改進的車輪踏面磨損量最優(yōu)非負變權組合預測模型

蔡　煊，王長林

(1. 西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031；2. 西南交通大學 信息科學與技術學院，四川 成都 610031)

車輪作為列車的關鍵走行部件和易磨損部件，其狀態(tài)好壞直接影響列車運行的安全和品質(zhì)，其磨損程度直接關系到輪對的維修時機和剩余壽命。車輪磨損涉及到鐵路運輸?shù)陌踩院徒?jīng)濟性，需及時掌握車輪隨列車運行里程的磨損變化情況，加強對車輪磨損信息的分析和預測。由于車輪磨耗過程的隨機性和復雜性，難以建立精確的數(shù)學模型對各種影響因素進行量化。為此，一些學者從車輪踏面磨損量這個綜合變量本身尋找有用信息，借助預測的思想實現(xiàn)對車輪踏面磨耗趨勢的正確描述。湯旻安等[1]研究灰色 GM(1,1)模型在地鐵輪對踏面磨損預測中的應用。衷路生等[2]提出一種基于最小二乘支持向量機的車輪踏面磨損量預測方法。單一預測方法簡單、易操作，可以從不同角度反映對象特征，但存在反映信息不全面、受自身假設條件限制較大、適用范圍有限等缺點[3?4]。如果將單一預測方法進行組合構成組合預測模型，綜合利用不同方法的優(yōu)點，降低和分散各方法的預測風險和不確定性，可有效提高預測的精度和可信度[5?6]。針對單一預測方法存在的缺陷，李瀅等[7?8]研究組合預測模型在車輪踏面磨損預測中的應用，基于3種單一預測方法構建車輪踏面磨損量的定權組合預測模型和變權組合預測模型，驗證了變權組合模型的預測精度優(yōu)于各單項模型和定權組合模型，但其變權組合模型中求取各單項模型組合權重的方法采用的是傳統(tǒng)的絕對誤差法。如何確定各單項模型的組合權重是變權組合模型的關鍵問題，組合權系數(shù)是否合理直接影響到組合預測的精度。由于變權系數(shù)是隨時間變化的函數(shù)，相對定權組合模型的組合權重，確定起來更加困難。求取組合變權重有多種傳統(tǒng)方法，包括以組合預測誤差平方和最小為最優(yōu)準則、以絕對誤差和達到最小為最優(yōu)準則、以相對誤差的最大值達到最小為最優(yōu)準則等方法。其中，最為常用的是基于組合預測誤差平方和最小的變權組合模型[9?12]。本文針對車輛輪對踏面磨損量小樣本數(shù)據(jù)同時具有單調(diào)趨勢性和隨機波動性的特點，引入灰色關聯(lián)度[13?14]，提出一種有別于傳統(tǒng)方法的以組合預測模型灰色關聯(lián)度最大為最優(yōu)準則的變權系數(shù)求取方法，構建基于灰色關聯(lián)度最大的車輪踏面磨損量最優(yōu)非負變權組合預測模型。與各單項模型、基于組合預測誤差平方和最小的變權組合模型進行對比，實例驗證結果表明，本文模型的預測精度最高、穩(wěn)定性最好。

1　變權組合模型最優(yōu)準則

設車輪踏面磨損量實際值序列為{xk,k=1,2,…,n}，其中，xk為第k期的實測數(shù)據(jù)。采用m種單項預測模型對其進行預測，設第i種模型在第k期的預測結果和權系數(shù)分別為x?i,k和wi,k，則xk的組合預測值為：

設ei,k和ek分別為第i種模型和組合模型在第k期的預測誤差，則有：

1.1　誤差平方和最小

令組合模型在樣本點處的預測誤差平方和為y，則以y最小為最優(yōu)準則求取各單項模型變權系數(shù)的組合模型可以表達為：

1.2　灰色關聯(lián)度最大

灰色關聯(lián)度是根據(jù)模型預測曲線與實際值曲線之間的相似程度來判斷二者的關聯(lián)程度，即預測曲線與實際曲線的幾何形狀越接近，則關聯(lián)程度越大，預測模型越有效。

第i種單項預測模型的預測值序列{ x?i,k,k=1,2,…,n}與實際值時間序列{xk,k = 1 ,2,… ,n }的灰色關聯(lián)度，簡稱第i種單項預測模型的灰色關聯(lián)度，定義為：

式中：ρ為分辨系數(shù)， ρ ∈ ( 0,1)，一般取 ρ=.5。

由式(1)可知以下不等式成立：

則根據(jù)式(3)，式(5)，式(6)可得組合模型的灰色關聯(lián)度γ為：

可見，γ為權系數(shù)向量W的函數(shù)，所以γ可記為γ(W)，根據(jù)灰色關聯(lián)度原理，γ(W)越大則組合預測模型越有效。以灰色關聯(lián)度最大為最優(yōu)準則求取各單項模型變權系數(shù)的組合模型可以表達為：

