• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    由光線照球的投影談解析幾何發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的舉措

    2018-07-16 05:47:20張勁松
    數(shù)學(xué)通報(bào) 2018年6期
    關(guān)鍵詞:圓錐代數(shù)光線

    張勁松

    (人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室 100081)

    解析幾何既是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,又是高中數(shù)學(xué)課程的主干內(nèi)容,歷來(lái)占有重要地位.從數(shù)學(xué)分支上來(lái)說(shuō),解析幾何屬于幾何學(xué).幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科,解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何圖形的數(shù)學(xué)分支科學(xué),研究方法是通過(guò)建立幾何圖形的代數(shù)方程(或不等式),運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算,由代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果得到幾何圖形的性質(zhì).

    解析幾何分為平面解析幾何和空間解析幾何.平面解析幾何主要研究直線、二次曲線以及三次以上的高次曲線,目前高中數(shù)學(xué)課程主要研究直線、圓、圓錐曲線(橢圓、雙曲線和拋物線).空間解析幾何以空間向量及其運(yùn)算(線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積)為工具,研究平面、直線、曲線、曲面(主要是二次曲面),建立它們的方程,用方程研究它們的性質(zhì).目前高中數(shù)學(xué)課程中不研究空間解析幾何的內(nèi)容.

    與函數(shù)、概率、統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)分支相比,解析幾何沒(méi)有嚴(yán)格確定的內(nèi)容,對(duì)它來(lái)說(shuō),決定性的因素不是研究對(duì)象,而是方法.解析幾何的產(chǎn)生是科學(xué)的需要,更是方法的興趣.開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)行星沿橢圓軌道運(yùn)行,物體的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線等等,這是科學(xué)的需要.坐標(biāo)系的引入,使常量數(shù)學(xué)進(jìn)入變量數(shù)學(xué)時(shí)代,而變量進(jìn)入數(shù)學(xué)是近代數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志.由于變量進(jìn)入了數(shù)學(xué),我們可以研究運(yùn)動(dòng)與變化,研究物體運(yùn)動(dòng)的軌跡.

    對(duì)數(shù)的引入、解析幾何的發(fā)明、微積分的創(chuàng)立被譽(yù)為17世紀(jì)自然科學(xué)的三大發(fā)現(xiàn).解析幾何最重要的是作為工具出現(xiàn)研究微積分,把圖形(曲線、曲面)量化,運(yùn)用微分、積分工具去研究函數(shù)的性質(zhì),因?yàn)楹瘮?shù)用解析式(曲線)表示.作為微積分的基礎(chǔ),先建立函數(shù)的解析式(代數(shù)表達(dá)).運(yùn)動(dòng)物體的路徑都是曲線,而物體本身則是由曲面界住的三維體,我們需要運(yùn)用代數(shù)工具描述曲線、曲面以及三維物體.在18世紀(jì)廣泛探討二維解析幾何,以及二次曲面:球面、柱面、拋物面、雙葉雙曲面和橢球面等.

    本文首先以傳統(tǒng)解析幾何中橢圓的呈現(xiàn)方式為引子,通過(guò)光線照球的投影這個(gè)具體實(shí)例,闡釋解析幾何發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的舉措,強(qiáng)調(diào)解析幾何回歸“幾何性”的重要性,以及解析幾何“解析性”與“幾何性”并重的教育價(jià)值,最后對(duì)于解析幾何在當(dāng)前課改中面臨的“最少”與“最多”的關(guān)系闡述了自己的觀點(diǎn).

    1 傳統(tǒng)解析幾何中橢圓的呈現(xiàn)方式

    我們以橢圓為例,看一下傳統(tǒng)解析幾何如何呈現(xiàn)這部分內(nèi)容:

    平面截圓錐,當(dāng)平面與圓錐母線的角度不同時(shí),我們可以得到橢圓、雙曲線、拋物線等不同的曲線,這些曲線我們統(tǒng)稱為圓錐曲線.

    橢圓在生活中隨處可見(jiàn),如汽車(chē)油灌橫截面的輪廓,圓柱形水杯傾斜時(shí)水面的形狀,一些天體和衛(wèi)星的運(yùn)行軌道,都給我們以橢圓的形象.那么,橢圓具有什么幾何特征呢?

    如圖1,取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩,把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)處,套上鉛筆,拉緊繩子,移動(dòng)筆尖,這時(shí)筆尖(動(dòng)點(diǎn)) 畫(huà)出的軌跡是一個(gè)圓.如果把細(xì)繩的兩端拉開(kāi)一段距離,分別固定在圖板的兩點(diǎn)處,套上鉛筆,拉緊繩子,移動(dòng)筆尖,筆尖滿足的幾何條件是什么?畫(huà)出曲線的形狀是什么?不斷地改變兩定點(diǎn)間的距離,感受畫(huà)出的曲線的形狀.

    圖1

    通過(guò)上面具體畫(huà)圖的過(guò)程,我們得到,平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡,這個(gè)軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

    這是我們非常經(jīng)典的呈現(xiàn)方式.先從平面截圓錐說(shuō)起,列舉生活中有大量橢圓形的物體及軌跡實(shí)例,通過(guò)橢圓畫(huà)板畫(huà)出橢圓,給出橢圓的定義;然后根據(jù)其對(duì)稱性,建立坐標(biāo)系,獲得關(guān)于橢圓幾何特征的代數(shù)表達(dá)式,通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算,得出其標(biāo)準(zhǔn)方程,最后用其標(biāo)準(zhǔn)方程研究其范圍、對(duì)稱性、離心率等簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì).總之,橢圓這部分結(jié)構(gòu)體系完備、內(nèi)容經(jīng)典條理.但是仔細(xì)閱讀,我們也不難發(fā)現(xiàn)存在一些問(wèn)題:比較集中的是幾何味道明顯不足,而解析味道極其濃烈,這種狀況在教學(xué)中尤甚.我們需要通過(guò)呈現(xiàn)方式的變化做些改進(jìn).為什么這么講,這涉及解析幾何在發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面的教育價(jià)值,簡(jiǎn)言之,即解析幾何的“幾何性”與“解析性”應(yīng)并重.只有這樣,解析幾何的教育價(jià)值才能完全彰顯.

