坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換中基于象限分布的公共點(diǎn)選取方法

李金濤，王 微,石 波

(山東科技大學(xué) 測繪科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266590)

在工程應(yīng)用中，實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)系統(tǒng)的變換與統(tǒng)一問題，需已經(jīng)變換參數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。提高坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)精度方面，牛琳等提出逐步剔除精度不高和分布不合理的公共點(diǎn)的方法[5]；王玉成等提出分區(qū)轉(zhuǎn)換的方法[6]，這兩種方法都有效地提高轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解精度，但對公共點(diǎn)的數(shù)目要求較高，需要布設(shè)和施測大量的公共點(diǎn)；兼顧轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解精度和公共點(diǎn)數(shù)量，尹暉等提出了有效面積分析法[7]，可以減少公共點(diǎn)的數(shù)量且保證轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解精度，但該方法主要考慮三維公共點(diǎn)在水平面上分布的合理性，對于在垂直面上的分布考慮較少，存在一定缺陷。因此本文提出了基于象限分布的公共點(diǎn)選取方法，充分考慮到二維及三維坐標(biāo)系中公共點(diǎn)的數(shù)量及空間分布的幾何特征。實(shí)驗(yàn)證明，利用該方法選擇的公共點(diǎn)求得的轉(zhuǎn)換參數(shù)精度高且數(shù)量少，對公共點(diǎn)的布設(shè)、選取具有指導(dǎo)作用。

本文介紹了四參數(shù)平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和七參數(shù)空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方法，然后詳細(xì)論述了平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中一種基于象限分布的公共點(diǎn)選擇新方法，最后為驗(yàn)證該方法的可行性，利用模擬數(shù)據(jù)分別在平面坐標(biāo)系和空間坐標(biāo)系下進(jìn)行可行性分析。

1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

1.1 平面四參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

四參數(shù)模型是從布爾莎模型演化而來的，其計(jì)算式為

(1)

1.2 空間七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

設(shè)有兩個空間直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)不同，空間尺度不同，3個坐標(biāo)軸也互不平行，將其中一個坐標(biāo)系下的某空間點(diǎn)A轉(zhuǎn)換到另一個坐標(biāo)系下，需要計(jì)算兩坐標(biāo)系之間的7個轉(zhuǎn)換參數(shù)，包括3個旋轉(zhuǎn)參數(shù)εx，εy，εz，3個平移參數(shù)ΔX,ΔY,ΔZ和一個尺度因子λ。這7個參數(shù)與兩空間直角坐標(biāo)系中公共點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系[8-9]：

(2)

若已知兩坐標(biāo)系中至少3個公共點(diǎn)的三維坐標(biāo)，可利用最小二乘原理求解7個轉(zhuǎn)換參數(shù)的最或然值。若將原坐標(biāo)系依次繞Z軸、新的X軸和新的Y軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，則相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為

2 基于象限分布的公共點(diǎn)選取方法

2.1 平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中公共點(diǎn)的選取

基于象限分布的公共點(diǎn)選取方法主要考慮了公共點(diǎn)的幾何分布對求解結(jié)果的影響，在公共點(diǎn)點(diǎn)位精度相同的條件下，公共點(diǎn)分布比較密集時，從幾何角度上來講，各點(diǎn)與原點(diǎn)所成直線間夾角過??；從向量線性關(guān)系的角度來看，相當(dāng)于各點(diǎn)所成向量接近于線性相關(guān)。因此公共點(diǎn)分布不合理時容易導(dǎo)致轉(zhuǎn)換參數(shù)解算過程中法方程的病態(tài)性，其程度可用條件數(shù)K表示[10-12]。公共點(diǎn)分布越離散，點(diǎn)位幾何強(qiáng)度越好，K值越小，求解精度越高；反之求解精度越低。點(diǎn)位分布將直接影響參數(shù)求解精度。基于象限分布的公共點(diǎn)選取方法是根據(jù)公共點(diǎn)在坐標(biāo)象限中的分布情況，選取出分布盡可能離散的一定數(shù)目的公共點(diǎn)參與計(jì)算，以提高點(diǎn)位的幾何強(qiáng)度，從而提高參數(shù)求解精度。平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中假設(shè)原坐標(biāo)系下有如圖1所示分布的公共點(diǎn)，利用公共點(diǎn)象限分布的方法選取公共點(diǎn)。

1)對各公共點(diǎn)的Χ坐標(biāo)和Y坐標(biāo)取平均值，將坐標(biāo)原點(diǎn)O移到均值處，完成公共點(diǎn)坐標(biāo)的重心化；

2)在四個象限中，分別找到該象限中距離坐標(biāo)原點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)，即圖2中P1,P2,P3,P44點(diǎn)，并計(jì)算它們各自到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d1,d2,d3,d4；

3)取d1,d2,d3,d4的平均值d，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以d為半徑做圓，用該圓邊界所在的區(qū)域表示初始概略搜索區(qū)域，如圖3中的實(shí)線圓所示；

