“探索圖形”教學紀實、反思與評析

韓巍 王巖

教學目標：

1.加深對正方體特征的認識和理解。

2.通過觀察、列表、想象等方式探索、發(fā)現(xiàn)圖形分類計數(shù)問題中的規(guī)律，體會化繁為簡解決問題的策略。

3.培養(yǎng)空間想象力，體會分類、數(shù)形結(jié)合、歸納、推理、模型等數(shù)學思想。

教學重點：學會從簡單的情況找規(guī)律，解決復雜問題的化繁為簡的思想方法。

教學難點：探索規(guī)律的歸納方法。

教具準備：2、3、4階魔方，學習單，課件。

教學過程：

一、 巧設(shè)障礙，引發(fā)思考

師：請大家看，黑板上出現(xiàn)的是什么圖形？

生：正方體。

師：正方體有哪些特點呢？

生：正方體有8個頂點，12條棱和6個面。

師：同學們，如果我對這個大正方體進行切割，請看這就是切割后的圖形，你們知道現(xiàn)在它是由多少個小正方體組成的嗎？

生：這個大正方體是由729個小正方體組成的。

師：這個數(shù)據(jù)你是怎么得到的呢？

生：我發(fā)現(xiàn)這個大正方體長寬高都被平均分成了9份，利用求正方體的體積公式我就求出了它有729個小正方體。

師：你可真了不起，通過細致的觀察，利用以前學過的知識就得到了準確的答案。

師：現(xiàn)在我們把這個大的組合圖形的表面涂漆，你知道什么是表面涂漆嗎？

生：就是把這個大正方體的外面圖上漆。

師：里面涂嗎？

生：里面不涂。

師：請大家猜測一下，每個小正方體的涂漆會如何呢？

生：有三面涂漆、兩面涂漆、一面涂漆還有沒涂上漆的。

師：為什么還有沒涂上漆的呢？

生：被包在里面的就涂不上。

師：還有其他情況嗎？

生：沒有。

師：每一類小正方體分別有多少個呢？我們來分類填一填。（出示表格）如果請你來數(shù)一數(shù)，你有什么感覺？

生：太多了，數(shù)不過來啊！

師：看來這個圖形太復雜了，數(shù)起來很麻煩，你有什么好辦法解決這個問題嗎？

生：我算一算。

師：你一定是有了什么方法，你是怎么得到這樣的方法的呢？

生：我們化繁為簡，可以研究比較簡單的正方體，看看有什么規(guī)律，然后再解決這個問題。

師：下面，我們就來用這個辦法嘗試一下。

二、 合作探究，完成建模

（一） 嘗試解決，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：你認為什么樣的圖形比較簡單，容易找到答案呢？

