連接界面變形對轉(zhuǎn)子動力特性影響的力學(xué)模型

金海，劉繼興，張大義，* ，洪杰，3

(1.北京航空航天大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，北京100083; 2.中國航發(fā)沈陽發(fā)動機(jī)設(shè)計(jì)研究所，沈陽110015;3.先進(jìn)航空發(fā)動機(jī)協(xié)同創(chuàng)新中心，北京100083)

隨著現(xiàn)代航空發(fā)動機(jī)逐漸向輕質(zhì)、高效、大功率發(fā)展，其安全性、可靠性問題越來越突出，其中整機(jī)振動量過大是制約航空發(fā)動機(jī)發(fā)展的一個主要因素。整機(jī)振動過大可能造成在小間隙處(如葉尖、密封)的轉(zhuǎn)靜件碰摩、軸承載荷過大、附件振動應(yīng)力過大等［1］。由于加工、裝配等的限制，使得航空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)中存在較多的連接結(jié)構(gòu)，如螺栓、套齒、止口、端齒等，在工作過程中，界面接觸狀態(tài)發(fā)生變化對轉(zhuǎn)子動力特性會產(chǎn)生較大影響。由于接觸界面的存在，使得連接結(jié)構(gòu)的力學(xué)特征具有非線性、非連續(xù)性，同時(shí)由于幾何特征參數(shù)、結(jié)構(gòu)特征參數(shù)以及載荷特征參數(shù)的分散性帶來的非確定性［2］，使得轉(zhuǎn)子考慮接觸界面的轉(zhuǎn)子動力學(xué)設(shè)計(jì)十分困難。因此參數(shù)化準(zhǔn)確描述轉(zhuǎn)子接觸界面變形對于轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性的影響具有重要的工程意義和研究價(jià)值。

在早期的研究中，分析轉(zhuǎn)子動力特性時(shí)多不考慮連接結(jié)構(gòu)界面接觸的影響，將航空發(fā)動機(jī)作為連續(xù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析［3-4］。近些年國內(nèi)外學(xué)者關(guān)于連接結(jié)構(gòu)對轉(zhuǎn)子動力特性的影響已經(jīng)開展了大量的研究工作。李俊慧等［5］采用有限元方法研究了影響套齒連接剛度以及接觸應(yīng)力的主要因素，并提出了相應(yīng)的套齒設(shè)計(jì)方法。聞邦椿、Arumugam、Li［6-8］等研究了在出現(xiàn)支承不同心時(shí)，套齒聯(lián)軸器所產(chǎn)生的不同心激勵力以及轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，將不同心分為平行不同心、傾角不同心和組合不同心，結(jié)果表明不同心的典型特征為二倍頻響應(yīng)。在轉(zhuǎn)子螺栓連接結(jié)構(gòu)研究方面，姚星宇等［9-10］用薄層單元進(jìn)行螺栓連接結(jié)構(gòu)的模擬，并研究了螺栓載荷與結(jié)構(gòu)參數(shù)對螺栓連接剛度的影響;Qin等［11-12］推導(dǎo)了航空發(fā)動機(jī)盤鼓混合式轉(zhuǎn)子螺栓連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度，并采用非線性角彈簧模擬了彎曲剛度非線性特征;Liu等［13］通過實(shí)驗(yàn)表明隨著工作循環(huán)數(shù)的增加，轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)增大，并利用不平衡量增大進(jìn)行解釋;Wang等［14］研究了螺栓連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度損失的因素，并采用彈性模量修正方法進(jìn)行復(fù)雜航空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)建模分析。

