數(shù)學(xué)問題解答

2018年5月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2421已知a,b,c,d∈R+,且a+b+c=3,求證：

(安徽省六安第二中學(xué)陶興紅237005 )

證明由均值不等式得

同理可得

將上述三個不等式相加得

≥7(a+b+c).

結(jié)合a+b+c=3,可得

顯然當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時不等式取等號.

2422以Rt△ABC中直角邊BC為長軸的橢圓E與斜邊AB交于點(diǎn)P和B，證明：以AC為直徑的圓ω是△PF1F2的旁切圓，其中F1和F2為橢圓E的焦點(diǎn).

(河南省輝縣市一中賀基軍453600)

于是，橢圓E的方程為

直線AB的方程為

根據(jù)以上兩個方程得

?b2x2-2ab2x+r2(2a-x)2=0

?(b2+r2)x2-2a(b2+2r2)x+4a2r2=0

?(x-2a)[(b2+r2)x-2ar2]=0，

這個方程的兩個根分別是點(diǎn)B和點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，從而得點(diǎn)P(x0，y0)的坐標(biāo)為

①

②

記m=a±c，直線F2P和F1P分別經(jīng)過對應(yīng)的點(diǎn)(m，0)及點(diǎn)(x0，y0)，它們的方程合寫為

(x0-m)y=y0(x-m)，

又知，以AC為直徑的圓ω的方程為

根據(jù)以上兩個方程得

這個方程的根的判別式為

代入①和②得

=0.

對m=a±c都有Δ=0，由此可知直線F2P和F1P分別與圓ω相切，且其中一個切點(diǎn)在△PF1F2的邊F2P的延長線上，另一個切點(diǎn)在邊F1P上.

又知，△PF1F2的邊F2F1的延長線與圓ω相切于點(diǎn)C.

因此，圓ω是△PF1F2的旁切圓.

(湖北省谷城縣第三中學(xué)賀斌 441700)

所以

證畢．

2424如圖，點(diǎn)D、E、F分別在△ABC三邊上，滿足EB=ED=FD=FC，G為△ABC的外心，求證：A、E、G、F共圓．

(江西師范高等專科學(xué)校王建榮335000)

證明由∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-∠EDB-∠FDC=∠EDF，

分別以E、F為圓心，EB、FC為半徑作圓交于I，

連IB、IC、ID、IE、IF，

設(shè)IB交GE于J，IC交GF于K，

顯然E、F分別是△BDI和△CDI的外心，

且兩圓半徑相等?四邊形DFIE為菱形，

如圖，在⊙E上取一點(diǎn)H，

由∠BHI=∠CDI可知

IB=IC?△BEI≌△CFI，

因此∠BAC=∠EDF=∠EIF=∠BIC，

故I點(diǎn)也在⊙G上?GJ⊥IB，GK⊥IC

?I、J、G、K共圓，

故∠JIK+∠JGK=∠BAC+∠EGF=180°，

因此A、E、G、F共圓．

2425已知為正實(shí)數(shù)且abc=1,n∈N+，求證：

(安徽省岳西中學(xué)儲百六246600)

由冪平均不等式和均值不等式可得

三式相加，再由切比雪夫不等式可得

證畢.

2018年6月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2426形如n=4a(8b+7)(a,b∈N)的正整數(shù)不能表示成三個整數(shù)的平方和.

(浙江省富陽二中 許康華311400)

2427設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù)，x,y,z是實(shí)數(shù)，求證：

≥xy+yz+zx.

(陜西省咸陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心安振平712000 )

(北京市芳草地國際學(xué)校富力分校郭文征郭璋100121)

2429設(shè)a，b，c為正數(shù)，a2+b2+c2=3，求證

(福建省閩清教師進(jìn)修學(xué)校黃如炎350800)