基于L型陣列酉變換矩陣重構(gòu)的二維DOA估計(jì)

王秀，常青，王耀力

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基于L型陣列酉變換矩陣重構(gòu)的二維DOA估計(jì)

王秀，常青，王耀力

（太原理工大學(xué)，山西 太原 030024）

二維空間信號(hào)波達(dá)方向（DOA）的估計(jì)是陣列信號(hào)處理的一個(gè)關(guān)鍵研究問(wèn)題。經(jīng)典的二維MUSIC算法固然精度高，但此算法需要二維譜峰搜索，運(yùn)算較為復(fù)雜。提出一種用于L型陣列的二維DOA估計(jì)算法，通過(guò)矩陣重構(gòu)使得陣列輸出矩陣變?yōu)橹行膶?duì)稱(chēng)矩陣，再利用酉變換矩陣將其由復(fù)值矩陣變?yōu)閷?shí)值矩陣。該方法可以直接得到目標(biāo)參數(shù)，不需要譜峰搜索，使得運(yùn)算量大大降低。相比于L型陣列適用的增廣矩陣束（MEMP）算法，該算法可以估計(jì)更多信源的DOA，并能獲得較高的分辨率。計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果表明，該算法具有較高的DOA估計(jì)精度。

波達(dá)方向；L型陣列；酉變換矩陣；特征值；增廣矩陣束算法

1 引言

波達(dá)角（direction of arrival，DOA）估計(jì)是陣列信號(hào)處理中的重要研究?jī)?nèi)容，在無(wú)線通信、聲吶以及雷達(dá)等領(lǐng)域均有廣泛應(yīng)用[1-2]。一維（one-dimensional，1D）DOA估計(jì)目前已經(jīng)發(fā)展相對(duì)成熟，最為經(jīng)典的是多重信號(hào)分類(lèi)（multiplesignal classification，MUSIC）算法和旋轉(zhuǎn)不變子空間（estimating signal parameters via rotational in variance techniques，ESPRIT）算法[3]。近年來(lái)，二維（two-dimensional，2D）DOA 估計(jì)開(kāi)始受到越來(lái)越多的關(guān)注和研究，許多陣列如 L 型陣列[4]、面陣[5]、均勻圓陣[6]和平行陣列[7]等被用來(lái)進(jìn)行有效的2D參數(shù)估計(jì)。

L型陣列由于具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于傳統(tǒng)算法移植以及更高 DOA 估計(jì)精度等優(yōu)點(diǎn)[8]，使得對(duì)于L型陣列的研究應(yīng)用越來(lái)越多。與普通的線陣相比，L型陣列可提供全方位360°的DOA 估計(jì)并能達(dá)到較高精度的估計(jì)結(jié)果。與圓陣相比，除了數(shù)據(jù)處理方便，需要的運(yùn)算量和存儲(chǔ)量都較小，還可提高感興趣方向的陣列孔徑，在實(shí)際工程應(yīng)用中具有較大的優(yōu)勢(shì)。金梁等[9-10]提出了時(shí)空DOA矩陣法，通過(guò)空時(shí)處理結(jié)合來(lái)進(jìn)行DOA估計(jì)，該方法可用于其他陣列形狀的二維DOA中。Tayem和Kwon[11]提出一種修正傳播方法（modified propa-gate method，MPM）用于L型陣列的2D DOA估計(jì)，該方法克服了相位模糊問(wèn)題，但參數(shù)匹配有效性差。Kikuchi等[12]提出了一種通過(guò)構(gòu)造Toeplitz矩陣，利用交叉相關(guān)矩陣解決仰角匹配問(wèn)題的方法，但該方法在角度過(guò)大時(shí)無(wú)法匹配。