上述研究中對于套齒聯(lián)軸器的附加激勵在柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不同心問題中研究較為深入，而對于剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)螺栓連接結(jié)構(gòu)主要是對于彎曲剛度的研究，尚缺乏連接結(jié)構(gòu)界面變形(同軸度和平行度偏差)對于動力特性的影響研究。為了進(jìn)一步分析文獻(xiàn)［13］中的振動響應(yīng)隨循環(huán)數(shù)增加而增大的原因，本文從螺栓連接結(jié)構(gòu)端面同軸度和平行度偏差出發(fā)，建立了典型航空發(fā)動機(jī)高壓(HP)剛性轉(zhuǎn)子考慮界面變形影響的力學(xué)模型，得出了不同界面變形形式引起的附加激振力表達(dá)式。

1 高壓轉(zhuǎn)子界面變形力學(xué)模型

1.1 典型高壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特征

如圖1所示為典型航空發(fā)動機(jī)高壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，支承方案為1-0-1，前伸軸頸從三級盤位置伸出，在三級盤、壓氣機(jī)后封嚴(yán)盤以及渦輪盤前后共采用四排短螺栓結(jié)構(gòu)進(jìn)行連接。前兩級壓氣機(jī)盤處于懸臂結(jié)構(gòu)，前伸軸頸與三級盤為一體化結(jié)構(gòu)。由于壓氣機(jī)與高壓渦輪之間的大鼓筒軸質(zhì)量相對于壓氣機(jī)以及渦輪質(zhì)量相對較小，因此在轉(zhuǎn)子模型中主要考慮壓氣機(jī)以及渦輪處的轉(zhuǎn)子盤，重點(diǎn)考慮三級盤、渦輪前后位置螺栓連接結(jié)構(gòu)界面變形，建立轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分析模型如圖2所示，其中轉(zhuǎn)子盤1、2、3分別為壓氣機(jī)前兩級盤、壓氣機(jī)后七級盤、高壓渦輪盤，軸段剛度等效保證在轉(zhuǎn)子盤位置的橫向等效剛度相同。A、D兩處為支承位置，A、B、C 為螺栓位置，Si(i=0，1，2，3，4，5)為相鄰關(guān)鍵位置之間的軸向距離。

圖1 高壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Sketch of HP rotor system

圖2 考慮螺栓連接結(jié)構(gòu)的高壓轉(zhuǎn)子分析模型Fig.2 Analysis model of HP rotor considering bolted joints

1.2 螺栓連接結(jié)構(gòu)界面變形模型

1.2.1 接觸端面同軸度偏差

螺栓連接結(jié)構(gòu)由于接觸界面變形將引起接觸端面同軸度、平行度偏差。接觸端面同軸度偏差是由于接觸界面在復(fù)雜機(jī)械載荷作用下的滑移和磨損等的周向不均以及界面連接處周向溫度分布不均導(dǎo)致的接觸界面熱變形［15］等引起，如圖3所示。

圖3 接觸界面滑移量周向分布不均示意圖Fig.3 Schematic of skip circumferential maldistribution of contact interface

圖3 中的虛線表示無端面滑移時(shí)扇區(qū)徑向位置，δi為第i個扇區(qū)接觸端面徑向滑移量，ζi為第i個扇區(qū)中心線與O1x1軸的夾角，則該轉(zhuǎn)子的截面形心偏移量r0為

式中:φ為轉(zhuǎn)子截面形心偏移量 r0與 x1軸的夾角。

在分析中，先采用帶接觸非線性的實(shí)體有限元模型計(jì)算得到扇區(qū)的徑向滑移量，考慮不同載荷作用下，計(jì)算不同扇區(qū)的變形后利用式(1)方法得到接觸端面的同軸度偏差量。

1.2.2 接觸端面平行度偏差

接觸端面平行度偏差主要是由于接觸端面粗糙度和裝配載荷狀態(tài)下螺栓擰緊力矩的分散性以及機(jī)動飛行狀態(tài)下轉(zhuǎn)子受到陀螺力矩載荷時(shí)，周向不同位置的螺栓拉壓程度不一致導(dǎo)致。裝配載荷作用下的界面平行度偏差可以通過界面平行度測量得到，彎矩作用下的平行度偏差可以通過計(jì)算分析確定。

