分?jǐn)?shù)階諧振無(wú)線(xiàn)電能傳輸電路模型的特性分析

夏久林

(重慶科創(chuàng)職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，重慶 402160)

無(wú)線(xiàn)電能傳輸技術(shù)的誕生和快速發(fā)展，為電動(dòng)汽車(chē)、平板、手機(jī)等智能設(shè)備的充電提供了新的選擇[1-2]。尤其是具備中等距離傳輸能力的諧振無(wú)線(xiàn)電能傳輸技術(shù)，其設(shè)備成本低、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，且傳輸過(guò)程中的功率等級(jí)較高。因此，在無(wú)線(xiàn)充電領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景[3-5]。然而，目前諧振無(wú)線(xiàn)電能傳輸技術(shù)中有關(guān)于電磁場(chǎng)相關(guān)特性的探索仍不夠深入和徹底，阻礙了該技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展與應(yīng)用[6-7]。本文結(jié)合分?jǐn)?shù)階微積分理論，在建立分?jǐn)?shù)階諧振無(wú)線(xiàn)電能傳輸電路模型的基礎(chǔ)上，從電路、時(shí)間角度出發(fā)，對(duì)該模型電能傳輸過(guò)程中存在的分?jǐn)?shù)階電磁場(chǎng)特性進(jìn)行了分析[8-9]。

1 電路模型建立與分析

以整數(shù)階諧振無(wú)線(xiàn)電能傳輸電路模型為基礎(chǔ)，引入分?jǐn)?shù)階微積分理論，建立分?jǐn)?shù)階無(wú)線(xiàn)電能傳輸電路模型，如圖1所示[10-11]。其中，vin代表的是輸入電壓源，i1(i2)代表的是初級(jí)(次級(jí))回路電流，v1(v2)代表的是初級(jí)(次級(jí))線(xiàn)圈電壓，R1(R2)代表的是初級(jí)(次級(jí))線(xiàn)圈內(nèi)阻；L1(L2)代表的是初級(jí)(次級(jí))線(xiàn)圈等效電感，對(duì)應(yīng)的階數(shù)為β1(β2)；C1(C2)代表的是初級(jí)(次級(jí))線(xiàn)圈串聯(lián)諧振電容，對(duì)應(yīng)的階數(shù)為α1(α2)；M代表的是互感，對(duì)應(yīng)階數(shù)為γ；RL則代表的是負(fù)載電阻。易知，模型的各級(jí)均形成了RLC串聯(lián)電路，而線(xiàn)圈L1、L2之間形成了一個(gè)分?jǐn)?shù)階互感電路。

圖1 本文建立的分?jǐn)?shù)階諧振無(wú)線(xiàn)電能傳輸電路模型

由Kirchhoff電壓定律可知，各級(jí)回路電流方程為

(1)

其中，i1和i2的值又可根據(jù)伏安關(guān)系計(jì)算得到。假設(shè)該系統(tǒng)的初始狀態(tài)為0，并用ω表示該模型的傳輸角頻率，Z1(Z2)表示初級(jí)(次級(jí))自阻抗，ZM表示互阻抗。則經(jīng)Laplace變化(分?jǐn)?shù)階)后，可以進(jìn)一步得到

(2)

(3)

(4)

為了方便書(shū)寫(xiě)和進(jìn)一步簡(jiǎn)化分析，令電容(電感)為分?jǐn)?shù)階(整數(shù)階)，初級(jí)(次級(jí))線(xiàn)圈內(nèi)阻皆為R，并省略s，最后可得

(5)

(6)

ZM=jωM

(7)

相應(yīng)的初級(jí)(次級(jí))回路電流為

(8)

可知初次級(jí)線(xiàn)圈L1和L2存在耦合時(shí)，初次級(jí)回路的反射阻抗(電阻、電抗分量)分別為Z12=(ωM)2/Z2和Z21=(ωM)2/Z1。其中，反射電阻與電抗分量在該模型中分別對(duì)有功功率及線(xiàn)圈自諧振頻率造成影響[11]。此外，可以注意到反射阻抗與線(xiàn)圈間距成反比。因此，線(xiàn)圈間距越小，反射阻抗對(duì)傳輸系統(tǒng)的影響則越大。

在自諧振和整數(shù)階狀態(tài)下，諧振頻率由于線(xiàn)圈反射阻抗無(wú)電抗分量而受到較小的影響；而在分?jǐn)?shù)階狀態(tài)下，令Z1(Z2)虛部為0，則L1和L2的自諧振頻率可由式(9)得到

(9)

