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    由光線照球的投影談解析幾何發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的舉措

    2018-07-16 05:47:20張勁松
    數(shù)學(xué)通報(bào) 2018年6期
    關(guān)鍵詞:圓錐代數(shù)光線

    張勁松

    (人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室 100081)

    解析幾何既是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,又是高中數(shù)學(xué)課程的主干內(nèi)容,歷來(lái)占有重要地位.從數(shù)學(xué)分支上來(lái)說(shuō),解析幾何屬于幾何學(xué).幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科,解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何圖形的數(shù)學(xué)分支科學(xué),研究方法是通過(guò)建立幾何圖形的代數(shù)方程(或不等式),運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算,由代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果得到幾何圖形的性質(zhì).

    解析幾何分為平面解析幾何和空間解析幾何.平面解析幾何主要研究直線、二次曲線以及三次以上的高次曲線,目前高中數(shù)學(xué)課程主要研究直線、圓、圓錐曲線(橢圓、雙曲線和拋物線).空間解析幾何以空間向量及其運(yùn)算(線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積)為工具,研究平面、直線、曲線、曲面(主要是二次曲面),建立它們的方程,用方程研究它們的性質(zhì).目前高中數(shù)學(xué)課程中不研究空間解析幾何的內(nèi)容.

    與函數(shù)、概率、統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)分支相比,解析幾何沒(méi)有嚴(yán)格確定的內(nèi)容,對(duì)它來(lái)說(shuō),決定性的因素不是研究對(duì)象,而是方法.解析幾何的產(chǎn)生是科學(xué)的需要,更是方法的興趣.開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)行星沿橢圓軌道運(yùn)行,物體的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線等等,這是科學(xué)的需要.坐標(biāo)系的引入,使常量數(shù)學(xué)進(jìn)入變量數(shù)學(xué)時(shí)代,而變量進(jìn)入數(shù)學(xué)是近代數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志.由于變量進(jìn)入了數(shù)學(xué),我們可以研究運(yùn)動(dòng)與變化,研究物體運(yùn)動(dòng)的軌跡.

    對(duì)數(shù)的引入、解析幾何的發(fā)明、微積分的創(chuàng)立被譽(yù)為17世紀(jì)自然科學(xué)的三大發(fā)現(xiàn).解析幾何最重要的是作為工具出現(xiàn)研究微積分,把圖形(曲線、曲面)量化,運(yùn)用微分、積分工具去研究函數(shù)的性質(zhì),因?yàn)楹瘮?shù)用解析式(曲線)表示.作為微積分的基礎(chǔ),先建立函數(shù)的解析式(代數(shù)表達(dá)).運(yùn)動(dòng)物體的路徑都是曲線,而物體本身則是由曲面界住的三維體,我們需要運(yùn)用代數(shù)工具描述曲線、曲面以及三維物體.在18世紀(jì)廣泛探討二維解析幾何,以及二次曲面:球面、柱面、拋物面、雙葉雙曲面和橢球面等.

    本文首先以傳統(tǒng)解析幾何中橢圓的呈現(xiàn)方式為引子,通過(guò)光線照球的投影這個(gè)具體實(shí)例,闡釋解析幾何發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的舉措,強(qiáng)調(diào)解析幾何回歸“幾何性”的重要性,以及解析幾何“解析性”與“幾何性”并重的教育價(jià)值,最后對(duì)于解析幾何在當(dāng)前課改中面臨的“最少”與“最多”的關(guān)系闡述了自己的觀點(diǎn).

    1 傳統(tǒng)解析幾何中橢圓的呈現(xiàn)方式

    我們以橢圓為例,看一下傳統(tǒng)解析幾何如何呈現(xiàn)這部分內(nèi)容:

    平面截圓錐,當(dāng)平面與圓錐母線的角度不同時(shí),我們可以得到橢圓、雙曲線、拋物線等不同的曲線,這些曲線我們統(tǒng)稱為圓錐曲線.

