數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學教學中的應用

王健平

摘 要：數(shù)形結(jié)合思想作為數(shù)學問題研究中的重要思想方法，已經(jīng)貫穿了整個中學數(shù)學教學的課堂中?！皵?shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，相互結(jié)合更是中學生解題時應用的最為快捷，最為有效率的方法，在這個過程中理解并掌握數(shù)形結(jié)合思想，有利于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和解決數(shù)學問題的能力。本文以高中數(shù)學教材為基礎(chǔ)闡述數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學教學中的實際應用。主要通過對各部分知識中涉及到數(shù)形結(jié)合思想的典型題目的觀察、分析來探究數(shù)形結(jié)合思想在中學數(shù)學教學中的實際應用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想 應用 中學數(shù)學教學

一、數(shù)形結(jié)合在中學教學中的應用

1.利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)最值問題

函數(shù)的最值問題，一般情況是求某個代數(shù)式或者函數(shù)的最大值或者最小值。有些是利用函數(shù)的性質(zhì)解決，有些是利用不等式（均值不等式等）知識解決。針對比較復雜繁多的式子，通常采用結(jié)合其幾何意義來進行分析和解決。以下是利用數(shù)形結(jié)合思想來解決函數(shù)最值問題的幾個例子：[1]

（1）轉(zhuǎn)化為兩點間距離問題：

案例1：求函數(shù) 的最小值

解析：觀察式子結(jié)構(gòu)，從純代數(shù)的角度出發(fā)，很難求解，這時就應該考慮其幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為集合問題，巧用兩地那間距離公式，即轉(zhuǎn)化為：

則y表示x軸上的點p（x，0）到A（1，1），B（2，2）兩點的距離之和，用圖像表示即為：

令A（1，1），B（2，2），P（x，0），則問題轉(zhuǎn)化為在X軸上求一點P，使有最小值，由于AB在x軸同側(cè)，故取A關(guān)于x軸的對稱點C（1，-1），故最小值為點評：類似這種形式的函數(shù)求其最值，常采用這種找出對稱點，并利用兩點之間線段最短的形式來解。

（2）轉(zhuǎn)化為點到直線間距離問題：

案例2：已知，則的最小值是多少？

解析：可由代入消去變量x或y，再運用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)必可求解。但這種的方法計算量較大，學生容易在計算的過程中出現(xiàn)錯誤，所以我們應該試著去嘗試從其幾何意義方面進行解決問題。注意到可以看作直線上的點（x， y）與點（1，2）間的距離，從而可以簡捷求解，如下圖所示：

從而最小值為：

（3）轉(zhuǎn)為直線斜率問題：

案例3：如果實數(shù)x，y滿足等式，那么的最大值是多少？

解析：看到可以讓我們想起斜率公式，所以不妨嘗試利用其幾何意義解決問題。明顯等式為一個以（3，0）為圓心，為半徑的圓。而則表示圓上點（x，y）與標原點（0，0）的連線的斜率。 那么問題可轉(zhuǎn)化為如下幾何問題：動點A在以

（3，0）為圓心，以為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值，如下圖：

由圖可見，當點A在第一象限，且與圓相切時，0A的斜率最大，經(jīng)簡單計算，得最大值為：=

總之，“數(shù)”和“形”的結(jié)合是依靠題目特征，即所包含的幾何意義而存在的。在做題的時候，首先要確定此題目是否具備應用數(shù)形結(jié)合思想的特征，如果通過對題目的觀察、分析之后確定了思想，那么其次就要考慮題目中的哪些數(shù)量關(guān)系可以轉(zhuǎn)化成其幾何意義，找準了幾何意義之后就可以借助圖形來解決問題了。[2]

2.利用數(shù)形結(jié)合思想解決線性規(guī)劃問題

相性規(guī)劃問題是完全應用圖形進行解答的一種類型題目，每套高考題都會有填空題或者選擇題，已經(jīng)成為了高考的熱點題 ，如果學生可以準確把握題目本質(zhì)，即可解答。

案例：

設(shè)m>1，在約束條件下，

目標函數(shù)的最大值小于2，則m的取值范圍是多少？

解析：不等式組 所表示的可行域如圖所示：

當直線系過點時，

目標函數(shù)取得最大值，，

解得，又由，可得.