圖4 接觸界面平行度偏差示意圖Fig.4 Schematic of contact interface parallelism deviation

圖4 中，b為螺栓法蘭的直徑。在裝配狀態(tài)下，由接觸端面粗糙度引起的界面平行度偏差角最大為，其中δL和δR分別為接觸界面兩側(cè)的零件端面的端面全跳動公差，在實(shí)際裝配后，界面平行度偏差角按一定概率分布Δθ1=P1(Δθmax);由拉壓程度不同引起的法蘭軸心處的角變形量為，其中 δT和 δC分別為螺栓位置處對應(yīng)的法蘭邊拉壓變形。

1.3 界面變形對轉(zhuǎn)子動力特性影響模型

1.3.1 接觸端面同軸度偏差

本文主要研究接觸端面同軸度以及平行度偏差，假定轉(zhuǎn)子為剛性轉(zhuǎn)子。如圖5所示，當(dāng)轉(zhuǎn)子兩端均存在連接界面時(shí)，如圖中的轉(zhuǎn)子盤2和轉(zhuǎn)子盤3，界面同軸度偏差將使得形心發(fā)生偏移，且轉(zhuǎn)子盤發(fā)生傾斜;當(dāng)轉(zhuǎn)子僅有一側(cè)存在連接界面時(shí)，如圖5中的轉(zhuǎn)子盤1，界面同軸度偏差僅使得轉(zhuǎn)子形心發(fā)生偏移。

圖 5 中的 δij，y為第 i(i=1，2，3)個螺栓位置，第j側(cè)(j=1為前側(cè)，j=2為后側(cè))在yOz平面內(nèi)的同軸度偏差，θk，x為第k個轉(zhuǎn)子在yOz平面內(nèi)的傾斜角。δij，y由 1.2.1 節(jié)中的接觸端面形心偏移量r0在yOz平面內(nèi)的投影得到，轉(zhuǎn)子盤截面形心偏移量和傾斜角根據(jù)兩側(cè)接觸端面的形心偏移量的大小和相位確定，如圖6所示，圖中α12和α21分別為轉(zhuǎn)子盤2的前后接觸端面形心偏移量相位角。

設(shè)計(jì)狀態(tài)下轉(zhuǎn)子盤2的形心位置為(0，0，z2)，接觸端面發(fā)生界面滑移后，形心位置變?yōu)?e2，x，e2，y，z2)，其中

圖5 接觸端面同軸度偏差對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)影響Fig.5 Impact of contact interface coaxial deviation on rotor system

圖6 轉(zhuǎn)子盤2形心偏移和傾斜示意圖Fig.6 Schematic of centroid offset and skew of disk 2

式中:S1、S2分別為轉(zhuǎn)子盤與左右接觸端面間的距離; δ12，x= δ12cos α12; δ12，y= δ12sin α12;δ21，x=δ21cos α21;δ21，y= δ21sin α21。

由于兩側(cè)接觸端面滑移引起的轉(zhuǎn)子盤2的初始傾斜角為

式中:θ2為轉(zhuǎn)子盤 2 的傾斜角;θ2，x和 θ2，y分別為θ2在x軸和y軸上的投影。

對于兩側(cè)均有接觸界面的剛性轉(zhuǎn)子，接觸端面同軸度偏差通常將使得轉(zhuǎn)子盤同時(shí)發(fā)生形心偏移和傾斜，如圖7(a)所示，由于端面滑移引起的轉(zhuǎn)子形心偏移e使得轉(zhuǎn)子盤的形心與轉(zhuǎn)動中心線發(fā)生偏移，如圖7(b)所示，但并不改變無渦動時(shí)的轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)中心，因此轉(zhuǎn)子形心偏移產(chǎn)生的力學(xué)效果可等效于Me的附加轉(zhuǎn)子不平衡量，附加不平衡量的相位與轉(zhuǎn)子形心偏移的相位相同，其中:M為輪盤質(zhì)量。轉(zhuǎn)子盤傾斜角是轉(zhuǎn)子盤法向方向與轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)中心線的夾角，如圖7(c)所示，在采用第2類歐拉角進(jìn)行動力學(xué)描述時(shí)，其改變了相應(yīng)的角度位置，因而轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的角速度發(fā)生變化，系統(tǒng)的動能方程發(fā)生變化，記該類轉(zhuǎn)子盤傾斜為第1類轉(zhuǎn)子初始傾斜。

