基于PSO算法的拋物線形渠道斷面優(yōu)化

弋昭媛

(新疆額爾齊斯河流域建設(shè)開發(fā)管理局，新疆 烏魯木齊 830000)

我國是農(nóng)業(yè)灌溉大國，農(nóng)業(yè)用水總量占總用水量的2/3，其中灌溉用水量高達農(nóng)業(yè)用水的90%以上，缺水問題已經(jīng)成為我國面臨的突出問題[1]。據(jù)統(tǒng)計，我國灌溉水利用率遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于發(fā)達國家，水利用系數(shù)僅為0.502。渠道作為目前我國灌區(qū)的主要輸水設(shè)施，其輸水效率成為影響灌區(qū)生產(chǎn)效益的直接因素。渠道滲漏不僅導(dǎo)致水資源的浪費，并且造成土壤的鹽堿化[2]。因此，建立科學(xué)合理的防滲與渠道襯砌體系對于緩解我國水資源供需矛盾和提高農(nóng)業(yè)灌溉用水利用率具有十分重要的意義。拋物線形混凝土渠道由于具有模具制作容易，控制、抗凍脹效果優(yōu)良和斷面連續(xù)性好等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于防滲工程與渠道襯砌。有關(guān)學(xué)者對于拋物線形混凝土渠道的水力斷面、參數(shù)進行了一定的研究。魏文禮[3]等根據(jù)新型立方拋物線形渠道，計算得到其斷面渠道較優(yōu)的水力輸水性能。文輝[4]等根據(jù)水力學(xué)公式的優(yōu)化擬合推算出半立方拋物線形渠道的相似公式。張麗偉[5]根據(jù)定積分推算出三次拋物線形渠道的水深與濕周的計算公式并通過實例加以分析。本文首先介紹PSO算法的相關(guān)理論知識，然后以設(shè)計流量與計算流量之差最小為目標(biāo)函數(shù)，以渠道寬深比和不沖不淤流速為約束條件，對二次拋物線形渠道斷面優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型進行研究，對比分析了北屯灌區(qū)三干渠傳統(tǒng)優(yōu)化方法與PSO算法的求解結(jié)果，為拋物線形渠道混凝土襯砌斷面的設(shè)計提供了參考依據(jù)。

1 PSO算法

1.1 基本原理

PSO算法又稱粒子群優(yōu)化算法，是一種通過迭代方式尋找最優(yōu)解的優(yōu)化算法，該算法由Knnedy和Eberhart于1995年提出的一種新的全局優(yōu)化演化算法[6- 7]。該算法通過搜索需要優(yōu)化問題的可能粒子，每個粒子由優(yōu)化問題中目標(biāo)函數(shù)的某一適應(yīng)值決定，而粒子的飛行軌跡則取決于某一個速度，然后搜索空間中的粒子按照此速度隨著其中的最優(yōu)粒子進行搜索。將此算法應(yīng)用于數(shù)學(xué)模型中，根據(jù)特定的迭代形式就可以求得目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解[8]。

假設(shè)種群規(guī)模為d，則區(qū)域內(nèi)第i個粒子的速率可以表示為Vi=(vi，1vi，2vi，d)，位置為Xi=(xi，1xi，2xi，d)，循環(huán)迭代過程中，粒子通過2個最優(yōu)解實現(xiàn)自身的更新，這兩個最優(yōu)解為全局最優(yōu)解(gBest，Pg)和個體極值(pBesti)，粒子追蹤最優(yōu)解過程中更新依據(jù)為：

νi，j(t+1)=ωνi，j(t)+c1r1[pi，j-xi，j(t)]+c2r2[pg，j-xi，j(t)]

(1)