本文分別以組合預測誤差平方和最小、組合模型灰色關聯(lián)度最大為最優(yōu)準則求取各單項模型的最優(yōu)非負變權系數(shù)。

基于以上最優(yōu)準則得到的是各單項模型在樣本點的變權系數(shù)，而要對將來值進行預測還需計算各單項模型在預測點的最優(yōu)組合權重，即 wi,n+p(i = 1,2,… ,m; p =1,2,…) 。確定各單項模型在預測點的組合權重有多種方法，根據(jù)本文樣本數(shù)據(jù)較少的實際情況，各單項模型在第n + p期的組合權重采用其前n期變權系數(shù)的平均值[15]，即：

式中：n為樣本數(shù)據(jù)個數(shù)。

2　單項預測模型的選取

根據(jù)文獻[1]中數(shù)據(jù)，以某地鐵車輛車輪踏面隨運行里程的磨損量實測值作為預測對象，見表 1。其中，1～5期數(shù)據(jù)作為建立預測模型的樣本數(shù)據(jù)，6～7期數(shù)據(jù)作為檢驗數(shù)據(jù)。

由表1可見，車輪踏面磨損量具有隨列車運行里程逐漸增大的單調(diào)變化趨勢，因此選取3種常用的趨勢型預測方法作為單項預測模型。

表1　車輪踏面磨損量實測數(shù)據(jù)Table1　Measured data of wheel tread wear

2.1　灰色離散GM(1,1)模型

離散 GM(1,1)模型是傳統(tǒng)均值 GM(1,1)模型的精確形式，適用于離散點序列的建模預測。設非負離散序列 X(0)=的一次累加生成序列，，k = 1 ,2,… ,n 。則離散GM(1,1)模型為：

通過最小二乘法可求得參數(shù)β1，β2，可得離散GM(1,1)模型的時間響應式為：

對式(11)作累減還原可得原始序列的預測算式為：

2.2　二次指數(shù)平滑模型

指數(shù)平滑模型認為預測對象的演變具有規(guī)律性和連續(xù)性，因此可以對各期樣本數(shù)據(jù)賦予相應的權值來預測其發(fā)展趨勢。不同次數(shù)的指數(shù)平滑適用于不同類型的時間序列。本文根據(jù)車輪踏面磨損量的變化特征，選取對單調(diào)變化趨勢的時間序列有較好預測性能的二次指數(shù)平滑模型[16]作為單項預測模型之一。

設{ xk,k = 1 ,2,… ,n }為樣本序列，,k=1,2,… ,n }為平滑擬合序列，則第k期的二次指數(shù)平滑值為：

根據(jù)式(13)，式(14)即可求出各樣本點的二次指數(shù)平滑值，作為對應時刻的預測值。二次指數(shù)平滑的預測模型為：

式中：?nTx+為第n T+ 期的預測值；an和bn為變量參數(shù)；n為樣本個數(shù)；T為預測期數(shù)，T=1，2，3，…。其中，an和bn分別為：

指數(shù)平滑預測的關鍵是平滑系數(shù)α和初值的選取。由于本文樣本數(shù)據(jù)較少，初值對預測結果有一定影響，因此選取前3個數(shù)據(jù)的算術平均值作為初值。根據(jù)不同平滑系數(shù)下預測結果均方誤差最小準則[17]求解最優(yōu)平滑系數(shù)，得到α=0.88。

2.3　一元線性回歸模型

對近似線性關系的數(shù)據(jù)，一元線性回歸是最常用的預測方法之一[18]。樣本散點序列 { (x1,y1),(x2, y2),… ,( xn, yn)}的一元線性回歸預測方程為：

式中：?ky為第k期的預測值；xk為預測期數(shù)。

通過最小二乘法可解得參數(shù)?a和?b為：

3　實例分析

根據(jù)表1中的1～5期樣本數(shù)據(jù)建立各單項預測模型并計算得到各單項模型在樣本點的預測結果(見表3)，可見3種單項模型的預測結果不存在恒定的優(yōu)劣關系，即互為非劣模型，因此，可以構建組合模型進行預測，實現(xiàn)優(yōu)勢互補。然后根據(jù)式(4)～(9)可計算得到2種不同最優(yōu)準則下各單項模型在樣本點及預測點的最優(yōu)組合權重，見表2。由表3中各單項模型預測結果及表2中的最優(yōu)非負組合權重，可計算得到 2種變權組合模型在樣本點的預測結果，見表3。表2～3中，組合模型1為以誤差平方和最小為最優(yōu)準則的變權組合模型，組合模型2為以灰色關聯(lián)度最大為最優(yōu)準則的變權組合模型(本文模型)。