    橢圓在生活中隨處可見(jiàn),如汽車(chē)油灌橫截面的輪廓,圓柱形水杯傾斜時(shí)水面的形狀,一些天體和衛(wèi)星的運(yùn)行軌道,都給我們以橢圓的形象.那么,橢圓具有什么幾何特征呢?

    如圖1,取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩,把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)處,套上鉛筆,拉緊繩子,移動(dòng)筆尖,這時(shí)筆尖(動(dòng)點(diǎn)) 畫(huà)出的軌跡是一個(gè)圓.如果把細(xì)繩的兩端拉開(kāi)一段距離,分別固定在圖板的兩點(diǎn)處,套上鉛筆,拉緊繩子,移動(dòng)筆尖,筆尖滿足的幾何條件是什么?畫(huà)出曲線的形狀是什么?不斷地改變兩定點(diǎn)間的距離,感受畫(huà)出的曲線的形狀.

    圖1

    通過(guò)上面具體畫(huà)圖的過(guò)程,我們得到,平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡,這個(gè)軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

    這是我們非常經(jīng)典的呈現(xiàn)方式.先從平面截圓錐說(shuō)起,列舉生活中有大量橢圓形的物體及軌跡實(shí)例,通過(guò)橢圓畫(huà)板畫(huà)出橢圓,給出橢圓的定義;然后根據(jù)其對(duì)稱性,建立坐標(biāo)系,獲得關(guān)于橢圓幾何特征的代數(shù)表達(dá)式,通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算,得出其標(biāo)準(zhǔn)方程,最后用其標(biāo)準(zhǔn)方程研究其范圍、對(duì)稱性、離心率等簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì).總之,橢圓這部分結(jié)構(gòu)體系完備、內(nèi)容經(jīng)典條理.但是仔細(xì)閱讀,我們也不難發(fā)現(xiàn)存在一些問(wèn)題:比較集中的是幾何味道明顯不足,而解析味道極其濃烈,這種狀況在教學(xué)中尤甚.我們需要通過(guò)呈現(xiàn)方式的變化做些改進(jìn).為什么這么講,這涉及解析幾何在發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面的教育價(jià)值,簡(jiǎn)言之,即解析幾何的“幾何性”與“解析性”應(yīng)并重.只有這樣,解析幾何的教育價(jià)值才能完全彰顯.

    下面,我們以光線照球的投影為例,說(shuō)明解析幾何回歸“幾何性”的重要性,以及解析幾何“幾何性”與“解析性”并重的教育價(jià)值.

    2 光線照球的投影的本質(zhì):圓的斜投影是橢圓

    光線照球的投影與旦德林雙球模型是歐氏幾何中非常經(jīng)典的具體實(shí)例和數(shù)學(xué)模型.光線照球的投影既是探究、發(fā)現(xiàn)橢圓幾何特征的具體實(shí)例;又是驗(yàn)證、加深橢圓幾何特征的重要素材.橢圓是圓錐曲線的一種,而圓錐曲線是與圓錐有緊密聯(lián)系的一類曲線.光線照球的投影可以看作旦德林雙球模型的原型,旦德林雙球模型是光線照球投影的數(shù)學(xué)模型,是對(duì)光線照球投影的數(shù)學(xué)抽象.

    投影分為平行投影和中心投影,太陽(yáng)光線可以看作平行投影,點(diǎn)光源發(fā)出的光線可以看作中心投影.如圖2 是平行投影,圖3是中心投影.當(dāng)光線垂直于投影面照射球時(shí),無(wú)論是平行投影還是中心投影,其投影都是圓(平行投影時(shí)投影圓的半徑與球的半徑相等,中心投影時(shí)投影圓的半徑大于球的半徑),而且球與投影圓的切點(diǎn)是圓的圓心.當(dāng)光線不垂直于投影面照射球時(shí),無(wú)論是平行投影還是中心投影,此時(shí)在投影面上的投影不是圓,但是與圓有天然的、緊密的聯(lián)系,此時(shí)的投影是橢圓.把光線抽象為圓柱(圓錐)的母線,我們可以得到圓柱(圓錐)及其與圓柱(圓錐)側(cè)面和投影面分別相切的球,這就是對(duì)光線照球的投影的數(shù)學(xué)抽象,即數(shù)學(xué)模型.這個(gè)數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)是:垂直于圓柱(圓錐)對(duì)稱軸的截面的斜投影是橢圓.簡(jiǎn)言之,圓的斜投影是橢圓.

