從“研題”、“究題”到“編題”
——以橢圓中心三角形面積研究為例

陳芝飛　方均斌

(1.溫州市第十四高級中學325000;　2.溫州大學325035)

波利亞指出“解題的價值不是答案本身，而是在于弄清是怎樣想到這個解法的”，數(shù)學教師離不開解題研究.研——石開也：把石頭撬開，既需要耐心與勇氣，更需要高屋建瓴謀全局的意識.究——九穴也：問題的表象可能撲朔迷離，需要有鍥而不舍、上下求索的探究意識與探究精神.通過解題研究(簡稱“研題”)挖掘題目背后蘊藏的數(shù)學觀點、數(shù)學思想，透過現(xiàn)象認識本質.研題既是高中數(shù)學教師必備素養(yǎng)與能力，也是教學研究的重要組成部分.那么研哪些題？怎么研題？筆者結合橢圓中心三角形面積的研究談談自己的收獲與體會，與讀者共享.

1　 聚焦題源

研題的最終目的是為了學生的學，幫助學生走出題海，提高效率，減輕學生的學習負擔.因此，作為高中數(shù)學教師應時常關注高考題、競賽題、高考模擬題等，一般來說，一些頻繁出現(xiàn)的類似問題常會引起人們的關注.筆者留意到近幾年對于橢圓中心三角形(定義：設O為橢圓的中心，A、B為其上的兩點，稱△AOB為橢圓的中心三角形[1].)的面積考查頻率較高.如

圖1

圖2

圖3

題3(2016年溫州市一模)如圖3，已知橢圓C：

(Ⅱ)過點A作AP∥OM交橢圓C于點P，求證：BP∥ON．

我們自然會想到，對于給定的橢圓，其中心三角形面積決定因素是什么？定面積的橢圓中心三角形背后的數(shù)學本質又是什么？

2　研題與究題

基于這樣的思考，筆者先嘗試用初等的方法探索，結果發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象：橢圓的問題往往具有“圓的影子”.采取高等數(shù)學中的仿射變換，得到了一些有趣的結論，收獲頗豐.

2.1　樸實無華地初等探索

聚焦題源，選定研題素材之后，接下來就是明確研題方向提出問題，解決問題.以初等方法起步，表征化歸、以簡馭繁.

代入化簡得

(b2+a2k2)x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0，

由Δ>0得m2

設A(x1,y1),B(x2,y2)，

2.2　高屋建瓴地“研題”

為了更好地識得真相，需要挖掘高等數(shù)學的背景，首先想到仿射變換.

在變換μ下橢圓C由圓O:(x′)2+(y′)2=a2縱向壓縮而來(如圖4)，

圖4

即若O到直線A′B′的距離為定值，

則橢圓中心三角形OAB面積為定值，反之亦然.

于是得到橢圓中心三角形定面積的定理：

該定理既幫助我們認識橢圓定面積的本質，也為我們提供了做橢圓定面積三角形的一個方法.以題3為例，在仿射變換的下將橢圓變換成圓，則∠APB=∠MON=90°，由仿射變換的平行不變性得證.

2.3　上下求索地“究題”

正如波利亞所言“好問題類似于采蘑菇，采到一個后還應四處看看，也許還有更多”，所以研題者須有上下求索的“究題”精神.

圖5

證明由定理知：

聯(lián)立直線與橢圓C的方程組易得線段AB中點

所以點M的軌跡方程

點M的軌跡方程是

點M的軌跡方程是

證明

得到圓O：(x′)2+(y′)2=a2， (如圖6、7)

進一步得OA′⊥OB′.

圖6

若λ>1，(如圖6)結合圓的割線性質可得

(λ-1)(λ+1)a2

=P′G′·P′B′.

若0<λ<1，(如圖7)由相交弦定理可得

圖7

(1-λ)(λ+1)a2=P′G′·P′B′,

(本題也可用解析法證明，有興趣的讀者可嘗試)

證明直線AB斜率為k，可設直線方程為

y=kx+m,

得(b2+a2k2)x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0,

設A(x1,y1),B(x2,y2)，

又點A關于x軸的對稱點為D，故D(x1,-y1)；

則中心三角形△OBD面積

結合定理可以得到新的推論:

3　運用自如地“編題”

通過教師高屋建瓴地探索所得到的結論，我們的“題源”也就豐富起來了. 我們仍然以本文所得到的定理及其推論為例，就可以很自然地根據(jù)考核目的進行編寫適合學生完成的各 類數(shù)學題，限于篇幅，這里不妨提供兩例，解答由讀者自己完成.

訓練題1:

C.不是定值，但有最大值D. 不是定值，但有最小值

(答案：A，結合推論3易知)

受文[4]92頁(性質四十二)啟發(fā)，又編得一題.

訓練題2：

已知過原點的直線交橢圓x2+2y2=1于A,B兩點，點P為橢圓上異于A,B的兩點，弦PA,PB的中點分別記為M,N,射線OM,ON于橢圓的交點分別記為G,H,則下列三角形中面積為定值的是()

A. △OMNB. △OAG

C.△OPGD. △OGH

(答案：D)

抓住中心三角形面積為定值的數(shù)學本質，植于“題源”，也可進一步挖掘，編出適合競賽學生的題目.

訓練題3：

高考的命題往往有高屋建瓴，立意高，入口寬，落點低的特點，作為數(shù)學教師，我們要善于思考，積極探究，了解試題背景、挖掘試題本質、從而居高臨下的教學；我們要有攻堅克難的精神，持之以恒的態(tài)度，更要有解決問題的創(chuàng)新精神和獨特智慧！我們要具備高等數(shù)學的素養(yǎng)和觀點，做到高屋建瓴“研題”及上下求索“究題”，同時一些水到渠成的“編題”也就“不在話下”了！