4)根據(jù)公共點(diǎn)間的平均距離s確定搜索參數(shù)L，L=k×s，k為實(shí)數(shù)，初始值可取為1。半徑為d+L和d-L的圓之間的區(qū)域即確定為初始搜索區(qū)域，如圖3中兩虛線圓之間的區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)最先被搜索到。

5)計(jì)算每個象限中初始搜索區(qū)域內(nèi)公共點(diǎn)到該象限中線(圖4中實(shí)對角線)的距離，距離中線最近的公共點(diǎn)視為滿足條件的公共點(diǎn)，完成一次搜索；

6)若初次搜索后搜索到的公共點(diǎn)數(shù)目大于最終需要的數(shù)目，則適當(dāng)減小k值以縮小初始搜索范圍再次搜索；反之則增大k值，從而擴(kuò)大初始搜索范圍繼續(xù)進(jìn)行搜索，直到搜索到滿足數(shù)目要求的公共點(diǎn)。

圖1 平面公共點(diǎn)分布

圖2 重心化后公共點(diǎn)分布

圖3 初始概略搜索區(qū)域

圖4 象限中線與搜索區(qū)域

平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換至少需要兩個公共點(diǎn)，由于該方法搜索得到的公共點(diǎn)分布具有最佳性，因此從3個或4個象限中搜索3～4個公共點(diǎn)求解的轉(zhuǎn)換參數(shù)就具有很高的精度。

2.2 三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中公共點(diǎn)的選取

將二維平面拓展到三維空間，基于公共點(diǎn)象限分布的選擇方法從8個象限中搜索一定數(shù)目的公共點(diǎn)，使得這些公共點(diǎn)的幾何強(qiáng)度最高。公共點(diǎn)的選擇方式與二維空間中類似，假設(shè)在三維空間下，兩坐標(biāo)系中有7個公共點(diǎn)，分別為P1～P7，它們在8個象限的空間分布如圖5所示，為形象地表示點(diǎn)與點(diǎn)之間的位置關(guān)系，在圖6中表示在XY平面內(nèi)的投影圖。

圖5 三維空間公共點(diǎn)分布

圖6 公共點(diǎn)的平面投影

基于象限分布的公共點(diǎn)選擇方法：對7個公共點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)重心化，使得7個公共點(diǎn)在8個象限中盡量均勻分布；確定初始概略搜索區(qū)域，概略搜索區(qū)域?yàn)橐磺蛎?，球心在坐?biāo)原點(diǎn)，半徑為各個象限中與坐標(biāo)原點(diǎn)相距最遠(yuǎn)點(diǎn)的平均值。初始概略搜索區(qū)域在XY平面內(nèi)的投影如圖7中虛線圓所示；確定初始搜索區(qū)域，在三維空間中，初始搜索區(qū)域?yàn)閮蓚€同心球體的非公共部分。兩同心球與第一象限的位置關(guān)系如圖8所示，P1，P2兩點(diǎn)位于此象限初始搜索范圍內(nèi)；從每個象限中搜索距離該象限中線(圖8中虛對角線為第一象限的中線)最近的點(diǎn)作為搜索到的公共點(diǎn)，盡量使得搜索到的點(diǎn)所在的象限互不相鄰。若第一次搜索后滿足條件的公共點(diǎn)數(shù)目多于最終需要的公共點(diǎn)數(shù)目則適當(dāng)減小k值以縮小初始搜索范圍；反之則增大k值，擴(kuò)大搜索范圍，循環(huán)搜索，直到搜索到最終需要數(shù)目的公共點(diǎn)。

要求得7個坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)需知道至少3個公共點(diǎn)，利用基于公共點(diǎn)象限分布的方法指導(dǎo)空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公共點(diǎn)選取時，可以找到分布合理且盡量少的公共點(diǎn)，使得用少量的點(diǎn)求得的結(jié)果與大量的點(diǎn)求得結(jié)果相當(dāng)甚至精度更高。

圖7 初始概略搜索區(qū)域

圖8 第一象限搜索區(qū)域

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公共點(diǎn)選取實(shí)驗(yàn)

假設(shè)在兩平面坐標(biāo)系中有7個公共點(diǎn)，它們在原平面直角坐標(biāo)系中的分布如圖9所示，坐標(biāo)值如表1所示。對7個公共點(diǎn)先繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)10°，再分別沿X，Y軸方向平移10 m，20 m，得到目標(biāo)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，對目標(biāo)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)加上σ=5 mm的高斯白噪聲擾動。

圖9 原平面公共點(diǎn)分布

公共點(diǎn)點(diǎn)號P1P2P3P4P5P6P7X坐標(biāo)值/m-50-45-40-40-101020Y坐標(biāo)值/m50604010-201030

若從7個公共點(diǎn)中選出3個參與求解轉(zhuǎn)換參數(shù)的平差計(jì)算，利用本文提出的方法選出的3個公共點(diǎn)為P3,P4,P7，對應(yīng)的公共點(diǎn)組合序號為28(表2列出了組合序號與公共點(diǎn)組合方式的對應(yīng)關(guān)系)。為表示其求解精度，利用未參與計(jì)算的點(diǎn)檢驗(yàn)所求的轉(zhuǎn)換參數(shù)，并計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差σ。

Δs2=Δx2+Δy2.

