13是錯(cuò)誤的。（3）12>13，兩數(shù)之和大于其中任意一個(gè)加數(shù)，所以13是錯(cuò)誤的。（4）畫圖證明；12可以看成24，24和14合起來是34，因此12+14=24+14=34。

在數(shù)學(xué)猜想得到不同的結(jié)論時(shí)，教師應(yīng)進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例，以合理的解釋甄別結(jié)論的合理性，以不同的方法根據(jù)充足的依據(jù)進(jìn)行推斷，用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)，發(fā)展思維的條理性和發(fā)散性。

（二） 在練習(xí)應(yīng)用中，發(fā)展演繹推理的能力

數(shù)學(xué)練習(xí)與應(yīng)用的本質(zhì)，就是運(yùn)用一般原理于個(gè)別的具體情境中，也就是知識(shí)的具體化、思維的演繹。教師在學(xué)生的練習(xí)過程中要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理過程，循序漸進(jìn)，逐步發(fā)展兒童的演繹推理能力。

1. 通過“判斷—說理”，深化對數(shù)學(xué)結(jié)論的內(nèi)涵理解。

在學(xué)生歸納論證數(shù)學(xué)結(jié)論后，通常要通過一些判斷練習(xí)鞏固對數(shù)學(xué)結(jié)論的理解。教學(xué)時(shí)應(yīng)關(guān)注學(xué)生運(yùn)用演繹推理的思維對判斷結(jié)果做出合乎邏輯的解釋，有根有據(jù)地說明理由。

比如，教學(xué)蘇教版五上《小數(shù)的性質(zhì)》一課，學(xué)習(xí)了小數(shù)的性質(zhì)后，為深化理解，教師時(shí)常要讓學(xué)生判斷：1.80 0.250 703.050 17.00 0.060 300 60.0哪些數(shù)的0可以去掉？哪些0不能去掉？教學(xué)中不能得到結(jié)果就草草了事，應(yīng)通過追問“為什么”來追出學(xué)生腦中的演繹推理過程，并逐步引導(dǎo)學(xué)生用較規(guī)范的語言表達(dá)：“因?yàn)樾?shù)的末尾添上0或去掉0，小數(shù)的大小不變（大前提），1.80 0.250 703.050 17.00 0.060 300 60.0這些0在小數(shù)的末尾（小前提），所以這些0可以去掉（結(jié)論）?！边@樣的“三段論”推理過程，進(jìn)一步幫助學(xué)生明晰了小數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵和內(nèi)涵，發(fā)展學(xué)生思維的邏輯性和深刻性。

2. 經(jīng)歷“問題—求解”，活化對數(shù)學(xué)結(jié)論的運(yùn)用意識(shí)。

數(shù)學(xué)結(jié)論的運(yùn)用十分廣泛，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，時(shí)常要根據(jù)掌握的數(shù)學(xué)定理、結(jié)論來解決具體問題，教學(xué)中不僅要注重練習(xí)的正確性，更不能忽視拓展推理的空間。

比如教學(xué)蘇教版六上《認(rèn)識(shí)倒數(shù)》一課，基于分類歸納得出“乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)”的定義后，教師可引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑：“關(guān)于互為倒數(shù)，你還能提出什么問題？0和1這兩個(gè)數(shù)是數(shù)學(xué)的寵兒，他們的倒數(shù)分別是幾？”在學(xué)生經(jīng)歷討論后，引導(dǎo)學(xué)生清晰表達(dá)推理過程：“因?yàn)槌朔e是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，1×（1）=1，因此1的倒數(shù)就是1，而0乘任何數(shù)都得0，沒有一個(gè)數(shù)和0相乘得1，所以0沒有倒數(shù)。”倒數(shù)的教學(xué)并不復(fù)雜，這個(gè)過程的核心是“先歸納后演繹”的思維活動(dòng)，歸納推理構(gòu)建結(jié)論，演繹推理確認(rèn)結(jié)論。使學(xué)生在感受合情與演繹的內(nèi)部關(guān)系同時(shí)，進(jìn)一步發(fā)展合乎邏輯的思考秩序和有條理的表達(dá)能力。

（三） 在知識(shí)梳理中，提升演繹推理的能力

大腦儲(chǔ)存信息追求秩序、關(guān)聯(lián)、系統(tǒng)。要使信息系統(tǒng)化，就需要把關(guān)聯(lián)的知識(shí)按照邏輯關(guān)系，梳理出知識(shí)的源與流、主與次，這就需要推理。演繹推理是擴(kuò)展數(shù)學(xué)知識(shí)體系、建立數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在秩序的主要思維方式。

1. 引導(dǎo)“發(fā)散—溝通”，由已知結(jié)論推導(dǎo)新的結(jié)論

教師應(yīng)該經(jīng)常要求學(xué)生通過推理去掌握新知，解決新問題。除了引導(dǎo)學(xué)生把個(gè)別的、特殊的事例，及時(shí)歸納為一般的原則方法，在學(xué)生掌握一定的原理后，還要引導(dǎo)學(xué)生從中通過演繹推理派生出新知來。如教學(xué)蘇教版四上的《三角形的內(nèi)角和》一課，通過度量、翻折、剪拼等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究各種三角形的內(nèi)角，在學(xué)生歸納得出“三角形的內(nèi)角和等于180°”的規(guī)律后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在求三角形未知角的計(jì)算中向新知推進(jìn)中演繹：

這樣的演繹推理過程不但幫助學(xué)生清晰理解內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)，擴(kuò)展數(shù)學(xué)知識(shí)鏈，更培養(yǎng)了學(xué)生思維的發(fā)散性和靈活性。

2. 重視“整理—建構(gòu)”，由零散走向系統(tǒng)。

數(shù)學(xué)知識(shí)本身是有結(jié)構(gòu)的，數(shù)學(xué)基本概念、基本原理都按照一定的內(nèi)在聯(lián)系方式聯(lián)系著，教師應(yīng)時(shí)常引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行整理，在演繹推理中溝通聯(lián)系，建構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。比如，六年級(jí)總復(fù)習(xí)“立體圖形”時(shí)，出示長方形、正方形、圓、扇形，讓學(xué)生通過所學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理，說出聯(lián)想到什么立體圖形？當(dāng)學(xué)生說出是長方體、正方體、圓柱、圓錐等立體圖形時(shí)，再要求學(xué)生說出理由，比如“看到長方形，我聯(lián)想到長方體，因?yàn)殚L方體每個(gè)面都是長方形”，“看到長方形，我聯(lián)想到圓柱，因?yàn)閳A柱的側(cè)面展開圖都是長方形”，“由圓和扇形可以想到圓錐，因?yàn)閳A錐的底面是一個(gè)圓，側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形”……通過演繹推理將學(xué)生原有的知識(shí)綜合運(yùn)用，建構(gòu)明晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成整體性的理解，同時(shí)幫助學(xué)生提升到能夠理性全面地進(jìn)行邏輯分析的思維層面。

五、 結(jié)語

兒童演繹推理能力的形成和發(fā)展是一個(gè)隱性的、緩慢的、長期的過程。實(shí)際教學(xué)過程中，教師需改變對推理和證明的認(rèn)識(shí)和培養(yǎng)上的偏差，積極創(chuàng)造讓兒童進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的推理過程，培養(yǎng)兒童言必有據(jù)的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，發(fā)展兒童初步的邏輯思維能力，提高兒童終身受用的認(rèn)識(shí)水平。

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作者簡介：胡春燕，江蘇省蘇州市，蘇州工業(yè)園區(qū)婁葑學(xué)校。