    下面,我們以光線照球的投影為例,說(shuō)明解析幾何回歸“幾何性”的重要性,以及解析幾何“幾何性”與“解析性”并重的教育價(jià)值.

    2 光線照球的投影的本質(zhì):圓的斜投影是橢圓

    光線照球的投影與旦德林雙球模型是歐氏幾何中非常經(jīng)典的具體實(shí)例和數(shù)學(xué)模型.光線照球的投影既是探究、發(fā)現(xiàn)橢圓幾何特征的具體實(shí)例;又是驗(yàn)證、加深橢圓幾何特征的重要素材.橢圓是圓錐曲線的一種,而圓錐曲線是與圓錐有緊密聯(lián)系的一類曲線.光線照球的投影可以看作旦德林雙球模型的原型,旦德林雙球模型是光線照球投影的數(shù)學(xué)模型,是對(duì)光線照球投影的數(shù)學(xué)抽象.

    投影分為平行投影和中心投影,太陽(yáng)光線可以看作平行投影,點(diǎn)光源發(fā)出的光線可以看作中心投影.如圖2 是平行投影,圖3是中心投影.當(dāng)光線垂直于投影面照射球時(shí),無(wú)論是平行投影還是中心投影,其投影都是圓(平行投影時(shí)投影圓的半徑與球的半徑相等,中心投影時(shí)投影圓的半徑大于球的半徑),而且球與投影圓的切點(diǎn)是圓的圓心.當(dāng)光線不垂直于投影面照射球時(shí),無(wú)論是平行投影還是中心投影,此時(shí)在投影面上的投影不是圓,但是與圓有天然的、緊密的聯(lián)系,此時(shí)的投影是橢圓.把光線抽象為圓柱(圓錐)的母線,我們可以得到圓柱(圓錐)及其與圓柱(圓錐)側(cè)面和投影面分別相切的球,這就是對(duì)光線照球的投影的數(shù)學(xué)抽象,即數(shù)學(xué)模型.這個(gè)數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)是:垂直于圓柱(圓錐)對(duì)稱軸的截面的斜投影是橢圓.簡(jiǎn)言之,圓的斜投影是橢圓.

    圖2

    圖3

    圖4

    現(xiàn)實(shí)生活中這樣的具體實(shí)例或原型還有很多,如一個(gè)圓柱形水杯里的水,傾斜水杯時(shí),原來(lái)水平的圓面變?yōu)樗降臋E圓(圖4).這些實(shí)例本質(zhì)上是一致的,即圓的斜投影是橢圓.之所以沒(méi)有直接提出“圓的斜投影是橢圓”這個(gè)命題,是因?yàn)橹苯幼C明這個(gè)命題比較困難.有了球后,不僅容易得到橢圓的焦點(diǎn),而且為證明投影面是橢圓提供了證明思路.這個(gè)球在證明中起了“腳手架”的作用(后面我們會(huì)給出詳細(xì)證明).

    從數(shù)學(xué)的角度看,當(dāng)用一個(gè)平面按上圖所示的方式截圓柱(圓錐)時(shí),所得的截面與圓柱(圓錐)側(cè)面的交線是橢圓.這也是橢圓是圓錐曲線的由來(lái).

    圓的正投影是圓很容易證明.圓的斜投影為什么是橢圓?這是一個(gè)既現(xiàn)實(shí)又非常有趣的問(wèn)題,會(huì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和探究欲望,對(duì)于探究、發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證橢圓的幾何特征具有積極的意義.

    3 解析幾何發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的舉措:以橢圓幾何特征的探究及驗(yàn)證為例

    橢圓,顧名思義,是扁平的圓.這是形象、直觀、定性地描述橢圓與圓的關(guān)系,但不是數(shù)學(xué)意義上的橢圓.

    人類認(rèn)識(shí)橢圓的歷史非常悠久.古希臘人先是從圓柱或圓錐的截口上發(fā)現(xiàn)橢圓,但對(duì)橢圓幾何特征的認(rèn)識(shí),經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的過(guò)程.公元3世紀(jì),阿波羅尼斯在《圓錐曲線》中采用了截線的定義,并在多達(dá)七個(gè)命題的基礎(chǔ)上,導(dǎo)出了橢圓的焦半徑之和等于常數(shù)這一性質(zhì).17世紀(jì),荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰(F. van Schooten,1615~1660)給出了橢圓的三種作圖工具,其中一種利用了焦半徑之和為常數(shù)的性質(zhì).法國(guó)數(shù)學(xué)家洛必達(dá)(M. de L’Hospital,1661~1704)在《圓錐曲線分析》中沒(méi)有采用阿波羅尼斯的截線定義,他將橢圓定義為平面上到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡.直到1822年,比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林(G. P. Dandelin,1794~1847)在一篇論文中才利用圓錐的兩個(gè)內(nèi)切球,直接在圓錐上導(dǎo)出橢圓的焦半徑性質(zhì),從而證明了截面定義與軌跡定義的統(tǒng)一性.