Wei[13]提出一種新的多相干信號(hào)方位角和仰角的配對(duì)方法，利用兩個(gè)信號(hào)源協(xié)方差矩陣構(gòu)造的最小化代價(jià)函數(shù)實(shí)現(xiàn)，但估計(jì)性能還需要進(jìn)一步改善。Ye等[14]提出了一種基于稀疏信號(hào)的L型陣列的DOA估計(jì)算法，該方法不需要角度配對(duì)也能實(shí)現(xiàn)較高的分辨率和估計(jì)精度。Yilmazer[15]將增廣矩陣束（matrix enhancement and matrix pencil，MEMP）算法引入均勻矩形陣列的二維DOA估計(jì)中，通過(guò)對(duì)陣列接收信號(hào)構(gòu)造增廣矩陣來(lái)估計(jì)，只需要少量的采樣數(shù)據(jù)就能得到較高精度的計(jì)算結(jié)果，但此算法陣元的利用率有所降低，且抑制噪聲的能力較差。針對(duì)二維DOA估計(jì)的實(shí)用性問(wèn)題，陳建[16]提出基于增廣矩陣束的L型陣列二維DOA估計(jì)算法，該算法估計(jì)速度快、精度高、參數(shù)配對(duì)算法簡(jiǎn)單，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

本文分析了L型陣列的特點(diǎn)，提出了一種可用于L型陣列的二維DOA估計(jì)算法。該算法通過(guò)分析L型陣列的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，利用反向單位矩陣重構(gòu)方向矩陣，通過(guò)酉變換矩陣使得數(shù)據(jù)處理由復(fù)數(shù)域轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)域，通過(guò)特征分解得到信源的方位角和仰角，參數(shù)自動(dòng)配對(duì)、運(yùn)算量低。通過(guò)與MEMP算法和2D-MUSIC算法的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文算法的有效性和優(yōu)越性。

2 陣列信號(hào)模型

如圖1所示為本文中所討論的L型陣列，該陣列由分別位于軸和軸的陣元個(gè)數(shù)為的均勻線陣垂直構(gòu)成，陣元間距為，假設(shè)有個(gè)不同方位的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)源入射到該陣列上，入射角為（θ，ф），=1,2,...,，其中θ和ф分別為第個(gè)信源的方位角和仰角。假定文中涉及的噪聲均為與信號(hào)不相關(guān)的加性高斯白噪聲。

圖1　L型陣列結(jié)構(gòu)

陣列接收到的信源個(gè)數(shù)為，軸與軸上傳感器個(gè)數(shù)均為，則軸和軸的接收信號(hào)分別為：

3 算法推導(dǎo)

L型陣列重構(gòu)的輸出矩陣0定義為：

其中，為反向單位矩陣，此時(shí)的L型陣列輸出矩陣為非對(duì)稱(chēng)矩陣，令：

X為0的自相關(guān)矩陣，構(gòu)造矩陣X：

其中，X為X的共軛矩陣，X為中心對(duì)稱(chēng)矩陣，應(yīng)用酉變化矩陣的思想，將X從復(fù)數(shù)域轉(zhuǎn)換到實(shí)數(shù)域，酉變換矩陣Q（為反向單位矩陣）定義如下：

