一類(lèi)分?jǐn)?shù)階橢圓型方程的非平凡解

張 申 貴

(西北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 蘭州 730030)

0 引 言

考慮如下分?jǐn)?shù)階橢圓型方程:

(1)

其中:Ω是N中具有局部Lipschitz邊界?Ω的有界開(kāi)集,N>ps,s∈(0,1),p∈(1,+∞); 參數(shù)λ≥0;F(x,u)=f(x,s)ds. 設(shè)A(t): [0,+∞)→+和B(t):→為連續(xù)函數(shù).

分?jǐn)?shù)階微分方程在控制論、電化學(xué)和神經(jīng)元等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 目前, 關(guān)于分?jǐn)?shù)階橢圓型方程的研究已有很多結(jié)果, 如: 文獻(xiàn)[3]討論了分?jǐn)?shù)階Sobolev空間的性質(zhì); 文獻(xiàn)[4]研究了一類(lèi)帶有臨界指數(shù)的分?jǐn)?shù)階Kirchhoff型方程的可解性; 當(dāng)非線(xiàn)性項(xiàng)帶有參數(shù)時(shí), 文獻(xiàn)[5]討論了分?jǐn)?shù)階Laplace方程非平凡解的存在性和分歧問(wèn)題; 文獻(xiàn)[6]研究了分?jǐn)?shù)階Laplace方程在自由邊界上的變分問(wèn)題; 當(dāng)p=2,A(t)=B(t)=1時(shí), 文獻(xiàn)[7-8]利用山路定理研究了問(wèn)題(1)多重解的存在性; 文獻(xiàn)[9]利用Morse理論和計(jì)算臨界群的方法, 得到了分?jǐn)?shù)階p-Laplace方程

非平凡解的存在性, 其中方程右端的非線(xiàn)性項(xiàng)f(x,u)滿(mǎn)足(AR)型超線(xiàn)性條件: 即存在μ>p,L>0, 使得

0<μF(x,u)≤f(x,u)u

其中函數(shù)K:N{0}→(0,+∞)滿(mǎn)足:

?t∈.

本文在一類(lèi)不同于(AR)條件的超線(xiàn)性條件下, 利用文獻(xiàn)[13]中建立的臨界點(diǎn)定理研究問(wèn)題(1)非平凡解存在的充分條件.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[9]分?jǐn)?shù)次Sobolev空間Ws,p(N)定義為

其中S表示可測(cè)實(shí)值函數(shù)組成的集合. 記

X(Ω)={u∈Ws,p(N)|u(x)=0, a.e.x∈NΩ},

X(Ω)上的范數(shù)為

引理2[9]記

?u,v∈X(Ω).

引理3(臨界點(diǎn)定理)[13]設(shè)X為Banach空間, 泛函Iλ∈C1(X,), 且下列條件成立:

2) 泛函Iλ下方無(wú)界;

3) 記泛函Iλ∶=Φ-λΨ, 且Φ,Ψ∈C1(X,)滿(mǎn)足Φ下方有界,Φ(0)=Ψ(0)=0. 給定r>0, 對(duì)每個(gè)有則對(duì)于泛函Iλ至少有兩個(gè)非平凡的臨界點(diǎn).

若對(duì)?v∈X(Ω), 有

則稱(chēng)u∈X(Ω)為問(wèn)題(1)的弱解.

在X(Ω)上定義能量泛函Iλ如下:

其中:

則Iλ(u)∈C1(X(Ω),), 且

從而u∈X(Ω)是問(wèn)題(1)的(弱)解等價(jià)于u是泛函Iλ的臨界點(diǎn).

2 主要結(jié)果

假設(shè)下列條件成立:

(H1) 設(shè)存在常數(shù)a0>0, 使得對(duì)所有的t∈[0,+∞)，A(t)≥a0均成立；

(H2) 設(shè)存在常數(shù)η≥1, 使得對(duì)所有的t∈[0,+∞)，

均成立；

(H3) 設(shè)存在常數(shù)b0>0,b1>0, 使得對(duì)所有的t∈,b0≤B(t)≤b1均成立;

(H6) 設(shè)存在常數(shù)L>0,c1>0,c2>0, 使得:

1) 當(dāng)|u|≥L時(shí), 有

本文主要結(jié)果如下:

定理1設(shè)條件(H1)～(H7)成立, 則存在λ*>0, 使得對(duì)每個(gè)λ∈[0,λ*], 問(wèn)題(1)均至少有兩個(gè)非平凡解.

證明: 1) 證明泛函Iλ滿(mǎn)足(C)條件. 設(shè){un}?X(Ω)為泛函Iλ的(C)序列, 則

(un)‖≤c3, |Iλ(un)|≤c3.

(2)

首先, 證明序列{un}在X(Ω)中有界. 假設(shè){un}在X(Ω)中無(wú)界, 則當(dāng)n→∞時(shí),

‖un‖→+∞.

(3)

且

(4)

由假設(shè)條件(H2)～(H4)和式(3), 有

由假設(shè)條件(H5)及(H6)中1)知, 存在常數(shù)c5>0, 使得對(duì)所有的x∈Ω和u∈,

(7)

均成立. 結(jié)合式(6),(7), 有

(8)

(9)

結(jié)合式(5),(9), 當(dāng)n→∞時(shí), 有

(10)

當(dāng)n充分大時(shí), 由條件(H6)中2)及式(6), 有

(11)

由假設(shè)條件(H1),(H3), 有

記

?u,v∈X(Ω).

2) 證明泛函Iλ滿(mǎn)足引理3中條件2). 令

由假設(shè)條件(H2), 有

(14)

利用假設(shè)條件(H4)同理可證, 存在c9>0,c10>0, 使得對(duì)?t∈時(shí), 有

(15)

由假設(shè)條件(H7), 對(duì)于?υ>0, 存在c11>0, 使得

(16)

對(duì)所有的x∈Ω和u∈成立. 取u0∈X(Ω){0}, 對(duì)于t>1, 由式(14)～(16)及λ≥0, 有

令υ充分大, 使得

3) 證明泛函Iλ滿(mǎn)足引理3中條件3). 記

Iλ(u)∶=Φ-λΨ∈C1(X(Ω),),

其中:

由條件(H1), 有

(18)

式(18)表明, 泛函Φ下方有界, 且對(duì)于u∈X(Ω), 滿(mǎn)足Φ(u)<1, 有

‖u‖

(19)

(20)

(21)

結(jié)合假設(shè)條件(H3),(H5)及式(19)～(20), 對(duì)于u∈X(Ω), 且滿(mǎn)足Φ(u)<1, 有

注1令非局部系數(shù)A(t)=a+bpt, 其中:t≥0;p∈(1,+∞);a和b為正常數(shù). 則函數(shù)A(t)滿(mǎn)足條件(H1)和(H2).

事實(shí)上,A(t)=a+bpt≥a>0, 易見(jiàn)a0=a. 取η=p, 對(duì)t≥0, 有

令B(t)=arctant+π, 則有

從而B(niǎo)(t)滿(mǎn)足條件(H3),(H4). 取A(t)=B(t)=1, 此時(shí)η=1, 令p=2, 且

則F滿(mǎn)足定理1中條件, 但不滿(mǎn)足(AR)條件, 也不滿(mǎn)足文獻(xiàn)[2-12]中定理的條件.