    歷史的材料無(wú)疑是豐富的,但是追尋歷史的足跡,通過(guò)展示橢圓的產(chǎn)生、發(fā)生和發(fā)展過(guò)程,得到目前橢圓的定義對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō),對(duì)教材處理來(lái)說(shuō),有很大的難度,而且對(duì)于很多教師來(lái)說(shuō),可能無(wú)法駕馭.我們想有沒(méi)有一種自然的、易于接受的方式,通過(guò)探究、發(fā)現(xiàn)的方式認(rèn)識(shí)它.不妨我們看下面的處理方式.

    由于橢圓和圓分別是圓斜投影和正投影時(shí)得到的圖形,我們猜想橢圓與圓肯定有天然的、緊密的聯(lián)系.這個(gè)聯(lián)系到底是什么?我們從圓的幾何特征出發(fā)進(jìn)行探究.圓的幾何特征是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡,圓心和半徑是確定圓的幾何要素,圓心(定點(diǎn))確定位置,半徑(定長(zhǎng))決定大小.由于正投影時(shí),切點(diǎn)是球的投影——圓的圓心.當(dāng)斜投影時(shí)球體與投影面的切點(diǎn)肯定也是投影圖形(橢圓)的一個(gè)非常重要的點(diǎn),我們猜想,這個(gè)點(diǎn)的地位類似圓的圓心.又由于直觀發(fā)現(xiàn)投影圖形(橢圓)的軸對(duì)稱性(圖5),我們猜想還有一個(gè)與其對(duì)稱的點(diǎn).我們?cè)O(shè)想把圓柱的側(cè)面延長(zhǎng),在投影面的下方還有一個(gè)球,這個(gè)球與圓柱的側(cè)面以及投影面都相切,顯然存在另一個(gè)切點(diǎn).這兩個(gè)切點(diǎn)是非常特殊的點(diǎn),投影圖形與圓柱側(cè)面的交線(橢圓)上的點(diǎn)與這兩個(gè)切點(diǎn)有什么關(guān)系呢?由于圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡,我們猜想交線上的點(diǎn)到兩切點(diǎn)的距離之和為定長(zhǎng).這個(gè)猜想是否正確呢?通過(guò)截面以及圓的切線的性質(zhì)可以證明.如圖6,由圓的切線的性質(zhì)知,PE=PR,PF=PQ,有PE+PF=PR+PQ=RQ,由此找到橢圓的“定長(zhǎng)”.(圓錐情況的探索、發(fā)現(xiàn)及證明的思路和過(guò)程與圓柱的情況完全一致,如圖7).這個(gè)交線上的點(diǎn)到兩個(gè)切點(diǎn)的距離和等于定值,而這恰恰是橢圓的軌跡定義,因此這個(gè)投影是橢圓.

    圖5

    圖6

    圖7

    這樣的具體實(shí)例無(wú)疑思維容量大,探索價(jià)值強(qiáng).對(duì)于當(dāng)前倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展具有積極的意義.我個(gè)人認(rèn)為,在當(dāng)前解析幾何教材編寫(xiě)中,這樣有價(jià)值的具體實(shí)例并不多.雖然有難度,教學(xué)時(shí)間會(huì)拉長(zhǎng),但從長(zhǎng)遠(yuǎn)角度講,對(duì)于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)值得一試.

    4 解析幾何的教育價(jià)值:“幾何性”與“解析性”并重

    上述光線照球的投影的具體實(shí)例是加強(qiáng)橢圓內(nèi)容“幾何性”的一個(gè)舉措,希望能在教學(xué)中進(jìn)行嘗試.“幾何性”是指圖形及圖形間的關(guān)系,把握?qǐng)D形的形狀、大小和位置關(guān)系.強(qiáng)調(diào)“幾何性”并不排斥“解析性”,“解析性”是指建立圖形的代數(shù)表達(dá)式,通過(guò)代數(shù)表達(dá)式,進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算,最后把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”為幾何結(jié)論.解析有其自身的優(yōu)勢(shì),比如,要說(shuō)明橢圓是扁平的圓,如何“壓扁”的,解析法比綜合法有優(yōu)勢(shì).為此,我們完整地展現(xiàn)這個(gè)過(guò)程,這樣對(duì)解析幾何“解析性”的認(rèn)識(shí)會(huì)更加深刻.

    圖8

    問(wèn)題如圖8,在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是橢圓.

    證明點(diǎn)P在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0).由于M是線段PD的中點(diǎn),所以

    因?yàn)辄c(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2=4上,所以

    x2+4y2=4,

    這給出如何“壓扁”圓的定量描述,即把圓上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的一半,這時(shí)得到的圖形是橢圓(實(shí)際上,壓縮為任意比值得到的圖形都是橢圓).而這用綜合法證明是有難度的.

    為了加強(qiáng)解析幾何的“幾何性”,除了引入圓錐曲線時(shí),對(duì)橢圓、雙曲線和拋物線的具體實(shí)例進(jìn)行抽象概括外,還需挖掘一些素材,如上面提到的“光線照球的投影”;再有就是對(duì)現(xiàn)有的內(nèi)容,如“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)”在教學(xué)中給予足夠的重視,對(duì)性質(zhì)用初等數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行說(shuō)明或證明;以后有了導(dǎo)數(shù)的工具后,在“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的內(nèi)容中,我們?cè)倮们芯€給出嚴(yán)格的證明.把“解析性”運(yùn)算的威力與“幾何性”圖形的魅力有機(jī)地結(jié)合起來(lái).

    總之,如果把解析幾何看作一枚硬幣,那么“幾何性”與“解析性”的關(guān)系就是這枚硬幣的兩面,是一個(gè)整體,兩者都不能偏頗.