圖7 同軸度偏差導(dǎo)致的形心偏移和傾斜Fig.7 Centroid offset and skew caused by coaxial deviation

1.3.2 接觸端面平行度偏差

對高壓剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行接觸端面平行度偏差影響分析時(shí)，需要假定一個基準(zhǔn)位置，在實(shí)際運(yùn)用中，可以以裝配過程中的基準(zhǔn)面為基準(zhǔn)位置，如圖1中的壓氣機(jī)三級盤端面。在該核心機(jī)轉(zhuǎn)子裝配過程中，首先將前兩級壓氣機(jī)盤與三級盤熱裝配，然后與后六級壓氣機(jī)盤熱裝配，最后將壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子與渦輪轉(zhuǎn)子進(jìn)行連接，因此以三級盤端面為基準(zhǔn)較為合理。與同軸度偏差引起的轉(zhuǎn)子盤變形效果類似，接觸端面的平行度偏差也將同時(shí)引起轉(zhuǎn)子盤同時(shí)發(fā)生形心偏移與傾斜，如圖8所示。圖中，Δθ21，x和 Δθ22，x分別為第 2 排螺栓前后接觸端面在yOz平面內(nèi)的角度偏差，其由接觸端面平行度偏差直接引起，對第1排螺栓位置采用同樣的記號方式，正負(fù)號規(guī)則為相對基準(zhǔn)側(cè)(圖8中基準(zhǔn)側(cè)為三級盤位置)端面逆時(shí)針偏轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針偏轉(zhuǎn)為負(fù);θi，x(i=1，2，3)為第 i個轉(zhuǎn)子在 yOz平面內(nèi)相對轉(zhuǎn)動中心線的角度偏差，相對轉(zhuǎn)動中心線逆時(shí)針偏轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針偏轉(zhuǎn)為負(fù);li，y(i=1，2，3)為第i排螺栓位置在yOz平面內(nèi)相對轉(zhuǎn)動中心線的偏差，由于第一排螺栓位置為基準(zhǔn)位置，因此l1，y=0;ri，y(i=1，2，3)為第 i個轉(zhuǎn)子盤在 yOz平面內(nèi)相對轉(zhuǎn)動中心線的形心偏移。

通過測量或者計(jì)算可以得到接觸端面的平行度偏差 Δθij(i=1，2，3;j=1，2)，以三級盤位置為基準(zhǔn)，可以得到各個轉(zhuǎn)子的傾斜角θi

根據(jù)轉(zhuǎn)子傾斜角可以進(jìn)一步得到各個轉(zhuǎn)子盤位置的形心偏移量分別為

式中:θi，x為 θi在 yOz平面內(nèi)的投影;r1，y表達(dá)式帶負(fù)號是因?yàn)檗D(zhuǎn)子盤1的形心偏移與盤傾角正負(fù)相反。對式(5)進(jìn)行小角度近似得

圖8 接觸端面平行度偏差對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)影響Fig.8 Impact of contact interface parallelism deviation on rotor system

