下凡的精靈：投影向量

姜寶松

摘要：2019年人教版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)·必修·第二冊(cè)》引入了投影向量概念，通過(guò)投影向量與舊教材中向量的投影概念辨別，理解投影向量的本質(zhì)和作用，用投影向量解釋數(shù)量積并進(jìn)行運(yùn)算，提升數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：投影向量;數(shù)量積;高維空間;低維子空間

1 問(wèn)題的產(chǎn)生

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》實(shí)施后，2019年人教版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)·必修·第二冊(cè)》（后簡(jiǎn)稱(chēng)“新教材”）中出現(xiàn)了概念“投影向量”，取消了舊教材中“向量的投影”這一概念.有教師在講授這一知識(shí)時(shí)誤認(rèn)為還是舊的概念，還有教師發(fā)現(xiàn)投影向量，只是在證明數(shù)量積的分配律時(shí)使用過(guò)，后面就如曇花一現(xiàn)般消失不見(jiàn)，不理解教材中為什么引入投影向量.

2 概念辨別

舊教材中向量的投影是一個(gè)數(shù)量，利用這個(gè)數(shù)量來(lái)解釋向量的數(shù)量積.有教師因?yàn)榕f教材的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，先入為主地認(rèn)為投影向量也是個(gè)數(shù)量，從而造成概念混淆.

新教材中投影向量的定義為“向量a，b是兩個(gè)非零向量，AB=a，CD=b，作如下的變換：過(guò)AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，我們稱(chēng)上述變換為向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量”（如圖1所示），這里投影是一種數(shù)學(xué)線性變換，投影向量正是在這個(gè)變換下產(chǎn)生的，投影向量是一個(gè)向量，而不是數(shù)量.

3 投影向量的數(shù)學(xué)本質(zhì)及其作用

向量的投影（這里是指正交投影）是高維空間到低維子空間的一種線性變換，得到的是低維子空間內(nèi)的向量.例如，設(shè)空間Q是高維空間R的一個(gè)低維子空間，高維空間R內(nèi)的一個(gè)向量a向子空間Q作投影變換（正交投影），得到子空間Q內(nèi)的向量b（b即是投影向量），b是子空間Q中到向量a距離最短的向量[1].三維空間內(nèi)的平面和直線均為其低維子空間，二維平面內(nèi)的直線是其低維子空間.高中階段，在點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、向量的正交分解中，投影向量均發(fā)揮了重要的作用.

3.1 勾股定理

向量OA與向量b共起點(diǎn)，借助圖形（距離最短，如圖2所示），易知向量OA在向量b上的投影向量OA1與AA1構(gòu)成直角三角形，投影向量把勾股定理帶到我們面前.

3.2 點(diǎn)到直線的距離（向量推導(dǎo)）

設(shè)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)Q（x0，y0），直線l：Ax+By+C=0，求點(diǎn)Q到直線l的距離d.

推導(dǎo)：如圖3，在直線l上任取點(diǎn)P（x1，y1），則有Ax1+By1+C=0.

取直線l的一個(gè)法向量n=（1，BA），易知d就是向量PQ在法向量n上投影向量的模

（投影向量的模后面有推導(dǎo)過(guò)程）.

則d=PQ·nn=x1-x0+BA（y1-y0）1+B2A2

=A（x1-x0）+By1-y0）A2+B2

=Ax0+By0+CA2+B2.

3.3 點(diǎn)到平面的距離公式

推導(dǎo)：如圖4，點(diǎn)Q為平面α外一點(diǎn)，任取平面內(nèi)一點(diǎn)P，設(shè)平面α的一個(gè)法向量n，則點(diǎn)Q到平面α的距離d等于向量PQ在法向量n上的投影向量的模，

即d=PQ·nn.

同理，也可用投影向量得出兩異面直線間距離公式.

以上距離公式的推導(dǎo)過(guò)程，可以總結(jié)為：點(diǎn)到平面的距離，即是向量（點(diǎn)和平面內(nèi)的任意一點(diǎn)形成）在平面法向量上的投影向量的模;點(diǎn)到直線的距離亦是如此.這一過(guò)程體現(xiàn)了投影向量在降維中的作用，投影向量就像是高維空間降到低維子空間的精靈，聯(lián)結(jié)起高維空間與低維子空間，舞動(dòng)穿插于諸多數(shù)學(xué)知識(shí)中.

4 投影向量的教學(xué)建議

新教材中，在數(shù)量積的定義之后，給出了投影和投影向量的概念，并用較大篇幅探討明了投影向量的計(jì)算方法.教材至此對(duì)投影向量停止介紹，之后僅在數(shù)量積的分配律時(shí)使用過(guò)投影向量，在后續(xù)教材中不見(jiàn)蹤跡.這也是部分教師對(duì)投影向量地位認(rèn)識(shí)不足，對(duì)教材中投影向量感到突兀的原因.結(jié)合上述投影向量的本質(zhì)和作用，給出如下教學(xué)建議.