    5 如何看待“最少”與“最多”的關(guān)系

    當(dāng)前,我們面臨的一個(gè)事實(shí)是:縱向與歷史其他時(shí)期對(duì)比,當(dāng)前解析幾何的內(nèi)容是最少的;橫向與其他國(guó)家對(duì)比,我國(guó)解析幾何的內(nèi)容又是最多的.這個(gè)“最少”與“最多”的關(guān)系,對(duì)于我們來(lái)說(shuō),有點(diǎn)尷尬.但這個(gè)客觀事實(shí),需要我們重新審視解析幾何的地位、作用及內(nèi)容.

    從平面解析幾何的產(chǎn)生、發(fā)生和發(fā)展來(lái)看,解析幾何的歷史無(wú)疑是輝煌的,但是現(xiàn)在已經(jīng)“沒(méi)落”了,其內(nèi)容已經(jīng)進(jìn)入函數(shù)、微積分、代數(shù)幾何等現(xiàn)代數(shù)學(xué)各分支中.

    平面解析幾何是從初等數(shù)學(xué)過(guò)渡到高等數(shù)學(xué)的橋梁.它是用代數(shù)方法研究空間形式.它和代數(shù)中的函數(shù)知識(shí)有密切的聯(lián)系,但是研究的對(duì)象不同.它所研究的對(duì)象和平面幾何相同,但是研究的方法不同.從數(shù)學(xué)發(fā)展史看,過(guò)去算術(shù)是算術(shù),代數(shù)是代數(shù),幾何是幾何,數(shù)和形的研究是分開(kāi)發(fā)展的.出現(xiàn)解析幾何以后,數(shù)和形的研究緊密地結(jié)合起來(lái),數(shù)學(xué)各分支才在更高的觀點(diǎn)下統(tǒng)一起來(lái).這樣既有利于綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí),又有利于系統(tǒng)掌握平面解析幾何的基本知識(shí)和基本技能,為以后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下扎實(shí)的基礎(chǔ).

    從平面解析幾何清末初定學(xué)制時(shí)期進(jìn)入課堂的變遷和發(fā)展看,解析幾何的內(nèi)容變化很大、但是結(jié)構(gòu)體系變化不大.從總體上看,內(nèi)容逐漸減少;從結(jié)構(gòu)體系上看,變化極其有限,主要是解析幾何的體系結(jié)構(gòu)非常成熟和完整.

    解析幾何內(nèi)容的逐漸減少源自對(duì)解析幾何的教育價(jià)值、地位和作用的認(rèn)識(shí).一種觀點(diǎn)認(rèn)為,在中學(xué)學(xué)習(xí)解析幾何主要是為大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),特別是微積分打基礎(chǔ).另一種觀點(diǎn)認(rèn)為,解析幾何的綜合性強(qiáng),它綜合了代數(shù)、幾何、三角等知識(shí)內(nèi)容,加強(qiáng)了代數(shù)、幾何、三角等內(nèi)容的聯(lián)系,解析幾何的代數(shù)對(duì)象是方程,對(duì)方程進(jìn)行代數(shù)變形,涉及數(shù)、式、方程求解等基本代數(shù)運(yùn)算;幾何對(duì)象包括各種直線型圖形、圓、橢圓、雙曲線和拋物線等.研究方法是代數(shù)運(yùn)算與幾何圖形性質(zhì)的有機(jī)結(jié)合,包括必要的圖形證明.在上述兩種觀點(diǎn)的指導(dǎo)下,解析幾何的內(nèi)容非常豐富和綜合.再一種觀點(diǎn)是,解析幾何是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,學(xué)會(huì)解析幾何的研究方法遠(yuǎn)比解析幾何內(nèi)容本身更重要.另外從橫向角度看,其他內(nèi)容如函數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率等的增加,解析幾何內(nèi)容需要“瘦身”“削枝強(qiáng)干”“騰地方“,只保留主干內(nèi)容和基本的研究方法,只研究具體的曲線,不研究一般曲線及其方程;不在圖形證明的難度和代數(shù)運(yùn)算的復(fù)雜度上下功夫.

    毋庸諱言,現(xiàn)在數(shù)學(xué)分支越來(lái)越多,學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的內(nèi)容、內(nèi)涵不斷擴(kuò)大,學(xué)生需要學(xué)習(xí)具備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)越來(lái)越廣,刪減解析幾何的內(nèi)容,降低要求是大勢(shì)所趨,如兩條直線所成的角,直線的法線式方程,圓錐曲線的切線和法線,圓錐曲線的統(tǒng)一定義,坐標(biāo)軸的平移和旋轉(zhuǎn),一般二元二次方程與曲線類型的討論等.現(xiàn)在解析幾何更加強(qiáng)調(diào)基本內(nèi)容,更加突出研究方法,不在內(nèi)容的深廣度上做更多的拓展.

    從解析幾何結(jié)構(gòu)體系上來(lái)說(shuō),遵循從簡(jiǎn)單到復(fù)雜,從具體到抽象,從特殊到一般的研究過(guò)程和方法.具體從幾何研究對(duì)象來(lái)說(shuō),就是按照直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的順序,由它們的幾何特征,建立它們的方程;從方程類型上來(lái)說(shuō),先講一般方程,后講參數(shù)方程;從坐標(biāo)系上來(lái)說(shuō),先講直角坐標(biāo)系,再講其他坐標(biāo)系,如極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系等等.