    圖2

    圖3

    圖4

    現(xiàn)實(shí)生活中這樣的具體實(shí)例或原型還有很多,如一個(gè)圓柱形水杯里的水,傾斜水杯時(shí),原來(lái)水平的圓面變?yōu)樗降臋E圓(圖4).這些實(shí)例本質(zhì)上是一致的,即圓的斜投影是橢圓.之所以沒(méi)有直接提出“圓的斜投影是橢圓”這個(gè)命題,是因?yàn)橹苯幼C明這個(gè)命題比較困難.有了球后,不僅容易得到橢圓的焦點(diǎn),而且為證明投影面是橢圓提供了證明思路.這個(gè)球在證明中起了“腳手架”的作用(后面我們會(huì)給出詳細(xì)證明).

    從數(shù)學(xué)的角度看,當(dāng)用一個(gè)平面按上圖所示的方式截圓柱(圓錐)時(shí),所得的截面與圓柱(圓錐)側(cè)面的交線是橢圓.這也是橢圓是圓錐曲線的由來(lái).

    圓的正投影是圓很容易證明.圓的斜投影為什么是橢圓?這是一個(gè)既現(xiàn)實(shí)又非常有趣的問(wèn)題,會(huì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和探究欲望,對(duì)于探究、發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證橢圓的幾何特征具有積極的意義.

    3 解析幾何發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的舉措:以橢圓幾何特征的探究及驗(yàn)證為例

    橢圓,顧名思義,是扁平的圓.這是形象、直觀、定性地描述橢圓與圓的關(guān)系,但不是數(shù)學(xué)意義上的橢圓.

    人類認(rèn)識(shí)橢圓的歷史非常悠久.古希臘人先是從圓柱或圓錐的截口上發(fā)現(xiàn)橢圓,但對(duì)橢圓幾何特征的認(rèn)識(shí),經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的過(guò)程.公元3世紀(jì),阿波羅尼斯在《圓錐曲線》中采用了截線的定義,并在多達(dá)七個(gè)命題的基礎(chǔ)上,導(dǎo)出了橢圓的焦半徑之和等于常數(shù)這一性質(zhì).17世紀(jì),荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰(F. van Schooten,1615~1660)給出了橢圓的三種作圖工具,其中一種利用了焦半徑之和為常數(shù)的性質(zhì).法國(guó)數(shù)學(xué)家洛必達(dá)(M. de L’Hospital,1661~1704)在《圓錐曲線分析》中沒(méi)有采用阿波羅尼斯的截線定義,他將橢圓定義為平面上到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡.直到1822年,比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林(G. P. Dandelin,1794~1847)在一篇論文中才利用圓錐的兩個(gè)內(nèi)切球,直接在圓錐上導(dǎo)出橢圓的焦半徑性質(zhì),從而證明了截面定義與軌跡定義的統(tǒng)一性.

    歷史的材料無(wú)疑是豐富的,但是追尋歷史的足跡,通過(guò)展示橢圓的產(chǎn)生、發(fā)生和發(fā)展過(guò)程,得到目前橢圓的定義對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō),對(duì)教材處理來(lái)說(shuō),有很大的難度,而且對(duì)于很多教師來(lái)說(shuō),可能無(wú)法駕馭.我們想有沒(méi)有一種自然的、易于接受的方式,通過(guò)探究、發(fā)現(xiàn)的方式認(rèn)識(shí)它.不妨我們看下面的處理方式.