根據(jù)酉變化矩陣Q的定義，可以得到Q矩陣的性質(zhì)如下：

（10）

從而，有式（11）成立：

X與其共軛相等，由此證明X為實(shí)矩陣，虛部為零。因此，陣列輸出矩陣重構(gòu)為，定義如下：

選擇矩陣J、J定義如下：

分別選擇矩陣的前-1項(xiàng)和后-1項(xiàng)。

現(xiàn)考慮一個(gè)信源，軸的方向矩陣可以表示為A，則有：

令：

則有：

同樣地，關(guān)于軸的方向矩陣A，在一個(gè)信源時(shí)，有：

擴(kuò)展到個(gè)信源時(shí)，則有：

其中：

同樣地，軸：

擴(kuò)展到個(gè)信源時(shí)，則有：

定義：

結(jié)合式（24）和式（28）：

由于ψ和ψ有相同的矩陣，將ψ和ψ合并為：

最后對(duì)得到的矩陣進(jìn)行特征值分解，有：

可以得到入射角的方位角和俯仰角的估計(jì)值分別為：

步驟1 計(jì)算陣列接收矩陣X并根據(jù)式（7）得到重構(gòu)陣列的接收矩陣X；

步驟2 將得到的陣列接收矩陣X按照式（12）轉(zhuǎn)換為實(shí)矩陣并構(gòu)造矩陣；

步驟3 根據(jù)式（13）計(jì)算矩陣的協(xié)方差矩陣R，通過(guò)特征值分解得到信號(hào)子空間E；

步驟4 按式（33）和式（34）計(jì)算ψ、ψ，構(gòu)造矩陣F=ψ+jψ；

步驟5 對(duì)矩陣作特征值分解，得到特征值為λ（=1，2，…，）；

步驟6 根據(jù)式（38）和式（39）計(jì)算入射角的估計(jì)值。

4 實(shí)驗(yàn)仿真與性能分析

4.1 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真參數(shù)：=8，即天線陣由軸和軸的8元均勻線陣構(gòu)成，假設(shè)快拍數(shù)=200，信源數(shù)=3，信噪比為15 dB，3個(gè)入射角分別為（10°，15°）、（30°，35°）、（50°，55°），入射信號(hào)均為窄帶不相關(guān)平面波。

（1）實(shí)驗(yàn)1

二維MUSIC算法是二維DOA估計(jì)的經(jīng)典算法，此方法通過(guò)構(gòu)造空間譜和二維譜峰搜索來(lái)實(shí)現(xiàn)信源估計(jì)，實(shí)驗(yàn)1通過(guò)2D-MUSIC算法對(duì)L型陣列進(jìn)行DOA估計(jì)，其估計(jì)性能如圖2所示。從圖2中可以看出，3 個(gè)譜峰指示的入射角分別為（10°，15°）、（30°，35°）、（50°，55°），可見(jiàn)2D-MUSIC算法的估計(jì)精度很高，但此算法的計(jì)算量相當(dāng)大，不適用于陣元數(shù)過(guò)大的情況。

數(shù)據(jù)結(jié)果采用SPSS 19.0進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，所得結(jié)果以“平均值±標(biāo)準(zhǔn)差”表示。運(yùn)用LSD和Duncan's法檢驗(yàn)進(jìn)行多重比較。P＜0.05認(rèn)為有顯著差異。

圖2 2D-MUSIC算法下DOA估計(jì)結(jié)果

（2）實(shí)驗(yàn)2

分別采用增廣矩陣束算法和本文算法估計(jì)入射角，蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù)設(shè)為500，仿真結(jié)果分別如圖3、如圖4所示?？梢钥闯?，兩種算法都能估計(jì)出3個(gè)信源的入射角方向，但本文算法的計(jì)算結(jié)果較為集中，精度高于增廣矩陣束算法，圖5為入射角DOA估計(jì)的局部放大散點(diǎn)對(duì)比。從圖5可以更為直觀地看出本文算法性能遠(yuǎn)優(yōu)于增廣矩陣束算法。

圖3 增廣矩陣束算法下DOA估計(jì)結(jié)果

圖4　本文算法下DOA估計(jì)結(jié)果

4.2 性能分析

定義進(jìn)行500次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)后方位角和仰角的聯(lián)合均方根誤差（root mean square error，RMSE）為：

圖5　兩種算法DOA估計(jì)的局部放大散點(diǎn)圖

圖7表示在SNR=0 dB的條件下，令快拍數(shù)以步長(zhǎng)100在區(qū)間[100 1 000]內(nèi)取值，3種算法下二維DOA估計(jì)的均方根誤差與快拍數(shù)變化的關(guān)系曲線。

從圖6和圖7可以看出，在信噪比和快拍數(shù)相同的情況下，本文算法的估計(jì)精度均高于MEMP算法。隨著信噪比和快拍數(shù)的不斷增大，本文算法的RMSE與2D-MUSIC算法的估計(jì)精度逐漸接近，這說(shuō)明本文算法具有較強(qiáng)的頑健性。

圖6　RMSE隨信噪比的變化曲線

圖7　RMSE隨快拍數(shù)的變化曲線

5 運(yùn)算結(jié)果分析

由算法推導(dǎo)過(guò)程可知，算法運(yùn)算時(shí)間區(qū)別主要由信源數(shù)和陣元數(shù)決定，與快拍數(shù)和信噪比無(wú)關(guān)。假定信源數(shù)為3，3種算法單次運(yùn)算時(shí)所需時(shí)間隨陣元數(shù)的變化情況見(jiàn)表1。