    作為傳統(tǒng)或經(jīng)典的數(shù)學(xué)內(nèi)容,從內(nèi)容上看,解析幾何始終在減少,但核心內(nèi)容未動(dòng);從結(jié)構(gòu)上看,沒(méi)有大的變化,只是有些細(xì)微的調(diào)整;從呈現(xiàn)形式看,注意數(shù)學(xué)內(nèi)容的教材表達(dá),以問(wèn)題引導(dǎo)內(nèi)容的展開(kāi),突出解析幾何的思想和主要研究方法:如何刻畫(huà)幾何圖形,確定圖形的幾何要素是什么,這些幾何要素的代數(shù)表達(dá)是什么.從歷史上看,方程的內(nèi)容先于函數(shù),后來(lái)函數(shù)的內(nèi)容由方程內(nèi)容分離出來(lái),逐漸發(fā)展成為一個(gè)體系.與方程相比,函數(shù)有其特殊性,以函數(shù)為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)分支科學(xué)的發(fā)展是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重大成就,特別是微積分,解析幾何為函數(shù)內(nèi)容的產(chǎn)生和發(fā)展提供了重要的支撐.從數(shù)學(xué)各分支之間的關(guān)系看,解析幾何更多的是一種工具,為微積分等學(xué)科服務(wù),因?yàn)樗⒘饲€與方程之間的關(guān)系,可以用代數(shù)方法精確地描述幾何對(duì)象,對(duì)幾何對(duì)象進(jìn)行“運(yùn)算”,而數(shù)形結(jié)合為數(shù)學(xué)的研究提供了工具和活力.數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微,“直觀”與“入微”的有機(jī)結(jié)合,相得益彰,極大豐富了數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容.

    “最少”與“最多”的關(guān)系恰恰說(shuō)明了解析幾何地位、價(jià)值不斷變化的過(guò)程.解析幾何內(nèi)容減少是大勢(shì)所趨,而我國(guó)之所以“最多”的原因是多方面的,如對(duì)基礎(chǔ)的不同理解、課程結(jié)構(gòu)中重必修輕選修等等.