接觸端面平行度偏差與同軸度偏差對于剛性轉(zhuǎn)子動力特性影響的主要差別在于出現(xiàn)平行度偏差時(shí)，在螺栓連接位置角度變化連續(xù)，使得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的自轉(zhuǎn)中心線仍為轉(zhuǎn)子的形心線，因而轉(zhuǎn)子盤的形心偏移r即為自轉(zhuǎn)中心線與轉(zhuǎn)軸中心線的偏移，其力學(xué)效果與轉(zhuǎn)子發(fā)生初始彎曲r等效，與同軸度偏差引起的力學(xué)效果不同，在動力學(xué)方程中增加一個恒定大小的附加激振力項(xiàng)。同時(shí)平行度偏差引起的轉(zhuǎn)子盤傾斜后盤與自轉(zhuǎn)中心線仍保持垂直關(guān)系，只是相對于總體坐標(biāo)系的位置關(guān)系發(fā)生變換，不影響歐拉坐標(biāo)系下動力學(xué)方程中的動能項(xiàng)，僅改變相應(yīng)的勢能零點(diǎn)位置，因此其產(chǎn)生附加激勵的原理與同軸度偏差引起的轉(zhuǎn)子盤傾斜不一致，記該類轉(zhuǎn)子盤傾斜為第2類初始傾斜。

接觸端面同軸度偏差和平行度偏差均會使得剛性轉(zhuǎn)子盤發(fā)生形心偏移和傾斜，但其引起的力學(xué)效果相差較大。同軸度偏差帶來附加不平衡量以及第1類轉(zhuǎn)子初始傾斜，平行度偏差帶來轉(zhuǎn)子初始彎曲和第2類轉(zhuǎn)子初始傾斜。在實(shí)際的航空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子中，通常同時(shí)存在接觸端面同軸度偏差和平行度偏差，因此以上所述的附加不平衡量、初始彎曲和2類轉(zhuǎn)子初始傾斜同時(shí)存在。

2 Lagrange方法建立轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)方程

2.1 歐拉角坐標(biāo)下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)描述

將軸承簡化為各向同性彈性支承，A、D處的支承剛度分別為kA和kD，支承質(zhì)量分別為mA和mD，則圖2所示的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)廣義坐標(biāo)q，共16個自由度，包括支承自由度 q1=(xA，yA，xD，yD)T以及以第2類歐拉角坐標(biāo)描述的3個轉(zhuǎn)子盤的平動和偏擺自由度 q2=(x1，θy1，y1，θx1，x2，θy2，y2，θx2，x3，θy3，y3，θx3)T，則系統(tǒng)動能為

式中:Ω為自轉(zhuǎn)角速度;ei為第i個轉(zhuǎn)子盤偏心距;αi為第i個轉(zhuǎn)子盤偏心距相位;Jpi和Jdi分別為極慣性矩和直徑慣性矩。eiΩcos(Ωt+ αi))2為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)平動動能，·為轉(zhuǎn)子盤轉(zhuǎn)動以及偏擺動能，為陀螺效應(yīng)產(chǎn)生的附加動能分量項(xiàng)。

支承動能為

則系統(tǒng)總動能為T=Td+Tb。

在任意瞬時(shí)，xOz平面內(nèi)由于彈性支承位移xA和xD引起的第i個轉(zhuǎn)子盤形心位移xgi和截面轉(zhuǎn)角 θygi分別為

式中:Φi為轉(zhuǎn)換矩陣;Sgi為第i個轉(zhuǎn)子盤距A支承位置的距離，其中，Sg1=S0，Sg2=S1，Sg3=S1+為支點(diǎn)間跨距。則xOz平面內(nèi)轉(zhuǎn)子盤軸系統(tǒng)彈性勢能為

式中:qx為xOz平面內(nèi)所有自由度;Φ=［Φ1，Φ2，Φ3］T;x=q2x－Φq1x;Kx0為剛性支承轉(zhuǎn)子 xOz平面的剛度矩陣;Kxd為系統(tǒng)xOz平面內(nèi)的剛度矩陣。同理可以得到y(tǒng)Oz平面內(nèi)的轉(zhuǎn)子勢能，從而轉(zhuǎn)子盤軸系統(tǒng)總彈性勢能為Vd=Vdx+Vdy。