由表1可知，陣元數(shù)<20時(shí)，增廣矩陣束和本文算法的計(jì)算時(shí)間較為接近，當(dāng)陣元數(shù)>20以后，增廣矩陣束和本文算法的計(jì)算時(shí)間差距逐漸增大，本文算法由于輸出陣列矩陣重構(gòu)，運(yùn)算時(shí)間略大于增廣矩陣束算法，但總體來(lái)說(shuō)，本文算法通過(guò)酉變換矩陣將協(xié)方差矩陣由復(fù)數(shù)域變?yōu)閷?shí)數(shù)域，在達(dá)到較高精度的基礎(chǔ)上，運(yùn)算量也遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)2D-MUSIC算法。

表1 各種方法下DOA估計(jì)耗時(shí)隨陣元數(shù)的變化（單位：s）

6 結(jié)束語(yǔ)

L型陣列是二維DOA估計(jì)重要研究?jī)?nèi)容。傳統(tǒng)實(shí)值矩陣處理要求信號(hào)陣列模型必須為中心對(duì)稱(chēng)陣列，多適用于均勻圓陣和面陣。本文通過(guò)反向單位矩陣和自相關(guān)矩陣重構(gòu)，得到變?yōu)橹行膶?duì)稱(chēng)矩陣的陣列輸出矩陣，通過(guò)酉變換矩陣將輸出矩陣由復(fù)值轉(zhuǎn)為實(shí)值，降低了運(yùn)算復(fù)雜度，突破了信號(hào)陣列模型必須為中心對(duì)稱(chēng)陣列的局限性，其計(jì)算精度高于增廣矩陣束算法并接近傳統(tǒng)的2D-MUSIC 算法。但此算法目前只適用于軸和軸陣元數(shù)相等的L型陣列，當(dāng)軸和軸陣元數(shù)不相等時(shí)，本文算法的計(jì)算精度將會(huì)大大降低，這也是本文算法的不足之處，還有待繼續(xù)研究改進(jìn)。

[1] JUNG T J, LEE K K. Closed-form algorithm for 3-D single-source localization with uniform circular array[J]. IEEE Antennas Wireless Propagation Letters, 2014, 13(1): 1096-1099.

[2] 李婷. 二維譜估計(jì)算法的空間探測(cè)性能分析及驗(yàn)證[J].電信科學(xué), 2016, 32(5): 173-178.

LI T. Analysis and verification on space probe performance of 2-D spectrum estimation algorithm[J]. Telecommunications Science, 2016, 32(5): 173-178.

[3] 吳秀芬. 寬帶陣列信號(hào)DOA估計(jì)方法研究[D]. 南京: 南京大學(xué), 2013.

WU X F. Research on wideband array signal DOA estimation[D]. Nanjing: Nanjing University, 2013.

[4] GU J F,ZHU W P, SWAMY M N S.Joint 2-D DOA estimation via sparse L-shaped array[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2015, 63(5): 1171-1182.

[5] ZHANG W, LIU W, WANG J, et al. Computationally efficient 2-D DOA estimation for uniform rectangular arrays [J]. Multidimensional Systems & Signal Processing, 2014, 25(4): 847-857.

[6] 穆昌, 姚俊良, 蔡振合. 三維MIMO陣列空間相關(guān)性分析[J].電信科學(xué), 2015, 31(1): 1-6.

MU C, YAO J L, CAI Z H. Spatial correlation analysis of 3D MIMO array[J]. Telecommunications Science, 2015, 31(1): 1-6.

[7] 張小飛, 張立岑, 孫華普, 等.雙平行線陣中基于Euler變換傳播算子的二維DOA估計(jì)算法[J]. 南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào), 2015, 47(3): 324-331.

ZHANG X F, ZHANG L C, SUN H P, et al. Two-dimensional DOA estimation algorithm for two parallel linear arrays via Euler transformation and propagator method[J]. Journal of Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, 2015, 47(3): 324-331.