令L1=L2=1 mH，C1=C2=1 μF，R=1 Ω，則可得到如圖2所示的自諧振頻率、阻抗與電容階數(shù)α1和α2的關(guān)系曲線(xiàn)。易知，自諧振頻率的最大值出現(xiàn)在電容階數(shù)α1、α2靠近0的某個(gè)值處，且該頻率值大小與電容階數(shù)成負(fù)相關(guān)；而阻抗幅值整體呈下降趨勢(shì)，在電容階數(shù)略大于1時(shí)迅速減小并達(dá)到極小值；之后迅速略微增大，維持在某個(gè)較小值附近。

圖2 自諧振頻率、阻抗同電容階數(shù)α1、α2的關(guān)系曲線(xiàn)

2 傳輸特性分析

無(wú)線(xiàn)電能傳輸電路靠初、次級(jí)線(xiàn)圈間電磁場(chǎng)的耦合共振傳遞能量，其耦合諧振模型(共軸線(xiàn)圈)如圖3所示。其中，用N1(N2)代表初級(jí)(次級(jí))線(xiàn)圈的匝數(shù)，d代表兩者間距，b代表線(xiàn)圈半徑。

圖3 本文無(wú)線(xiàn)電能傳輸電路模型的耦合諧振模型

易知，L1利用時(shí)變電流I1可產(chǎn)生磁場(chǎng)B，進(jìn)而借助互磁通φ和L2交鏈。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，L2上某點(diǎn)M的矢量位(由I1產(chǎn)生)為

(10)

結(jié)合式(8)可以進(jìn)一步得到互磁通

(11)

針對(duì)磁通密度B(分?jǐn)?shù)階)，可由式(12)進(jìn)行計(jì)算

B=α×A

(12)

圖4 耦合磁通密度B隨時(shí)間的變化趨勢(shì)圖

3 時(shí)域特性分析

從分?jǐn)?shù)階角度出發(fā)，引入?yún)?shù)σ(分?jǐn)?shù)階時(shí)間分量)，從而使時(shí)間維數(shù)保持一致

(13)

結(jié)合整數(shù)階電磁波動(dòng)方程，得到分?jǐn)?shù)階形式

(14)

其中，F(xiàn)(r,t)代表的是E(r,t)或H(r,t)。假設(shè)該模型的共軸線(xiàn)圈處于無(wú)源區(qū)域(J=ρ=0)，則由耦合磁場(chǎng)導(dǎo)致的平面電磁波傳播方向?yàn)?z方向。進(jìn)一步假設(shè)該電磁波朝x方向進(jìn)行極化，則可得到解為

(15)

聯(lián)立式(14)和式(15)可知，分?jǐn)?shù)階電磁波動(dòng)方程所對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)解應(yīng)為

f(z,t)=Re[F0e-jkz·g(t)]=aiF0E2γ(-ω2t2γ)cos(kz)

(16)

式中ai(i=x,y)代表各方向的單位矢量。因此，相應(yīng)的電磁場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)解分別為

(17)

由式(17)可知，γ值將影響Mittag-Leffler函數(shù)的形式，進(jìn)而影響g(t)和磁場(chǎng)強(qiáng)度H的波形。因此，本文做出了不同γ值對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度波形，如圖5所示。當(dāng)γ=1時(shí)，磁場(chǎng)強(qiáng)度做等幅震蕩；γ<1時(shí)，磁場(chǎng)強(qiáng)度隨t值增加而出現(xiàn)震蕩衰減；γ>1時(shí)，磁場(chǎng)強(qiáng)度隨t值增加而震蕩發(fā)散，其發(fā)散范圍隨γ值的進(jìn)一步增加而增大。至于電場(chǎng)強(qiáng)度E，其振幅和磁場(chǎng)強(qiáng)度相差η(本征阻抗)倍，方向與磁場(chǎng)垂直。

圖5 分別取(a)0.8、(b)1.0、(c)1.5和(d)2.0時(shí)對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度波形

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)目前諧振無(wú)線(xiàn)電能傳輸技術(shù)中電磁場(chǎng)特性的研究仍不夠完善的問(wèn)題，本文基于分?jǐn)?shù)階微積分理論，建立了分?jǐn)?shù)階諧振無(wú)線(xiàn)電能傳輸電路模型?；谠撃Ｐ脱芯苛穗娙蓦A數(shù)對(duì)自諧振頻率與阻抗的影響；從電路角度出發(fā)，對(duì)模型中耦合線(xiàn)圈間存在的分?jǐn)?shù)階磁場(chǎng)特性進(jìn)行了研究；從時(shí)間角度出發(fā)，分析了微分階數(shù)對(duì)伴隨電磁場(chǎng)強(qiáng)度的影響，為無(wú)線(xiàn)電能傳輸技術(shù)的發(fā)展及進(jìn)一步的應(yīng)用提供理論支持。