用數(shù)列模型解決生活實(shí)際問(wèn)題

何海濤

生活中頻頻出現(xiàn)的存款利息、分期付款、環(huán)境保護(hù)、增長(zhǎng)率和貸款等熱點(diǎn)問(wèn)題，常需要用數(shù)列的知識(shí)來(lái)解答.從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)特征，建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，將有助于培養(yǎng)我們的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新精神，將為我們提供更科學(xué)的優(yōu)化決策.

例題用分期付款的方式購(gòu)買家用電器一件，價(jià)格為1150元.購(gòu)買當(dāng)天先支付150元，以后每月的這一天都支付50元，并加付欠款的利息，月利率為1%.若支付150元以后的第一個(gè)月開始算分期付款的第一月，則分期付款的第10個(gè)月該支付多少錢？全部貨款付清后，實(shí)際花了多少錢？

分析 由每月都付50元，可知剩余欠款在均勻減少.由于剩余欠款的月利率固定為1%，所以剩余欠款的利息呈線性減少，則每月的還款額度與月份之間呈線性變化規(guī)律，故可建立等差數(shù)列模型.

解 由題意可知全部貸款分20次付清.設(shè)每次所付金額順次構(gòu)成數(shù)列{an}，則a1=50+1000×0.01=60，an=50+0.01[1000-50（n-1）]=60-0.5（n-1），于是可知數(shù)列{an}是以60為首項(xiàng)、-0.5為公差的等差數(shù)列.故a10=60-（10-1）×0.5=55.5，S20=20×60+20×（20-1）/2×（-0.5）=1105.所以，分期付款的第10個(gè)月該支付55.5元，全部貨款付清后，實(shí)際花了1105+150=1255元.

解后反思等差數(shù)列模型常用于變化規(guī)律呈線性的實(shí)際問(wèn)題的求解，或應(yīng)用于前n項(xiàng)和與n成二次函數(shù)關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題的求解.例1中的還款方式實(shí)際是等額本金方式的具體體現(xiàn)，利息是按單利進(jìn)行計(jì)算的.在我們的生活中，利息常按復(fù)利進(jìn)行計(jì)算，這種還款方式稱為等額本息的方式.

變式1 某房地產(chǎn)開發(fā)商采用分期付款方式向社會(huì)出售商品住房，具體事宜如下：

①每套商品住房售價(jià)為400 000元；②購(gòu)房者必須在一年內(nèi)將款全部付清；③購(gòu)房者可分3次或4次付款，月利率為5%，每月利息按復(fù)利計(jì)算.

計(jì)劃分4次付款購(gòu)買一套商品住房：每期應(yīng)付款多少元？總計(jì)應(yīng)付多少元？與一次性付款的差額為多少元？

分析上述問(wèn)題是典型的分期付款問(wèn)題，利息是按復(fù)利進(jìn)行計(jì)算的，故可建立還貸模型進(jìn)行求解.還款方式采用復(fù)利形式，復(fù)利即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再計(jì)算下一期的利息.設(shè)本金為a，每期利率為r，本利和為y，存期為t，則復(fù)利函數(shù)式為y=a（1+r）t.一般地，購(gòu)買一件售價(jià)為a元的商品，采用分期付款方式付款，要求在m個(gè)月內(nèi)分n次將款全部付清，月利率為p，則m個(gè)月后本息和為a（1+p）m.第1次還款額為x，則在m-m/n個(gè)月后本息和為x（1+p）；第2次還款額為x，則在m-2m/n個(gè)月后本息和為x（1+p）；…；第i次還款額為x，則在m-im/n個(gè)月后本息和為x（1+p）；…；第n次還款額為x，本息和為x.于是所有的還款額產(chǎn)生的本息和為x+x（1+p）n+…+x（1+p）=根據(jù)總售價(jià)本息和等于還款額的本息和，付款總額為nx.與一次性付款的差額為nx-a.此模型常用于分期付款問(wèn)題中等額本息還款方式的求解與決策，以及與其他購(gòu)買方式的優(yōu)化選擇中.

解 由已知有a=400 000，p=5%=0.05，m=12，n=4，將這些數(shù)據(jù)代人，可得x=142 272，則nx=4×142 272=569 088，nx-a=169088.

所以，分4次付款購(gòu)買一套商品住房，每期應(yīng)付款142 272元，總計(jì)應(yīng)付款569 088元，與一次性付款差額為169088兀.

解后反思 變式1中的利率計(jì)算方式與例1是不同的，因此還款方式與例1也有所區(qū)別.由于等額本息中的利率按復(fù)利計(jì)算，所以第n期還款后的欠款數(shù)與第n-1期還款后的欠款數(shù)存在一定關(guān)系.設(shè)貸款總額為a，每期付款為x，每期利率為r，按復(fù)

遞推數(shù)列模型常用于已知前后兩項(xiàng)關(guān)系的數(shù)列問(wèn)題的求解.

變式2 甲、乙、丙、丁4人做相互傳球練習(xí)，第一次由甲任意傳給除甲外的其他三個(gè)人中的一個(gè)人，第二次由接球者再將球任意傳給其他三個(gè)人中的一人，依此類推，這樣共傳了4次后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式有多少種？

分析對(duì)這類問(wèn)題，當(dāng)人數(shù)、次數(shù)較少時(shí)，常用樹狀圖法或排列組合的知識(shí)進(jìn)行求解.當(dāng)人數(shù)、次數(shù)較多時(shí)，樹狀圖法顯得力不從心，排列組合的討論也比較繁瑣，容易重復(fù)或者遺漏.

注意到第4次將球傳回到甲手中，則在第3次傳球結(jié)束后球一定不在甲的手中，所以第4次將球傳回到甲手中的傳球方式的種數(shù)，應(yīng)等于在第3次傳球結(jié)束后球不在甲手中的傳球方式的種數(shù).根據(jù)這一特點(diǎn)，可建立遞推數(shù)列模型解決這類問(wèn)題.

每次傳球過(guò)程中不會(huì)出現(xiàn)失誤，即不會(huì)出現(xiàn)球落在地上的情形.一次傳球活動(dòng)，只能是一個(gè)傳球者和一個(gè)接球者，即不能出現(xiàn)兩個(gè)人同時(shí)接球.每次傳球活動(dòng)開始時(shí)，傳球者選擇接球者具有隨機(jī)性.

為使問(wèn)題更具一般性，特進(jìn)行如下符號(hào)說(shuō)明：①共有A1，A2，…，Ak等k個(gè)人進(jìn)行傳球練習(xí)；②經(jīng)過(guò)n（n≥2，n∈N*）次傳球后，球仍回到第一個(gè)發(fā)球人手中，模型重述：第一次由A1任意傳給除A1外的其他k-1個(gè)人中的一個(gè)人，第二次由接球者再將球任意傳給其他k-1個(gè)人中的一個(gè)人，依此類推，這樣共傳了n次后，球仍回到A1手中，則不同的傳球方式有多少種？