為反映各模型的綜合預測精度，利用精度評價指標分別按照下列各式[19]計算各模型預測結果的平方和誤差(SSE)、平均絕對值誤差(MAE)、平均絕對百分比誤差(MAPE)，結果見表3，精度評價指標越小則表明綜合預測精度越高。由于灰色離散GM(1,1)模型和二次指數(shù)平滑模型的預測值是從第2期開始，因此，各單項模型的組合權重、各模型的擬合誤差均從第2期開始計算。

式中：xk為實際值；?kx為模型預測值。

表2　各單項模型的最優(yōu)組合權重Table2　Optimal combination weights of each single model

表3　各模型預測結果及精度對比Table3　Comparison of prediction results and precision of each model

由表3數(shù)據(jù)可計算得到灰色離散GM(1,1)模型的最大殘差為?2.54 μm，二次指數(shù)平滑模型最大殘差為2.60 μm，一元線性回歸模型最大殘差為4.18 μm?？梢姴捎脝我荒Ｐ瓦M行預測，難以得到較優(yōu)的局部預測值。組合模型1的最大殘差為2.35 μm，最小殘差為0.21 μm；組合模型2的最大殘差為2.35 μm，最小殘差為0.13 μm，可見2種變權組合模型的局部預測精度都優(yōu)于各單項模型，而組合模型 2的局部預測精度更優(yōu)于組合模型1。由表3可見，組合模型1的SSE，MAE和MAPE分別為5.789，0.803和 0.0193，均明顯小于各單項模型，表明最優(yōu)變權組合模型具有比各單項模型更優(yōu)的全局預測精度，而組合模型2的SSE，MAE和MAPE分別為5.638，0.730和0.0175，均小于組合模型1，表明本文模型的全局預測精度又有所提高。

采用3種單項模型預測接下來2個等間隔距離的車輪踏面磨損量，預測結果見表3，結合表2中第6和7期各單項模型的組合權重，計算得到組合模型1在第6和7期的預測結果為59.03 μm，68.52 μm；組合模型2在第6和7期的預測結果為59.06 μm，68.25 μm。與第6和7期的檢驗值60.4，68.0作對比，可見本文模型的預測值均更接近實際值，表明本文模型在預測點也具有比組合模型1更高的預測精度。

根據(jù)表3數(shù)據(jù)作出2～7期各模型預測值與實際值的擬合曲線，如圖1所示。

圖1　各模型預測值與實際值的對比Fig.1　Comparison the values of the models and actual values

從圖1可以看出，3種單項模型的擬合曲線均為單調(diào)曲線，均能正確反映實際數(shù)據(jù)的變化趨勢，但灰色離散模型和線性回歸模型在第3～5期實際數(shù)據(jù)出現(xiàn)較明顯非線性波動時誤差較大，二次指數(shù)平滑模型能較好跟蹤實際曲線的波動變化，但其預測值總是滯后于實際值。變權組合模型的擬合曲線總體上均更貼近實際曲線，進一步驗證了組合預測相對于單一預測方法的優(yōu)越性。但由圖1可見，組合模型1第3～5期的預測值比組合模型2偏離實際值更多，這是因為如果單項模型預測數(shù)據(jù)中有異常值，平方后誤差會增大，求取的組合權系數(shù)受影響較大，導致組合模型1缺乏良好的穩(wěn)定性，而本文模型能有效克服組合模型1誤差“放大”的缺陷，具有更好的穩(wěn)定性。

4　結論

1) 采用3種單項預測模型和2種最優(yōu)非負變權組合預測模型對車輪踏面的磨損趨勢進行預測，通過預測結果的精度對比可知，變權組合模型的局部預測精度和全局預測精度均優(yōu)于各單項模型，表明變權組合模型能綜合利用各單項模型的有效信息，弱化各單項模型建模預測的局限性，實現(xiàn)各單項模型的優(yōu)勢互補。

2) 構建的以灰色關聯(lián)度最大為最優(yōu)準則的變權組合預測模型，有效抑制了以組合預測誤差平方和最小為最優(yōu)準則的變權組合模型誤差“放大”的問題，進一步提高了組合模型的預測精度和穩(wěn)定性，為準確預測車輪踏面隨運行里程的磨損趨勢提供了一種可行的求解方法。

3) 本文模型也可用于輪對其他關鍵參數(shù)(輪緣高度、輪緣厚度等)的預測，從而為實現(xiàn)車輪的狀態(tài)監(jiān)測以及制定科學合理的輪對維修策略提供更為全面的決策依據(jù)。