(3)

任意3個公共點(diǎn)參與計(jì)算時求得的方程條件數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、平移誤差和角度旋轉(zhuǎn)誤差如表3所示，其中組合序號為36的表示利用7個公共點(diǎn)共同求解的結(jié)果，將此結(jié)果作為參考值，對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差由7個點(diǎn)求得。

表2 公共點(diǎn)組合序號與公共點(diǎn)組合方式的對應(yīng)關(guān)系

表3 平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公共點(diǎn)組合方式與對應(yīng)的求解結(jié)果

為比較求解結(jié)果的精度，將各種組合方式下求得的結(jié)果繪制成圖10所示的直方圖。從圖中可以看出，標(biāo)準(zhǔn)差、角度和距離參數(shù)誤差與方程條件數(shù)有一定關(guān)系，條件數(shù)較小時標(biāo)準(zhǔn)差較小，角度和距離的求解誤差也均較小，反之條件數(shù)較大，標(biāo)準(zhǔn)差變大，角度和距離的求解誤差至少有一個較大。即反映了公共點(diǎn)分布幾何強(qiáng)度的好壞對求解結(jié)果精度的影響，當(dāng)公共點(diǎn)分布合理時條件數(shù)較小，對應(yīng)的參數(shù)求解精度及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度也較高。

圖10 平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換各種求解結(jié)果

從圖10中可以看出方程條件數(shù)較小的組合序號為12和28，即這兩種組合公共點(diǎn)的幾何強(qiáng)度高，再通過比較標(biāo)準(zhǔn)差和轉(zhuǎn)換參數(shù)誤差可知，組合序號為28的求解精度較高，這與利用本文的方法選出的公共點(diǎn)組合方式一致，且只用了3個公共點(diǎn)參與計(jì)算，減少了所需公共點(diǎn)的數(shù)量。

3.2 三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公共點(diǎn)選取實(shí)驗(yàn)

假設(shè)在兩空間直角坐標(biāo)系中有7個公共點(diǎn)，在原空間坐標(biāo)系中的分布如圖11所示，坐標(biāo)值如表4所示。對7個公共點(diǎn)分別繞X,Y,Z軸旋轉(zhuǎn)20°,40°,60°，再分別沿X,Y,Z軸方向平移10 m,20 m,30 m，得到目標(biāo)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，對目標(biāo)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)加上σ=5 mm的高斯白噪聲擾動。

圖11 原三維空間公共點(diǎn)分布

公共點(diǎn)點(diǎn)號P1P2P3P4P5P6P7X坐標(biāo)值/m100-1001001003080-10Y坐標(biāo)值/m10010010095-3060-20Z坐標(biāo)值/m100100-100-95-304020

從7個公共點(diǎn)中選出3個來求解7個轉(zhuǎn)換參數(shù)，并計(jì)算它們的真誤差。利用本文提出的方法選取到的公共點(diǎn)為P1,P2,P33個點(diǎn)，對應(yīng)的組合序號為1(見表5)，各種組合方式所求得的條件數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和七個轉(zhuǎn)換參數(shù)誤差如表5所示。

表5 三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公共點(diǎn)組合方式與對應(yīng)的求解結(jié)果

為分析各種組合方式下的求解精度，將各種組合方式下求解的條件數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、平移誤差和旋轉(zhuǎn)角度誤差繪制成如圖12所示的條形圖。

圖12 三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換各種求解結(jié)果

從圖中各種組合方式求得的標(biāo)準(zhǔn)差與參考值(組合序號為36)比較可以看出公共點(diǎn)組合序號為 1、7、20、25、26、28的6種組合方式求解結(jié)果精度較高，與之相對應(yīng)的條件數(shù)均較小，對應(yīng)的參數(shù)解算精度較高。在這6中組合方式中，組合序號為1的解算精度更高，這與利用本文提出的方法搜索到的公共點(diǎn)組合方式一致，因此本文提出的基于象限分布的公共點(diǎn)選擇方法在三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中能夠選出分布合理、數(shù)量少、參數(shù)求解精度高的公共點(diǎn)組合方式。

4 結(jié)束語

本文提出一種基于象限分布的公共點(diǎn)選取新方法，并結(jié)合模擬數(shù)據(jù)驗(yàn)證該方法指導(dǎo)平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時公共點(diǎn)布設(shè)和選取的可行性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明在公共點(diǎn)數(shù)量相同且較少的條件下，利用該方法選取公共點(diǎn)分布最為合理，幾何強(qiáng)度最高，只需少量公共點(diǎn)即可達(dá)到大量公共點(diǎn)共同求解的效果。