兩端彈性支承的勢能為

因此系統(tǒng)總勢能為V=Vd+Vb。

根據(jù)第2類Lagrange方程

可得系統(tǒng)振動微分方程為

式中:Mx、My分別為xOz平面和yOz平面內(nèi)的質(zhì)量矩陣;Kx、Ky分別為xOz平面和yOz平面內(nèi)的剛度矩陣;J為xOz平面內(nèi)的陀螺矩陣;qy為yOz平面內(nèi)所有自由度;Fe為初始不平衡量激振力。

2.2 端面同軸度偏差對動力特性的影響

由1.3.1節(jié)分析可知，接觸端面同軸度偏差將使得轉(zhuǎn)子產(chǎn)生附加不平衡量Mea以及第1類初始傾斜角τi，附加不平衡量影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的平動動能，第1類初始傾斜影響轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動動能，而接觸端面同軸度偏差對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)勢能無影響。附加不平衡量與初始不平衡量疊加后的不平衡量為

式中:e'為合成后的偏心距。記第i個轉(zhuǎn)子盤合成后的不平衡量相位角為γi，則第i個轉(zhuǎn)子盤的平動動能為

當(dāng)轉(zhuǎn)子存在第1類初始傾斜時(shí)，第2類歐拉角坐標(biāo)描述的動力學(xué)方程中，角速度項(xiàng)需要疊加初始傾斜項(xiàng)

式中:βτ為初始傾斜的相位角;θ'x和 θ'x分別為yOz平面考慮轉(zhuǎn)子盤初始傾斜后的角度以及角速度;θ'y和 θ'y分別為xOz平面考慮轉(zhuǎn)子盤初始傾斜后的角度以及角速度，則第i個轉(zhuǎn)子盤的轉(zhuǎn)動動能［16］為

式(17)利用了Jpi=2Jdi的薄盤假設(shè)。

由于接觸端面同軸度偏差僅影響動能，因而此時(shí)的轉(zhuǎn)子軸的彈性勢能和支承結(jié)構(gòu)的勢能與式(10)和式(11)所描述的相同，同樣采用第2類拉格朗日方程得到系統(tǒng)的動力學(xué)方程，其質(zhì)量矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣與式(13)中相同，改變的僅為廣義力向量?？紤]端面同軸度偏差后轉(zhuǎn)子的廣義力為

式中:Fea為由附加不平衡量引起的激振力;Fτ為由第1類初始傾斜引起的附加激振力。由式(18)可以看出，對于剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，考慮接觸端面同軸度偏差引起的附加不平衡量和第1類初始傾斜后，在平動自由度方向轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡量激振力大小以及相位發(fā)生改變，同時(shí)在偏擺自由度方向產(chǎn)生與轉(zhuǎn)速平方和初始傾斜角成正比的附加簡諧激振力，如在轉(zhuǎn)子盤1的繞x軸偏擺自由度方向的附加激振力為 Jd1τ1Ω2cos(Ωt+βτ1)。

2.3 端面平行度偏差對動力特性的影響

由1.3.2節(jié)分析可知，接觸面平行度偏差將使得各轉(zhuǎn)子盤產(chǎn)生類似于初始彎曲的轉(zhuǎn)子形心偏移和第2類轉(zhuǎn)子盤初始傾斜。具有初始彎曲的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)力學(xué)特性分析已經(jīng)較為深入，利用同樣的方法可以將其推導(dǎo)過程應(yīng)用于第2類轉(zhuǎn)子盤初始傾斜。轉(zhuǎn)子初始彎曲影響的是轉(zhuǎn)子平動方向的勢能，第2類初始傾斜影響的是轉(zhuǎn)子盤偏擺勢能，其本質(zhì)是改變轉(zhuǎn)子盤軸的勢能零點(diǎn)位置，對支承系統(tǒng)勢能和轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動能無影響。