線性規(guī)劃這部分的題目類型分為三類，只要在直角坐標系中根據(jù)其約束條件準確的畫出可行域，再按照題目將代數(shù)式進行轉(zhuǎn)化，多數(shù)轉(zhuǎn)換成縱坐標的最值或者斜率的最值或距離的平方等，然后再進行計算。

二、運用數(shù)形結(jié)合思想應注意的問題

1.教師在應用數(shù)形結(jié)合思想應該注意的問題

（1）教師應具備傳授學生運用數(shù)形結(jié)合思想方法解題的教學意識

在明確教學目標的前提下，對教材進行更加深入的鉆研。課前充分的準備教案，并設(shè)想預期達到的效果。在授課的過程中，對每道例題都進行詳細的分析，并歸納總結(jié)出哪些題型可以運用數(shù)形結(jié)合思想，而且在講授的過程中重點提出，以便幫助學生理解、記憶。在課后，針對數(shù)形結(jié)合的題目要讓學生多做練習，鞏固對數(shù)形結(jié)合思想的認識和掌握。

（2）教師應注重培養(yǎng)學生對“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)化

在學生對此部分類型題有所了解的基礎(chǔ)上，教師在授課的過程中每當遇到應用數(shù)形結(jié)合思想的題目就應該給學生鞏固加強一遍，來加深學生的印象。這樣會讓學生達到一種看到題目就會猜想其是否可以應用數(shù)形結(jié)合思想來解答，達到一種條件發(fā)射，這樣才可以讓學生更好的運用數(shù)形結(jié)合思想。

（3）教師應注重培養(yǎng)學生的直觀思維

授課過程中，教師不要死板的告訴學生其解題方法，而是通過讓學生觀察、猜想、探討得出結(jié)論。這個過程可以讓學生自己創(chuàng)建數(shù)學模型，產(chǎn)生直觀的視覺效果，從而達到目的。

2.學生在應用數(shù)形結(jié)合思想應該注意的問題

在運用數(shù)形結(jié)合思想的過程中，我們發(fā)現(xiàn)主要以數(shù)軸和直角坐標系為工具進行輔助解題。要想讓學生更好的運用數(shù)形結(jié)合思想大致可分為了解、理解、掌握、靈活運用等幾個步驟。在這個過程中對學生的自主學習能力要求較高，因為數(shù)形結(jié)合的類型題種類很多，這就要求學生要定期的對老師教授的方法進行歸納總結(jié)，而且課后要多加練習，鞏固知識內(nèi)容。在鞏固練習的過程中，有能力的同學盡量做到對題目進行變式，活稍微修改題目條件看能否繼續(xù)應用數(shù)形結(jié)合思想解答，既培養(yǎng)了學生對數(shù)形結(jié)合思想的應用能力也增強了學生的創(chuàng)新意識。

總之，運用數(shù)形結(jié)合思想解題，對于學生來說不僅僅是完成一道問題，也會增強學生的認知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)數(shù)學思維，提高解題能力和創(chuàng)新能力。尤其對于剛剛走入新課改的我們，有效的利用數(shù)形結(jié)合思想可以將以往復雜的純代數(shù)進行轉(zhuǎn)化，以繁化簡，抽象變具體，在這個過程中讓學生體會到數(shù)學的樂趣。

參考文獻

[1]宋玉軍.高中數(shù)學有效運用數(shù)形結(jié)合思想的教學研究[D].東北師范大學碩士學位論文，2010，5.

[2]劉興楠.數(shù)形結(jié)合思想在中學數(shù)學教學中的應用[D].遼寧師范大學碩士學位論文，2011，03.