生：長寬高各有2個正方體，3個正方體，4個正方體的圖形。

出示合作要求

兩人一組合作研究?；顒右螅?/p>

1.借助手中的魔方，數(shù)一數(shù)、算一算，把結(jié)果填在記錄表中。

2.觀察表中記錄的數(shù)據(jù)，看看你發(fā)現(xiàn)了什么。

（生四人為一組合作研究。）

師：說說你的發(fā)現(xiàn)。

生：三面涂色的小正方體都位于大正方體的頂點的位置，都有8個。

生：三階魔方中，兩面涂色的是位于每條棱的中間，每條棱上有一個小正方體，12條棱就有12個小正方體。

師：你是怎么算出來的呢？

生：如果一條棱上有3個正方體，減去兩邊的正方體，就是1，再用1乘12得到12個小正方體。

師：那么四階魔方呢？

生：一條棱上有4個正方體，減去兩邊的正方體，就是2，再用2乘12得到24個小正方體。

師：還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生：一面涂色的是每個面上除去外圈的小正方體。

師：你是怎么算出每個面上除去外圈的小正方體的個數(shù)呢？

生：以3階魔方為例，一個面有9個小正方形，外圈有8個，9-8=1，面上就有1個。

師：這位同學是用一個面的總個數(shù)減去外圈的數(shù)量得到的數(shù)據(jù)。還有什么方法嗎？

生：以3階魔方為例，一個面橫著看有3行小正方體，減去上下兩行就是中間1行，就有1個小正方體一面涂色。

師：那么，你列的算式就是3-2=1，是嗎？如果用這樣的思路來解決4階魔方可以嗎？

生：不行，4-2=2，可是我們數(shù)出的是一個面有4個小正方體一面涂色??！

生：以4階魔方為例，一個面橫著看有4行小正方體，減去上下兩行就是中間2行，豎著看有4列小正方體，減去左右兩列就是中間2列，2乘2就是4個小正方體一面涂色。

師：你真是一個善于觀察、善于總結(jié)方法的學生，就一面涂色的情況誰還有自己的發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)一個面的正方形個數(shù)就可以用求面積的方法，長是2，寬是2，2乘2就得4了，再用4乘6個面就得到了24。

師：你把求平面圖形面積的方法用在了求一面涂色的塊數(shù)上，真有辦法。

生：我還發(fā)現(xiàn)用小正方體的總數(shù)量減去前三項的數(shù)量就是中間沒有涂色的數(shù)量。

師：你很善于思考，還有其他方法得到?jīng)]有涂色的數(shù)量嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)4階魔方的里面沒有涂色的就是2階魔方，3階魔方的里面就是1個小正方體。

生：以3階魔方為例，我發(fā)現(xiàn)如果用3減2就得到1了。

生：我認為這種方法不對，如果是4階魔方也不能用4減2啊。

師：是啊，那么怎么來數(shù)、來算呢？

生：4階魔方有4層小正方體，去掉上下2層就剩下中間2層了，前后數(shù)共4行去掉前后2行剩下中間2行，左右數(shù)共4列去掉左右2列剩下中間2列，所以是2乘2乘2得到的8個。

師：老師這里有個非常直觀的課件，誰愿意像他描述的這樣來操作一下？

（生一邊操作一邊講解。）

師：看來這個中心部分的塊數(shù)、我們可以借助求正方體的體積的方法得到。

師：大家看這兩種算中間沒有涂漆的小正方體的結(jié)果一樣嗎？

生：一樣。

師：雖然我們看不到里面的中心部分，但是我們用這兩種方法都可以解決這個問題，而且它們相互驗證了結(jié)果的準確性。

（二） 應用規(guī)律，解決問題

師：大家有了這么多發(fā)現(xiàn)和方法，現(xiàn)在你們能解決稍微復雜的問題了嗎？我們來試一試吧！以小組為單位算一算5×5×5、6×6×6的正方體，并繼續(xù)完成表格。

匯報交流：

生：用n表示正方體的棱長（所含小正方體的塊數(shù)），規(guī)律可以這樣表示：三面涂色小正方體的塊數(shù)=8（頂點的個數(shù)），兩面涂色小正方體的塊數(shù)=（n-2）×12，一面涂色小正方體的塊數(shù)=（n-2）2×6，沒有涂色小正方體的塊數(shù)=（n-2）3。

師：你真善于總結(jié)，你在這幾個公式中有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)除了三面涂色是與8個頂點位置的正方體有關(guān)，其他的分別是（n-2）的一次方，（n-2）的二次方，（n-2）的三次方。

師：為什么有這樣的規(guī)律呢？

生：因為求兩面涂色的正方體在棱上，棱上中間有幾個正方體再乘12條棱，一面涂色的正方體是在面上，要用中間長和寬相乘，而長和寬又相同，所以就是平方數(shù)乘6個面，最里面沒有涂色的部分實際是個正方體，所以是立方數(shù)。

師：你善于觀察和總結(jié)，把這幾種涂色情況分析得真透徹。

師：現(xiàn)在我們再來解決課開始前的問題吧！

三、 結(jié)合實際，引發(fā)興趣

師：在生活中，這種利用規(guī)律解決問題的情況還有很多，如金字塔圖形的數(shù)量問題，正方體組成長方體涂漆問題，都可以利用我們今天學到化繁為簡的方法來分析解決，還有把數(shù)學知識運用到其他領(lǐng)域的情況，如工程設(shè)計、美術(shù)裝飾，希望同學們都能有善于發(fā)現(xiàn)善于總結(jié)的學習習慣，去解開更多的秘密。