考慮初始彎曲量r以及第2類初始傾斜角χ，其引起的變形量在xOz平面內(nèi)的分量為

式中:q2xai為初始彎曲以及初始傾斜引起的變形分量在 xOz平面內(nèi)的投影;θri和 βχi分別為第 i個轉(zhuǎn)子盤的形心偏移量相位角和第2類初始傾斜相位角。則此時(shí)全約束轉(zhuǎn)子盤軸系統(tǒng)在xOz平面內(nèi)的變形為

xOz平面內(nèi)轉(zhuǎn)子盤軸系統(tǒng)彈性勢能V'dx為

式中:q2xa=［q2xa1，q2xa2，q2xa3］T為3 個轉(zhuǎn)子盤由于形心偏移和第2類初始傾斜引起的附加變形;q'x為考慮附加變形后的變形量。同理可以得到y(tǒng)Oz平面內(nèi)的轉(zhuǎn)子勢能，且附加變形僅發(fā)生在轉(zhuǎn)子盤的平動以及偏擺自由度方向，對支承勢能沒有影響。

根據(jù)Lagrange方程可以看出，該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的勢能項(xiàng)僅對動力學(xué)方程中的剛度回復(fù)力項(xiàng)和激振力項(xiàng)產(chǎn)生影響。對考慮轉(zhuǎn)子盤形心偏移和第2類初始傾斜的轉(zhuǎn)子-支承系統(tǒng)，利用第2類Lagrange得到的動力學(xué)方程中質(zhì)量矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣與2.1節(jié)中式(13)相同，激振力項(xiàng)變?yōu)?/p>

式中:

由式(22)可以看出，對于剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，考慮接觸端面平行度偏差引起的形心偏移和第2類轉(zhuǎn)子初始傾斜將產(chǎn)生2個附加激振力Fr和Fχ;由于交叉剛度以及彈性支承的存在，激振力Fr和Fχ在所有自由度方向上均有分量，如Fr在x1方向存在由r1引起的激振力 k11r1cos(Ωt+θr1)，在θy1方向存在由r1引起的激振力 k12r1cos(Ωt+θr1)，在xA自由度方向上存在由形心偏移引起的附加激振力;所有激振力的大小僅與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛度和形心偏移量以及第2類傾斜角有關(guān)，而與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速無關(guān)。

3 結(jié)論

1)以典型航空發(fā)動機(jī)高壓剛性轉(zhuǎn)子為例，對界面變形模型進(jìn)行分析，并對接觸端面同軸度偏差以及平行度偏差的界面變形進(jìn)行定量描述，建立了考慮界面變形的剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)力學(xué)模型。

2)對典型航空發(fā)動機(jī)高壓剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)采用Lagrange方法建立了考慮界面變形以及彈性支承的16自由度動力學(xué)方程，并推導(dǎo)了界面變形對系統(tǒng)動力學(xué)方程的影響。同軸度偏差將使得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生附加不平衡激振力和附加第1類初始傾斜激振力，激振力幅值均與轉(zhuǎn)速平方成正比，且分別作用于平動和轉(zhuǎn)動自由度，對支承自由度無影響;平行度偏差將產(chǎn)生附加初始彎曲激振力和第2類初始傾斜激振力，激振力幅值均與轉(zhuǎn)速無關(guān)，僅與剛度和平行度偏差量有關(guān)，且該附加激振力在支承自由度方向有一定分量。

［1］付才高，鄭大平，歐園霞.航空發(fā)動機(jī)設(shè)計(jì)手冊第19冊:轉(zhuǎn)子動力學(xué)及整機(jī)振動［M］.北京:航空工業(yè)出版社，2000:1-6.FU C G，ZHENG D P，OU Y X.Aero engine design manual 19th:Rotordynamics and whole engine vibration［M］.Beijing:Aviation Industry Press，2000:1-6(in Chinese).

［2］洪杰，馬艷紅，張大義.航空燃?xì)廨啓C(jī)總體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與動力學(xué)分析［M］.北京:北京航空航天大學(xué)出版社，2014:366-369.HONG J，MA Y H，ZHANG D Y.Structure design and dynamic analysis of aero gas turbine engines［M］.Beijing:Beihang University Press，2014:366-369(in Chinese).