式中，r1和r2—[0,1]內(nèi)均勻隨機數(shù)，c1和c2—學(xué)習(xí)因子，ω—慣性權(quán)重。

1.2 參數(shù)設(shè)置

PSO算法無需設(shè)置過多的參數(shù)，必要的參數(shù)需要被設(shè)置來確保算法的收斂性，其中包括慣性權(quán)重ω、種群規(guī)模d、最大速率vmax和學(xué)習(xí)因子c1和c2[9- 10]。慣性權(quán)重ω可以影響粒子的搜索能力，合適的ω值有利于實現(xiàn)以較少的迭代次數(shù)來得到最優(yōu)解的能力，通常取值范圍在[0.9，1.2]之間。種群規(guī)模d一般選擇30個微粒，就可以得到較好的結(jié)果，多目標(biāo)優(yōu)化時需要適宜地增加微粒個數(shù)來得到最優(yōu)解。最大速率vmax表示在飛翔過程中粒子飛行的最大距離，一般情況下小于搜索空間的寬度。學(xué)習(xí)因子c1、c2表示粒子飛向全局最優(yōu)解和個體極值的加速權(quán)重，為了防止局部極小，提高算法的速度，應(yīng)該選擇正確的學(xué)習(xí)因子，通常c1和c2取值相同并介于[0，4]之間。

1.3 尋優(yōu)過程

在拋物線形渠道斷面的優(yōu)化設(shè)計中應(yīng)用PSO算法，需要確定待優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)、設(shè)定設(shè)計變量和初始化參數(shù)，運用PSO算法對目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計變量做到尋優(yōu)搜索，具體過程為[11]：

(1)初始化粒子群中粒子的速率和位置；

(2)研究所有粒子的適應(yīng)度值，在各粒子的個體極值中保存其位置和適應(yīng)值，在全局最優(yōu)解中保存其中所尋找粒子的最優(yōu)值的位置和適應(yīng)值；

(3)參考式(1)對粒子的位移和速率進行更新；

(4)對比分析每一個粒子的適應(yīng)值與其飛行過的最好位置，假設(shè)其適應(yīng)值較優(yōu)，則認(rèn)為它為最佳位置。

(5)對比剖析當(dāng)前所有的全局最優(yōu)解和個體極值，進一步更新gbest。

(6)獲取符合運算精度條件與預(yù)設(shè)的迭代次數(shù)的搜索結(jié)果，否則返回繼續(xù)搜索。

2 拋物線形渠道斷面優(yōu)化方法研究

2.1 拋物線形渠道斷面優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

為了方便施工過程中計算、控制與渠道設(shè)計，渠道斷面選擇二次拋物線形，見圖1。

圖1 渠道斷面示意圖

假設(shè)圖1渠道斷面二次拋物線方程為：

y=ax2，則二次拋物線形渠道過水?dāng)嗝鏉裰芘c過水?dāng)嗝婷娣e分別為：

(2)

(3)

式中，a—方程形狀參數(shù)；h—渠道正常水深,m；b—水面寬度,m；χ—渠道過水?dāng)嗝鏉裰?；A—渠道過水?dāng)嗝婷娣e,m2。

通過明渠均勻流流量公式和二次拋物線求導(dǎo)方程相結(jié)合，進一步得到二次拋物線形渠道流量Q與a、h之間的關(guān)系：

(4)

渠道斷面的設(shè)計優(yōu)化指在渠道底坡和糙率已知的情況下，并且滿足一定的約束條件，使得渠道過水?dāng)嗝娴拿娣e達到最小，設(shè)計流量與計算流量之差最小，根據(jù)約束條件計算渠道水深與方程形狀參數(shù)的最優(yōu)解，則二次拋物線形渠道斷面優(yōu)化模型為：

(5)