    由于橢圓和圓分別是圓斜投影和正投影時(shí)得到的圖形,我們猜想橢圓與圓肯定有天然的、緊密的聯(lián)系.這個(gè)聯(lián)系到底是什么?我們從圓的幾何特征出發(fā)進(jìn)行探究.圓的幾何特征是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡,圓心和半徑是確定圓的幾何要素,圓心(定點(diǎn))確定位置,半徑(定長(zhǎng))決定大小.由于正投影時(shí),切點(diǎn)是球的投影——圓的圓心.當(dāng)斜投影時(shí)球體與投影面的切點(diǎn)肯定也是投影圖形(橢圓)的一個(gè)非常重要的點(diǎn),我們猜想,這個(gè)點(diǎn)的地位類似圓的圓心.又由于直觀發(fā)現(xiàn)投影圖形(橢圓)的軸對(duì)稱性(圖5),我們猜想還有一個(gè)與其對(duì)稱的點(diǎn).我們?cè)O(shè)想把圓柱的側(cè)面延長(zhǎng),在投影面的下方還有一個(gè)球,這個(gè)球與圓柱的側(cè)面以及投影面都相切,顯然存在另一個(gè)切點(diǎn).這兩個(gè)切點(diǎn)是非常特殊的點(diǎn),投影圖形與圓柱側(cè)面的交線(橢圓)上的點(diǎn)與這兩個(gè)切點(diǎn)有什么關(guān)系呢?由于圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡,我們猜想交線上的點(diǎn)到兩切點(diǎn)的距離之和為定長(zhǎng).這個(gè)猜想是否正確呢?通過(guò)截面以及圓的切線的性質(zhì)可以證明.如圖6,由圓的切線的性質(zhì)知,PE=PR,PF=PQ,有PE+PF=PR+PQ=RQ,由此找到橢圓的“定長(zhǎng)”.(圓錐情況的探索、發(fā)現(xiàn)及證明的思路和過(guò)程與圓柱的情況完全一致,如圖7).這個(gè)交線上的點(diǎn)到兩個(gè)切點(diǎn)的距離和等于定值,而這恰恰是橢圓的軌跡定義,因此這個(gè)投影是橢圓.

    圖5

    圖6

    圖7

    這樣的具體實(shí)例無(wú)疑思維容量大,探索價(jià)值強(qiáng).對(duì)于當(dāng)前倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展具有積極的意義.我個(gè)人認(rèn)為,在當(dāng)前解析幾何教材編寫(xiě)中,這樣有價(jià)值的具體實(shí)例并不多.雖然有難度,教學(xué)時(shí)間會(huì)拉長(zhǎng),但從長(zhǎng)遠(yuǎn)角度講,對(duì)于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)值得一試.

    4 解析幾何的教育價(jià)值:“幾何性”與“解析性”并重

    上述光線照球的投影的具體實(shí)例是加強(qiáng)橢圓內(nèi)容“幾何性”的一個(gè)舉措,希望能在教學(xué)中進(jìn)行嘗試.“幾何性”是指圖形及圖形間的關(guān)系,把握?qǐng)D形的形狀、大小和位置關(guān)系.強(qiáng)調(diào)“幾何性”并不排斥“解析性”,“解析性”是指建立圖形的代數(shù)表達(dá)式,通過(guò)代數(shù)表達(dá)式,進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算,最后把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”為幾何結(jié)論.解析有其自身的優(yōu)勢(shì),比如,要說(shuō)明橢圓是扁平的圓,如何“壓扁”的,解析法比綜合法有優(yōu)勢(shì).為此,我們完整地展現(xiàn)這個(gè)過(guò)程,這樣對(duì)解析幾何“解析性”的認(rèn)識(shí)會(huì)更加深刻.

    圖8

    問(wèn)題如圖8,在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是橢圓.

    證明點(diǎn)P在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0).由于M是線段PD的中點(diǎn),所以

    因?yàn)辄c(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2=4上,所以

    x2+4y2=4,

    這給出如何“壓扁”圓的定量描述,即把圓上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的一半,這時(shí)得到的圖形是橢圓(實(shí)際上,壓縮為任意比值得到的圖形都是橢圓).而這用綜合法證明是有難度的.