    猜你喜歡
    圓錐代數(shù)光線
    春日暖陽(yáng)
    圓錐擺模型的探究與拓展
    圓錐截線與玫瑰線
    “圓柱與圓錐”復(fù)習(xí)指導(dǎo)
    兩個(gè)有趣的無(wú)窮長(zhǎng)代數(shù)不等式鏈
    計(jì)算法在圓錐保持架收縮模組合沖頭設(shè)計(jì)中的應(yīng)用
    哈爾濱軸承(2021年4期)2021-03-08 01:00:50
    Hopf代數(shù)的二重Ore擴(kuò)張
    什么是代數(shù)幾何
    科學(xué)(2020年1期)2020-08-24 08:08:06
    “你看不見(jiàn)我”
    中外文摘(2019年8期)2019-04-30 06:47:36
    淘氣的光線
    99热这里只有精品一区| 麻豆一二三区av精品| 亚洲性久久影院| 久久精品91蜜桃| 欧美高清成人免费视频www| 天堂av国产一区二区熟女人妻| 亚洲av免费在线观看| 天堂av国产一区二区熟女人妻| 欧美三级亚洲精品| 精品乱码久久久久久99久播| 午夜老司机福利剧场| 一级av片app| 韩国av一区二区三区四区| 国产精品综合久久久久久久免费| 亚洲国产欧美人成| 欧美xxxx性猛交bbbb| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 精品久久久久久成人av| 看片在线看免费视频| 小说图片视频综合网站| 久久精品国产清高在天天线| 久久久久国内视频| 老女人水多毛片| 亚洲色图av天堂| 亚洲美女黄片视频| 在线观看美女被高潮喷水网站| 人妻少妇偷人精品九色| 可以在线观看毛片的网站| 99视频精品全部免费 在线| 日韩欧美精品v在线| 国产成人福利小说| 成人性生交大片免费视频hd| 人妻丰满熟妇av一区二区三区| 九九在线视频观看精品| 99热网站在线观看| 色播亚洲综合网| 又爽又黄无遮挡网站| 中文字幕av在线有码专区| 麻豆久久精品国产亚洲av| 免费av毛片视频| 岛国在线免费视频观看| 老司机午夜福利在线观看视频| 午夜日韩欧美国产| 国产av在哪里看| 国产高清视频在线观看网站| 给我免费播放毛片高清在线观看| 不卡一级毛片| 一进一出好大好爽视频| 中国美女看黄片| 精品日产1卡2卡| 成人永久免费在线观看视频| 亚洲欧美日韩无卡精品| 一个人免费在线观看电影| 熟女人妻精品中文字幕| 久久久久久久久中文| 免费在线观看影片大全网站| 国产精品三级大全| 午夜爱爱视频在线播放| 国产精品电影一区二区三区| 成人av一区二区三区在线看| 床上黄色一级片| 高清毛片免费观看视频网站| 亚洲精品乱码久久久v下载方式| 久久久久免费精品人妻一区二区| 国产精品福利在线免费观看| av在线天堂中文字幕| 国产中年淑女户外野战色| 亚洲欧美日韩高清在线视频| 日本黄大片高清| 久久久久久久久大av| av视频在线观看入口| 色视频www国产| 午夜日韩欧美国产| 欧美日韩精品成人综合77777| 亚洲性夜色夜夜综合| 欧美3d第一页| 亚洲av五月六月丁香网| 99久久精品热视频| 国产亚洲av嫩草精品影院| 久久99热6这里只有精品| 国产伦精品一区二区三区四那| 又爽又黄a免费视频| 欧美潮喷喷水| 99精品在免费线老司机午夜| 欧美成人免费av一区二区三区| 美女 人体艺术 gogo| 亚洲专区中文字幕在线| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 国产av在哪里看| 香蕉av资源在线| 国产精品日韩av在线免费观看| 哪里可以看免费的av片| 国产一区二区三区在线臀色熟女| 乱人视频在线观看| 深爱激情五月婷婷| 中国美女看黄片| 亚洲人成伊人成综合网2020| 国产精品久久久久久久久免| 久久精品国产鲁丝片午夜精品 | 亚洲中文日韩欧美视频| 国产精品乱码一区二三区的特点| 在线a可以看的网站| 日本五十路高清| 听说在线观看完整版免费高清| 国产日本99.免费观看| netflix在线观看网站| 亚洲精品一区av在线观看| 国产乱人视频| 亚洲成人久久性| av视频在线观看入口| av在线天堂中文字幕| 国模一区二区三区四区视频| 99精品久久久久人妻精品| 一卡2卡三卡四卡精品乱码亚洲| 亚洲在线自拍视频| 国产欧美日韩精品一区二区| 亚洲av五月六月丁香网| 国产亚洲精品久久久久久毛片| 国产男靠女视频免费网站| 成人国产麻豆网| 狂野欧美激情性xxxx在线观看| 欧美一区二区亚洲| 久久午夜福利片| 亚洲成人久久性| 九九在线视频观看精品| 少妇的逼好多水| 久久精品国产亚洲网站| 成人国产综合亚洲| 日韩欧美三级三区| 夜夜夜夜夜久久久久| 欧美日韩国产亚洲二区| 国产主播在线观看一区二区| 国产淫片久久久久久久久| 日韩一区二区视频免费看| 色吧在线观看| 最新在线观看一区二区三区| 欧美最新免费一区二区三区| 88av欧美| 国产精品,欧美在线| 一区二区三区免费毛片| 精品一区二区三区av网在线观看| 亚洲成人免费电影在线观看| 听说在线观看完整版免费高清| 欧美另类亚洲清纯唯美| 国产爱豆传媒在线观看| 国产高清有码在线观看视频| 天堂影院成人在线观看| 国产爱豆传媒在线观看| 免费看美女性在线毛片视频| 国产视频内射| 小说图片视频综合网站| 久久久久久久午夜电影| 国产麻豆成人av免费视频| 一本精品99久久精品77| 午夜精品一区二区三区免费看| 狂野欧美激情性xxxx在线观看| 免费高清视频大片| АⅤ资源中文在线天堂| 国产精品久久视频播放| 国产视频内射| 亚洲av中文字字幕乱码综合| 国产极品精品免费视频能看的| 美女免费视频网站| 少妇的逼好多水| 免费观看的影片在线观看| 欧美另类亚洲清纯唯美| 欧美绝顶高潮抽搐喷水| 99国产极品粉嫩在线观看| 欧美精品国产亚洲| 一区二区三区免费毛片| 一卡2卡三卡四卡精品乱码亚洲| 亚洲无线观看免费| ponron亚洲| 亚州av有码| 最后的刺客免费高清国语| 女的被弄到高潮叫床怎么办 | 国产一区二区在线观看日韩| 在线观看美女被高潮喷水网站| 最近在线观看免费完整版| 亚洲国产精品久久男人天堂| 国产探花极品一区二区| 2021天堂中文幕一二区在线观| 十八禁网站免费在线| 一边摸一边抽搐一进一小说| 亚洲不卡免费看| 日本熟妇午夜| 色在线成人网| 国产精品爽爽va在线观看网站| 国产精品一区www在线观看 | 88av欧美| 一本久久中文字幕| 女的被弄到高潮叫床怎么办 | 69人妻影院| 97超级碰碰碰精品色视频在线观看| 欧美潮喷喷水| 成人毛片a级毛片在线播放| 99热只有精品国产| 午夜福利在线观看吧| 一卡2卡三卡四卡精品乱码亚洲| 久久精品国产亚洲av涩爱 | 乱码一卡2卡4卡精品| 老司机深夜福利视频在线观看| 国产一区二区三区视频了| 欧美日本亚洲视频在线播放| 国产成人福利小说| 日韩亚洲欧美综合| 久久久久精品国产欧美久久久| 不卡视频在线观看欧美| 又紧又爽又黄一区二区| 日韩一本色道免费dvd| 嫩草影视91久久| 久久欧美精品欧美久久欧美| 国产精品免费一区二区三区在线| 校园人妻丝袜中文字幕| 精品人妻熟女av久视频| 亚洲图色成人| .