式中，i—渠道底坡；n—糙率系數(shù)；Qd—設(shè)計流量,m3/s。

考慮到渠道穩(wěn)定性與工程設(shè)計要求，目標(biāo)函數(shù)設(shè)計流量Qd與計算流量Q還應(yīng)該滿足以下約束條件：

(1)渠道寬深比應(yīng)滿足：3.5>b/h>0.8。

(2)渠道流速應(yīng)滿足不淤、不沖的要求，vcs表示不沖流速，vcd表示不淤流速，則平均流速應(yīng)該介于兩者之間，即vcd0。

2.2 實例分析

以北屯灌區(qū)三干渠為例進行分析，該渠段原設(shè)計形狀為U型，水深設(shè)計40cm，渠深50cm，口寬56cm，混凝土襯砌厚度5cm，設(shè)計流量0.33m3/s，渠道底坡0.0125，將其改造為二次拋物線形混凝土渠道，糙率系數(shù)為0.014，渠道底坡i為0.0125，渠道不淤流速為0.23m/s，不沖流速為5.0m/s。首先根據(jù)傳統(tǒng)計算法，設(shè)計水深仍然選取40cm，試算得到符合要求的計算流量和二次拋物線形方程形狀參數(shù)，結(jié)果見表1。

表1 流量與形狀參數(shù)的試算結(jié)果

由表1可知，當(dāng)設(shè)計流量為0.33m3/s時，二次拋物線方程系數(shù)a為5.12，故二次拋物線方程為y=5.12x2。通過PSO算法進行優(yōu)化求解，目標(biāo)函數(shù)設(shè)定為設(shè)計流量與計算流量之差最小，以渠道寬深比和不沖不淤流速為約束條件，通過軟件MATLAB進行全局搜索，得到滿足二次拋物線形渠道設(shè)計要求的最優(yōu)水深h與形狀參數(shù)a。

PSO算法優(yōu)化求解過程中，采用罰函數(shù)形式處理約束條件，設(shè)置參數(shù)為：種群規(guī)模200，進化次數(shù)500，水深h變化區(qū)間為[0，1.0]，形狀參數(shù)a在變化區(qū)間[5.00，5.20]中取離散值，學(xué)習(xí)因子c1和c2均取1.49445，則PSO搜索結(jié)果與試算法結(jié)果見表2。

由表2可知，通過PSO算法不低于20次全局搜索可以得到六組方案，均能夠滿足約束條件，計算流量Q精確到10-9m3/s，在某種程度上解決了傳統(tǒng)優(yōu)化方法中存在的問題。由表2還知，二次拋物線方程形狀參數(shù)a能夠?qū)η罃嗝鎯?yōu)化產(chǎn)生一定的影響，PSO算法中水?dāng)嗝婷娣e在a取5.06時達到最優(yōu)，與試算法a取5.12相比，減少了0.1087%，在設(shè)計流量與計算流量接近的前提下，能夠有效地減少渠道的開挖量。對比最優(yōu)化方案與試算法所得二次拋物線形渠道土方量可知，二次拋物線形渠道混凝土襯砌量減少4.7593m3，土方量減少6.2192m3。

3 結(jié)論

采用PSO算法對二次拋物線形渠道斷面優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型進行了研究，并以北屯灌區(qū)三干渠為例，對比分析了傳統(tǒng)優(yōu)化方法與PSO算法的求解結(jié)果，得到以下主要結(jié)論。

(1)通過建立以二次拋物線形為渠道斷面，以設(shè)計流量與計算流量之差最小為目標(biāo)函數(shù)的渠道斷面優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，根據(jù)PSO算法進行優(yōu)化計算，以渠道寬深比和不沖不淤流速為約束條件，能夠得到滿足二次拋物線形渠道設(shè)計要求的最佳優(yōu)化方案。

(2)根據(jù)傳統(tǒng)計算法得到二次拋物線方程為y=5.12x2，方程系數(shù)a為5.12，設(shè)計流量為0.33m3/s。通過PSO算法進行全局搜索得到六組方案，均能夠滿足約束條件，并且計算流量Q精確到10-9m3/s，在某種程度上能夠解決傳統(tǒng)優(yōu)化方法中存在的問題。

(3)通過優(yōu)化斷面與PSO算法相結(jié)合的方法可以達到拋物線形渠道工程優(yōu)化的要求，為拋物線形渠道混凝土襯砌斷面的設(shè)計提供了參考依據(jù)。

表2 PSO搜索結(jié)果與試算法結(jié)果比較表