    為了加強(qiáng)解析幾何的“幾何性”,除了引入圓錐曲線時(shí),對(duì)橢圓、雙曲線和拋物線的具體實(shí)例進(jìn)行抽象概括外,還需挖掘一些素材,如上面提到的“光線照球的投影”;再有就是對(duì)現(xiàn)有的內(nèi)容,如“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)”在教學(xué)中給予足夠的重視,對(duì)性質(zhì)用初等數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行說(shuō)明或證明;以后有了導(dǎo)數(shù)的工具后,在“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的內(nèi)容中,我們?cè)倮们芯€給出嚴(yán)格的證明.把“解析性”運(yùn)算的威力與“幾何性”圖形的魅力有機(jī)地結(jié)合起來(lái).

    總之,如果把解析幾何看作一枚硬幣,那么“幾何性”與“解析性”的關(guān)系就是這枚硬幣的兩面,是一個(gè)整體,兩者都不能偏頗.

    5 如何看待“最少”與“最多”的關(guān)系

    當(dāng)前,我們面臨的一個(gè)事實(shí)是:縱向與歷史其他時(shí)期對(duì)比,當(dāng)前解析幾何的內(nèi)容是最少的;橫向與其他國(guó)家對(duì)比,我國(guó)解析幾何的內(nèi)容又是最多的.這個(gè)“最少”與“最多”的關(guān)系,對(duì)于我們來(lái)說(shuō),有點(diǎn)尷尬.但這個(gè)客觀事實(shí),需要我們重新審視解析幾何的地位、作用及內(nèi)容.

    從平面解析幾何的產(chǎn)生、發(fā)生和發(fā)展來(lái)看,解析幾何的歷史無(wú)疑是輝煌的,但是現(xiàn)在已經(jīng)“沒(méi)落”了,其內(nèi)容已經(jīng)進(jìn)入函數(shù)、微積分、代數(shù)幾何等現(xiàn)代數(shù)學(xué)各分支中.

    平面解析幾何是從初等數(shù)學(xué)過(guò)渡到高等數(shù)學(xué)的橋梁.它是用代數(shù)方法研究空間形式.它和代數(shù)中的函數(shù)知識(shí)有密切的聯(lián)系,但是研究的對(duì)象不同.它所研究的對(duì)象和平面幾何相同,但是研究的方法不同.從數(shù)學(xué)發(fā)展史看,過(guò)去算術(shù)是算術(shù),代數(shù)是代數(shù),幾何是幾何,數(shù)和形的研究是分開(kāi)發(fā)展的.出現(xiàn)解析幾何以后,數(shù)和形的研究緊密地結(jié)合起來(lái),數(shù)學(xué)各分支才在更高的觀點(diǎn)下統(tǒng)一起來(lái).這樣既有利于綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí),又有利于系統(tǒng)掌握平面解析幾何的基本知識(shí)和基本技能,為以后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下扎實(shí)的基礎(chǔ).

    從平面解析幾何清末初定學(xué)制時(shí)期進(jìn)入課堂的變遷和發(fā)展看,解析幾何的內(nèi)容變化很大、但是結(jié)構(gòu)體系變化不大.從總體上看,內(nèi)容逐漸減少;從結(jié)構(gòu)體系上看,變化極其有限,主要是解析幾何的體系結(jié)構(gòu)非常成熟和完整.

    解析幾何內(nèi)容的逐漸減少源自對(duì)解析幾何的教育價(jià)值、地位和作用的認(rèn)識(shí).一種觀點(diǎn)認(rèn)為,在中學(xué)學(xué)習(xí)解析幾何主要是為大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),特別是微積分打基礎(chǔ).另一種觀點(diǎn)認(rèn)為,解析幾何的綜合性強(qiáng),它綜合了代數(shù)、幾何、三角等知識(shí)內(nèi)容,加強(qiáng)了代數(shù)、幾何、三角等內(nèi)容的聯(lián)系,解析幾何的代數(shù)對(duì)象是方程,對(duì)方程進(jìn)行代數(shù)變形,涉及數(shù)、式、方程求解等基本代數(shù)運(yùn)算;幾何對(duì)象包括各種直線型圖形、圓、橢圓、雙曲線和拋物線等.研究方法是代數(shù)運(yùn)算與幾何圖形性質(zhì)的有機(jī)結(jié)合,包括必要的圖形證明.在上述兩種觀點(diǎn)的指導(dǎo)下,解析幾何的內(nèi)容非常豐富和綜合.再一種觀點(diǎn)是,解析幾何是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,學(xué)會(huì)解析幾何的研究方法遠(yuǎn)比解析幾何內(nèi)容本身更重要.另外從橫向角度看,其他內(nèi)容如函數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率等的增加,解析幾何內(nèi)容需要“瘦身”“削枝強(qiáng)干”“騰地方“,只保留主干內(nèi)容和基本的研究方法,只研究具體的曲線,不研究一般曲線及其方程;不在圖形證明的難度和代數(shù)運(yùn)算的復(fù)雜度上下功夫.