反思：

“數(shù)學好玩”是我校正在探索實踐的課程，它以數(shù)學學科為載體，廣泛挖掘課內(nèi)外學習資源，充分調(diào)動學生學習積極主動性，以培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)為目標。在我執(zhí)教的“探索圖形”一課時，從設(shè)計到實施，也努力以此為依據(jù)。

首先，我設(shè)計了兩次以小組為單位的交流實踐活動，通過第一次觀察、想象和推理數(shù)一數(shù)、算一算每種涂色情況，并嘗試用列表的方法表示出來，逐步發(fā)現(xiàn)每種涂色情況的位置和規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，學生進行第二次活動，應用規(guī)律解決問題，在數(shù)學實踐活動中學會合作、學會交流，享受成功的喜悅，體驗數(shù)學學習的樂趣。

第二，我將數(shù)學思想融入到此次學習中，從數(shù)學問題的提出到引導學生利用化繁為簡的數(shù)學思想解決問題，從數(shù)一數(shù)、算一算、填一填的學習活動到發(fā)現(xiàn)分類計數(shù)問題中的規(guī)律，從歸納、推理的研究交流到建立數(shù)形結(jié)合、完成建模的學習體驗，一步一步引導學生把握問題共性的同時發(fā)展學生的空間觀念及空間想象能力。

第三，在本節(jié)課中我力求深度挖掘教材，以小學階段接觸到的空間幾何領(lǐng)域的點、線、面、體的知識體系串聯(lián)本課學習內(nèi)容，并與一次方、二次方、三次方的代數(shù)知識對接，讓學生感受到數(shù)學學習的連貫性和遞進性，體會數(shù)學領(lǐng)域的神奇以及學習數(shù)學的樂趣。

評析：

1.“數(shù)學好玩”讓學生“玩”起來

“數(shù)學好玩”課程的顯著特點之一就是讓學生真正成為學習的主體，利用合作、交流以及探究等多種形式“玩”起來。本節(jié)課教師就舍得將課堂時間留給學生，第一次探究的時間為8分鐘，第二次合作交流的時間為5分鐘，在一節(jié)40分鐘的課中，這13分鐘的時間是不短的，同時課堂上采用小組活動和全員參與活動相結(jié)合的形式，讓學生有了充分的活動時間和空間，提供了發(fā)現(xiàn)總結(jié)規(guī)律的機會，在活動中品嘗到了成功的樂趣。

2.“數(shù)學好玩”體現(xiàn)核心素養(yǎng)

“數(shù)學好玩”這一課程以提升數(shù)學核心素養(yǎng)為中心，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析的能力。本課教學中，教師就現(xiàn)有的教材進行了深入的鉆研，帶領(lǐng)學生感悟到化繁為簡的數(shù)學思想，經(jīng)歷建立數(shù)學模型的過程，從分類計數(shù)、推理和數(shù)形結(jié)合體驗中，豐富了思維活動經(jīng)驗，尤其是在課程接近尾聲的時候，自然地揭示了三面涂色、兩面涂色、一面涂色、沒有涂色和點、線、面、體的關(guān)系，感知了從一維空間、二維空間到三維空間的數(shù)學模型建立體系。讓學生經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并運用的過程。

3.“數(shù)學好玩”從知識本位走向課程本位

“數(shù)學好玩”作為花園小學研發(fā)的一項課程，不是以知識為唯一或幾乎以知識為唯一的教學目標，而是致力于凸顯學生在課程學習中發(fā)生的變化，思維由淺入深逐步提升，學習興趣逐漸濃厚，自信心顯著提升，追求從知識本位走向課程本位。這節(jié)課中，教師關(guān)注的是如何讓學生愛上數(shù)學，利用喜歡的魔方作為學具，拉近生活、游戲與學習的距離，暢談“你的發(fā)現(xiàn)”培養(yǎng)學生習慣用數(shù)學的思維分析并解決問題，共同合作交流促進情感態(tài)度價值觀的建立。

編輯/魏繼軍