[8] GU J F, ZHU W P, SWAMY M N S. Performance analysis of 2-D DOA estimation via L-shaped array[C]//2012 25th IEEE Canadian Conference on Electrical & Computer Engineering (CCECE), April 29-May 2, 2012, Montreal, Canada. Piscataway: IEEE Press, 2012: 1-4．

[9] 金梁, 殷勤業(yè). 時(shí)空 DOA 矩陣方法[J].電子學(xué)報(bào), 2000, 28(6): 8-12.

JIN L, YIN Q Y. Space-time DOA matrix method[J]. Acta Electronica Sinica, 2000, 28(6): 8-12.

[10] 金梁, 殷勤業(yè). 時(shí)空 DOA 矩陣法的分析與推廣[J]. 電子學(xué)報(bào), 2001, 29(3): 300-303.

JIN L, YIN Q Y. Analysis and generalization of space-time DOA matrix method[J]. Acta Electronica Sinica, 2001, 29(3): 300-303.

[11] TAYEM N, KWON H M. L-shape2-dimensional arrival angle estimation with propagator method[C]//VTC-2005, May 30-June 1, 2005, Stockholm, Sweden. Piscataway: IEEE Press, 2005: 1622-1630.

[12] KIKUCHI S, TSUJIH, SANO A. Pair-matching method for estimating 2-D angle of arrival with a cross-correlation matrix[J]. IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 2006, 5(1): 35-40.

[13] WEI Y S, GUO X J. Pair-matching method by signal covariance matrices for 2D-DOA estimation[J]. IEEE Antennas Wireless Propagation. Letters, 2014(13): 1199-1202.

[14] TIAN Y, LIAN Q S, XU H. Sparse-reconstruction-based 2-D angle of arrival estimation with L-shaped array[J]. International Journal of Electronics and Communications, 2017(72): 162-165.

[15] YLIMAZER N, SARKAR Y K. 2-D unitary matrix pencil method for efficient direction of arrival estimation[J]. Digital Signal Processing: A Review Journal, 2006, 16(6): 767-781.

[16] 陳建. 二維波達(dá)方向估計(jì)理論研究[D]. 長(zhǎng)春: 吉林大學(xué), 2006.

CHEN J. Theoretical study on two-dimensional direction of arrival estimation[D]. Changchun: Jilin University, 2006.

Two-dimensional DOA estimation of unitary transformation matrix reconstruction based on L-shaped array

WANG Xiu, CHANG Qing, WANG Yaoli

Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China

The estimation of the direction of arrival of two-dimensional space signals is the key problem in the field of array antennas. Although the traditional two-dimensional MUSIC algorithm has high precision, it needs two dimensional spectrum peak search and has a large amount of operation. A two-dimensional DOA estimation algorithm for L-shaped array was proposed. The output matrix was transformed from a complex value matrix to a real value matrix by matrix reconstruction and a unitary transformation matrix. This method could directly get the elevation angle of the target without conversion, which greatly reduced the amount of operation. Compared with the matrix enhancement and matrix pencil algorithm for L-shaped array, this algorithm could estimate more targets’DOA. The results of simulation show that the algorithm has a high accuracy of DOA estimation.

direction of arrival, L-shaped array, unitary transformation matrix, eigenvalue, matrix enhancement and matrix pencil algorithm

TN911.7

A

10.11959/j.issn.1000?0801.2018208

2018?01?05；

2018?06?29

常青，changqing@126.com

王秀（1993?），女，太原理工大學(xué)碩士生，主要研究方向?yàn)閭鞲衅麝嚵行盘?hào)處理。

常青（1975?），男，博士，太原理工大學(xué)副教授、碩士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)榍度胧絺€(gè)人/家庭服務(wù)器、嵌入式系統(tǒng)等。

王耀力（1965?），男，博士，太原理工大學(xué)副教授、碩士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)槿藱C(jī)視覺(jué)分析與處理、嵌入式系統(tǒng)電路設(shè)計(jì)理論等。