    毋庸諱言,現(xiàn)在數(shù)學(xué)分支越來(lái)越多,學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的內(nèi)容、內(nèi)涵不斷擴(kuò)大,學(xué)生需要學(xué)習(xí)具備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)越來(lái)越廣,刪減解析幾何的內(nèi)容,降低要求是大勢(shì)所趨,如兩條直線所成的角,直線的法線式方程,圓錐曲線的切線和法線,圓錐曲線的統(tǒng)一定義,坐標(biāo)軸的平移和旋轉(zhuǎn),一般二元二次方程與曲線類型的討論等.現(xiàn)在解析幾何更加強(qiáng)調(diào)基本內(nèi)容,更加突出研究方法,不在內(nèi)容的深廣度上做更多的拓展.

    從解析幾何結(jié)構(gòu)體系上來(lái)說(shuō),遵循從簡(jiǎn)單到復(fù)雜,從具體到抽象,從特殊到一般的研究過(guò)程和方法.具體從幾何研究對(duì)象來(lái)說(shuō),就是按照直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的順序,由它們的幾何特征,建立它們的方程;從方程類型上來(lái)說(shuō),先講一般方程,后講參數(shù)方程;從坐標(biāo)系上來(lái)說(shuō),先講直角坐標(biāo)系,再講其他坐標(biāo)系,如極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系等等.

    作為傳統(tǒng)或經(jīng)典的數(shù)學(xué)內(nèi)容,從內(nèi)容上看,解析幾何始終在減少,但核心內(nèi)容未動(dòng);從結(jié)構(gòu)上看,沒(méi)有大的變化,只是有些細(xì)微的調(diào)整;從呈現(xiàn)形式看,注意數(shù)學(xué)內(nèi)容的教材表達(dá),以問(wèn)題引導(dǎo)內(nèi)容的展開(kāi),突出解析幾何的思想和主要研究方法:如何刻畫(huà)幾何圖形,確定圖形的幾何要素是什么,這些幾何要素的代數(shù)表達(dá)是什么.從歷史上看,方程的內(nèi)容先于函數(shù),后來(lái)函數(shù)的內(nèi)容由方程內(nèi)容分離出來(lái),逐漸發(fā)展成為一個(gè)體系.與方程相比,函數(shù)有其特殊性,以函數(shù)為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)分支科學(xué)的發(fā)展是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重大成就,特別是微積分,解析幾何為函數(shù)內(nèi)容的產(chǎn)生和發(fā)展提供了重要的支撐.從數(shù)學(xué)各分支之間的關(guān)系看,解析幾何更多的是一種工具,為微積分等學(xué)科服務(wù),因?yàn)樗⒘饲€與方程之間的關(guān)系,可以用代數(shù)方法精確地描述幾何對(duì)象,對(duì)幾何對(duì)象進(jìn)行“運(yùn)算”,而數(shù)形結(jié)合為數(shù)學(xué)的研究提供了工具和活力.數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微,“直觀”與“入微”的有機(jī)結(jié)合,相得益彰,極大豐富了數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容.

    “最少”與“最多”的關(guān)系恰恰說(shuō)明了解析幾何地位、價(jià)值不斷變化的過(guò)程.解析幾何內(nèi)容減少是大勢(shì)所趨,而我國(guó)之所以“最多”的原因是多方面的,如對(duì)基礎(chǔ)的不同理解、課程結(jié)構(gòu)中重必修輕選修等等.

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