［3］陳萌，馬艷紅，劉書國，等.航空發(fā)動機(jī)整機(jī)有限元模型轉(zhuǎn)子動力學(xué)分析［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，33(9):1013-1016.CHEN M，MA Y H，LIU S G，et al.Rotordynamics analysis of whole aero-engine models based on finite element method［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2007，33(9):1013-1016(in Chinese).

［4］ B SWALD M，LINK M，SCHEDLINSKI C.Computational model updating and validation of aero-engine finite element models based on vibration test data［C］∥International Forum on Aeroelasticity and Structural Dynamics，2005:1-17.

［5］李俊慧，馬艷紅，洪杰.轉(zhuǎn)子系統(tǒng)套齒結(jié)構(gòu)動力學(xué)設(shè)計(jì)方法研究［J］.航空發(fā)動機(jī)，2009，35(4):36-39.LI J H，MA Y H，HONG J.Dynamic design method of spline joint structure for rotor system［J］.Aero Engine，2009，35(4):36-39(in Chinese).

［6］聞邦椿，顧家柳.高等轉(zhuǎn)子動力學(xué):理論、技術(shù)與應(yīng)用［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1999:77-82.WEN B C，GU J L.Advanced rotor dynamics-theory technology and application［M］.Beijing:China Machine Press，1999:77-82(in Chinese).

［7］ ARUMUGAM P，SWARNAMANI S，PRABHU B S.Effects of coupling misalignment on the vibration characteristics of a two stage turbine rotor［C］∥ASME Design Engineering Technical Conference.New York:ASME，1995:1049-1054.

［8］ LI J，HONG J，MA Y，et al.Modelling of misaligned rotor systems in aero-engines［C］∥ASME 2012 International Mechanical Engineering Congress and Exposition.New York:ASME，2012:535-543.

［9］姚星宇，王建軍，翟學(xué).航空發(fā)動機(jī)螺栓連接薄層單元建模方法［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，41(12):2269-2279.YAO X Y，WANG J J，ZHAI X.Modeling method of bolted joints of aero engine based on thin-layer element［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2015，41(12):2269-2279(in Chinese).

［10］姚星宇，王建軍.航空發(fā)動機(jī)螺栓連接載荷與結(jié)構(gòu)參數(shù)對連接剛度影響規(guī)律［J］.推進(jìn)技術(shù)，2017，38(2):424-433.YAO X Y，WANG J J.Effects of load and structure parameters of aero engine bolted joints on joint stiffness［J］.Journal of Propulsion Technology，2017，38(2):424-433(in Chinese).

［11］ QIN Z Y，HAN Q K，CHU F L.Analytical model of bolted diskdrum joints and its application to dynamic analysis of jointed rotor［J］.Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part C:Journal of Mechanical Engineering Science，2014，228(4):646-663.

［12］ QIN Z，HAN Q，CHU F.Bolt loosening at rotating joint interface and its influence on rotor dynamics［J］.Engineering Failure Analysis，2016，59:456-466.

［13］ LIU S，MA Y，ZHANG D，et al.Studies on dynamic characteristics of the joint in the aero-engine rotor system［J］.Mechanical Systems ＆ Signal Processing，2012，29(5):120-136.

［14］ WANG C，ZHANG D，ZHU X，et al.Study on the stiffness loss and the dynamic influence on rotor system of the bolted flange joint［C］∥ASME Turbo Expo 2014:Turbine Technical Conference and Exposition.New York:ASME，2014:1-14.

［15］楊帆.燃?xì)廨啓C(jī)螺栓連接結(jié)構(gòu)熱蠕動及動力學(xué)特性研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2016.YANG F.Gas turbine bolt connection structure thermal creep and dynamics research［D］.Harbin:Harbin Institute of Technology，2016(in Chinese).

［16］ YAMAMOTO T，ISHIDA Y.Linear and nonlinear rotordynamics:A modern treatment with applications［M］.New York:John Wiley ＆ Sons，2001:35-39.