4.1 投影向量計(jì)算方法的改進(jìn)

教材中投影向量的計(jì)算方法為OM=acos θe（其中OM為向量a在向量b方向上的投影向量，e為與b同向的單位向量，θ為a與b的夾角）.這種方法主要是借助幾何直觀，利用投影向量的定義得出.

還可利用向量的代數(shù)特性，進(jìn)一步推導(dǎo)出投影向量計(jì)算方法的另一種形式：

OM=acos θe=acos θbbe=a·b|b|e=a·b|b|bb=a·bb2b.

即投影向量的計(jì)算方法有兩中形式：

（1）OM=acosθe;

（2）OM=a·bb2b.

形式（1）體現(xiàn)出投影向量運(yùn)算的幾何特征，形式（2）體現(xiàn)出投影向量的代數(shù)運(yùn)算特征.由形式（2）還可以推導(dǎo)投影向量的模，推導(dǎo)如下：

OM=a·bb2b=a·bb2b=a·bb.

|a·b||b|

即向量a在向量b方向上的投影向量的模.

例1已知a=6，e為單位向量，當(dāng)向量a，e的夾角θ分別等于45°，90°，135°時(shí)，求向量a在向量e上的投影向量.

例2如圖5，已知△ABC的外接圓圓心為O，且2AO=AB+AC，|OA|=|AB|，則向量BA在向量BC上的投影向量為???? .

例1、例2均為教材中的原題，借助幾何直觀，利用形式（1）可迅速求解.

例3

已知b=5，a=4，a·b=15，求向量a在向量b上的投影向量.

解：向量a在向量b上的投影向量為a·bb2b=35b.

例4

已知a=-2，1，b=（4，3），求向量a在向量b上的投影向量.

解：向量a在向量b上的投影向量為a·bb2b=-15b=-45，-35.

例3、例4以及2019年人教版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第89頁(yè)第15題，用形式（2）容易解決.

4.2 利用投影向量解釋數(shù)量積

數(shù)量積刻畫(huà)的是兩個(gè)向量的模和夾角余弦的乘積.其實(shí)，用投影向量也可以解釋數(shù)量積.已知OM為向量a在向量b上的投影向量，e為與b同向的單位向量，θ是向量a與向量b的夾角，由投影向量的計(jì)算方法，可得OM=a·bb2b，

所以

OM·b=a·bb2b·b=a·bb2b2=a·b.

下面為幾何解釋?zhuān)鐖D6所示：

設(shè)OA=a，OB=b，OM為向量a在向量b上的投影向量.

即a·b等于a在b上的投影向量與向量b的數(shù)量積.用投影向量來(lái)解釋數(shù)量積，體現(xiàn)了平面向量到一維向量的降維轉(zhuǎn)化，也能更好地詮釋物理上“功”的定義.

例5如圖7，在圓C中，是否只需要知道半徑長(zhǎng)或弦AB的長(zhǎng)，就能求出AB·AC？

解：考慮兩個(gè)向量在彼此上的投影向量，根據(jù)圓的性質(zhì)，

易得AC在AB上的投影向量為12AB，所以AB·AC=12AB2，只需已知弦AB的長(zhǎng)即可求出AB·AC，與半徑無(wú)關(guān).

例6

如圖8，四個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形有一條邊在同一條直線上，邊B4C4上有10個(gè)不同的點(diǎn)P1，P2，……，P10，記mi=AB2·APi（i=1，2，3，……，

10），求m1+m2+……+m10的值.

例5、例6均可利用投影向量巧妙解答.

用投影向量解釋數(shù)量積，在常用數(shù)量積計(jì)算方法上進(jìn)行了補(bǔ)充，有助于學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的提升，也能幫助學(xué)生進(jìn)一步理解向量運(yùn)算.

5 結(jié)束語(yǔ)

向量是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，投影向量則把高維空間和低維子空間進(jìn)行了聯(lián)結(jié)，像是高維空間“下凡”到低維空間的數(shù)學(xué)精靈.筆者認(rèn)為，教師在講授新課時(shí)若能增加課時(shí)補(bǔ)充這一內(nèi)容，或是新教材中補(bǔ)充用投影向量來(lái)解釋數(shù)量積運(yùn)算的內(nèi)容，可以更深入揭示向量數(shù)量積的運(yùn)算本質(zhì)，讓投影向量的作用體現(xiàn)得更加靈動(dòng).

參考文獻(xiàn)：

[1]嚴(yán)興光.理解數(shù)學(xué)：向量投影與投影向量[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2021（6）：12-14.