国产精品久久| 日韩中字成人| 听说在线观看完整版免费高清| 1024手机看黄色片| 国产在视频线在精品| 国产乱人伦免费视频| av中文乱码字幕在线| 久久久久久大精品| 国内精品宾馆在线| 一本精品99久久精品77| 日本成人三级电影网站| 久久婷婷人人爽人人干人人爱| 国内毛片毛片毛片毛片毛片| 午夜精品在线福利| 色哟哟·www| 露出奶头的视频| 色综合站精品国产| 亚洲精品色激情综合| 69人妻影院| 91精品国产九色| 久久久久久久久久成人| 精品人妻偷拍中文字幕| 国产一区二区激情短视频| 久久午夜亚洲精品久久| 国产大屁股一区二区在线视频| 欧美日韩瑟瑟在线播放| 亚洲自拍偷在线| 国产精品自产拍在线观看55亚洲| 99热6这里只有精品| 联通29元200g的流量卡| 亚洲自拍偷在线| 午夜精品在线福利| 亚洲经典国产精华液单| 午夜亚洲福利在线播放| 人妻丰满熟妇av一区二区三区| 极品教师在线视频| 老熟妇仑乱视频hdxx| 日本爱情动作片www.在线观看 | 一个人看的www免费观看视频| 亚洲精品粉嫩美女一区| 亚洲男人的天堂狠狠| 91久久精品电影网| 日本 欧美在线| 亚洲午夜理论影院| 国产精品一区二区三区四区久久| 国产精品永久免费网站| 欧美日本亚洲视频在线播放| 熟女人妻精品中文字幕| 国产一区二区三区视频了| 99久久无色码亚洲精品果冻| 尾随美女入室| 国产黄a三级三级三级人| 免费黄网站久久成人精品| 日韩一本色道免费dvd| 一边摸一边抽搐一进一小说| 欧美绝顶高潮抽搐喷水| 久久久精品欧美日韩精品| 久久人妻av系列| 国产 一区精品| 可以在线观看的亚洲视频| 成年版毛片免费区| а√天堂www在线а√下载| 国产伦精品一区二区三区四那| 久久99热这里只有精品18| 亚洲欧美激情综合另类| 一进一出抽搐gif免费好疼| 免费搜索国产男女视频| 熟妇人妻久久中文字幕3abv| 久久人人爽人人爽人人片va| 精品人妻一区二区三区麻豆 | 国产精品,欧美在线| 国产精品伦人一区二区| 成人毛片a级毛片在线播放| 国产成人影院久久av| 日本熟妇午夜| 乱人视频在线观看| 18+在线观看网站| 精品午夜福利在线看| 校园春色视频在线观看| 97人妻精品一区二区三区麻豆| 美女 人体艺术 gogo| 精品一区二区三区人妻视频| 国产成人影院久久av| 欧美不卡视频在线免费观看| 欧美zozozo另类| 午夜日韩欧美国产| or卡值多少钱| 91在线观看av| 嫩草影院精品99| 免费一级毛片在线播放高清视频| 精品久久国产蜜桃| 亚洲三级黄色毛片| 长腿黑丝高跟| 亚洲在线自拍视频| 欧美精品国产亚洲| 联通29元200g的流量卡| 免费不卡的大黄色大毛片视频在线观看 | 99热6这里只有精品| 不卡一级毛片| 1024手机看黄色片| 国内精品美女久久久久久| 天天躁日日操中文字幕| 成年版毛片免费区| 亚洲黑人精品在线| 欧美不卡视频在线免费观看| 嫩草影院新地址| 免费av观看视频| 国产精品一区二区三区四区久久| 国产精品一区二区免费欧美| 精品乱码久久久久久99久播| 黄色丝袜av网址大全| 97人妻精品一区二区三区麻豆| 国产视频内射| 亚洲精品一区av在线观看| 人妻少妇偷人精品九色| 动漫黄色视频在线观看| 免费看美女性在线毛片视频| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 免费av毛片视频| 简卡轻食公司| 国产精品98久久久久久宅男小说| 欧美成人一区二区免费高清观看| 亚洲经典国产精华液单| 色精品久久人妻99蜜桃| 黄片wwwwww| 成人无遮挡网站| 婷婷精品国产亚洲av| 精品免费久久久久久久清纯| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久| 久久久精品欧美日韩精品| 国产av麻豆久久久久久久| 天堂动漫精品| 精品久久久久久久久久免费视频| 高清日韩中文字幕在线| 国产综合懂色| 亚洲综合色惰| 国产综合懂色| 亚洲精品色激情综合| 最新在线观看一区二区三区| 色综合婷婷激情| 欧美中文日本在线观看视频| 免费av不卡在线播放| 女生性感内裤真人,穿戴方法视频| 可以在线观看的亚洲视频| 亚洲,欧美,日韩| АⅤ资源中文在线天堂| 美女cb高潮喷水在线观看| 国产激情偷乱视频一区二区| 中文亚洲av片在线观看爽| 国产欧美日韩精品亚洲av| 特大巨黑吊av在线直播| 欧美日韩国产亚洲二区| 亚洲内射少妇av| 欧洲精品卡2卡3卡4卡5卡区| 91午夜精品亚洲一区二区三区 | 欧美另类亚洲清纯唯美| 午夜精品在线福利| 九九爱精品视频在线观看| 人人妻,人人澡人人爽秒播| 欧美黑人巨大hd| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 国产真实乱freesex| 国产在视频线在精品| 又粗又爽又猛毛片免费看| 观看美女的网站| 国产 一区 欧美 日韩| 亚洲精品在线观看二区| 中亚洲国语对白在线视频| 日韩在线高清观看一区二区三区 | av在线天堂中文字幕| 国产 一区 欧美 日韩| 国产不卡一卡二| 午夜激情欧美在线| 三级男女做爰猛烈吃奶摸视频| 国产一区二区三区在线臀色熟女| 又爽又黄a免费视频| 国产三级在线视频| 午夜精品在线福利| 欧美精品啪啪一区二区三区| 亚洲内射少妇av| 亚洲精品乱码久久久v下载方式| 亚洲精品在线观看二区| 高清毛片免费观看视频网站| 伦精品一区二区三区| 日日撸夜夜添| 如何舔出高潮| 亚洲精品一区av在线观看| 午夜福利视频1000在线观看| 国产亚洲精品综合一区在线观看| 欧美一区二区亚洲| 黄色配什么色好看| 毛片一级片免费看久久久久 | 国产v大片淫在线免费观看| 日本与韩国留学比较| 老司机午夜福利在线观看视频| 男人舔女人下体高潮全视频| 国产综合懂色| 久久久久久国产a免费观看| 中文字幕av在线有码专区| 噜噜噜噜噜久久久久久91| 日韩欧美在线乱码| 在线观看美女被高潮喷水网站| 看免费成人av毛片| 在线观看午夜福利视频| 我的老师免费观看完整版| 热99re8久久精品国产| 成人国产一区最新在线观看| 免费看av在线观看网站| 午夜a级毛片| 精品久久久久久成人av| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 亚洲在线观看片| 色综合站精品国产| 特级一级黄色大片| 性插视频无遮挡在线免费观看| 波野结衣二区三区在线| 高清毛片免费观看视频网站| 中文字幕av成人在线电影| 麻豆精品久久久久久蜜桃| 国产 一区精品| 亚洲久久久久久中文字幕| 他把我摸到了高潮在线观看| 成人综合一区亚洲| 极品教师在线免费播放| 日韩,欧美,国产一区二区三区 | 日本免费一区二区三区高清不卡| 亚洲成a人片在线一区二区| 成人三级黄色视频| 亚洲国产精品久久男人天堂| 黄片wwwwww| 精品久久久久久久久久久久久| 亚洲av免费在线观看| 国产欧美日韩精品一区二区| 免费看美女性在线毛片视频| 白带黄色成豆腐渣| 国内精品宾馆在线| 欧美又色又爽又黄视频| 成熟少妇高潮喷水视频| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 欧美最黄视频在线播放免费| 久久久精品欧美日韩精品| 老司机深夜福利视频在线观看| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放| 欧美日韩综合久久久久久 | 三级男女做爰猛烈吃奶摸视频| 99久久精品国产国产毛片| 国产极品精品免费视频能看的| 级片在线观看| 亚洲综合色惰| 啦啦啦韩国在线观看视频| 久久久精品欧美日韩精品| 日韩国内少妇激情av| 国产精品久久久久久av不卡| 亚洲中文字幕日韩| 国产麻豆成人av免费视频| 国产 一区精品| 尤物成人国产欧美一区二区三区| 天堂√8在线中文| 在线播放无遮挡| 一个人观看的视频www高清免费观看| av天堂中文字幕网| 成人性生交大片免费视频hd| 亚洲精品亚洲一区二区| 欧美3d第一页| 美女黄网站色视频| 精品久久久久久久久久免费视频| 黄色视频,在线免费观看| 国产乱人伦免费视频| 好男人在线观看高清免费视频| 2021天堂中文幕一二区在线观| 久久精品国产亚洲av天美| 亚洲av成人av| 亚洲欧美日韩东京热| 最后的刺客免费高清国语| 亚洲 国产 在线| 成人亚洲精品av一区二区| 亚洲18禁久久av| 国产伦一二天堂av在线观看| a在线观看视频网站| 国产爱豆传媒在线观看| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看| 亚洲av美国av| 在线播放无遮挡| 色精品久久人妻99蜜桃| 又粗又爽又猛毛片免费看| 亚洲avbb在线观看| 国产一区二区激情短视频| 看免费成人av毛片| 麻豆国产av国片精品| av天堂在线播放| 精品久久久久久成人av| 色哟哟·www| 国产毛片a区久久久久| 高清毛片免费观看视频网站| 久久久久久九九精品二区国产| 又爽又黄无遮挡网站| 亚洲综合色惰| 91在线观看av| 俺也久久电影网| 日本五十路高清| 久久久久精品国产欧美久久久| 丰满乱子伦码专区| 白带黄色成豆腐渣| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 一a级毛片在线观看| 联通29元200g的流量卡| 女人十人毛片免费观看3o分钟| 我的老师免费观看完整版| 99久国产av精品| 欧美精品国产亚洲| 又黄又爽又免费观看的视频| 国产人妻一区二区三区在| 精品久久久久久久久亚洲 | 男女之事视频高清在线观看| 国产一区二区三区视频了| 亚洲精品456在线播放app | 日日摸夜夜添夜夜添av毛片 | 日日啪夜夜撸| 日本在线视频免费播放| 噜噜噜噜噜久久久久久91| 麻豆成人av在线观看| 在线看三级毛片| 国产精品久久久久久精品电影| 精品久久久久久久人妻蜜臀av| 欧美成人a在线观看| 此物有八面人人有两片| 亚洲天堂国产精品一区在线| 18禁在线播放成人免费| 夜夜看夜夜爽夜夜摸| 免费看av在线观看网站| 欧美精品国产亚洲| 99久久九九国产精品国产免费| 午夜爱爱视频在线播放| 国产高清激情床上av| 赤兔流量卡办理| 亚洲精品影视一区二区三区av| 国产精品久久久久久亚洲av鲁大| 尤物成人国产欧美一区二区三区| 俄罗斯特黄特色一大片| 国产熟女欧美一区二区| 色视频www国产| 日本精品一区二区三区蜜桃| 久久久久国产精品人妻aⅴ院| 好男人在线观看高清免费视频| 免费高清视频大片| 精品一区二区三区av网在线观看| 老司机深夜福利视频在线观看| 欧美黑人巨大hd| 特级一级黄色大片| 亚洲无线在线观看| 最近最新中文字幕大全电影3| 五月伊人婷婷丁香| 亚洲成a人片在线一区二区| 国产午夜精品久久久久久一区二区三区 | bbb黄色大片| 国产精品综合久久久久久久免费| 99久久精品国产国产毛片| 亚洲专区国产一区二区| 国产精品女同一区二区软件 | av国产免费在线观看| aaaaa片日本免费| 欧美+亚洲+日韩+国产| 精品一区二区三区视频在线| 成人毛片a级毛片在线播放| 免费观看的影片在线观看| 一进一出抽搐gif免费好疼| 国产亚洲av嫩草精品影院| 三级国产精品欧美在线观看| 色精品久久人妻99蜜桃| 婷婷精品国产亚洲av| 日韩高清综合在线| 天天一区二区日本电影三级| 俺也久久电影网| 老熟妇仑乱视频hdxx| 国产av一区在线观看免费| 欧美精品国产亚洲| 国产精品1区2区在线观看.| 日本黄色片子视频| 亚洲内射少妇av| 欧美日韩综合久久久久久 | 99久久久亚洲精品蜜臀av| 精品久久久久久成人av| 国产精品人妻久久久影院| 看十八女毛片水多多多| 色视频www国产| 国产蜜桃级精品一区二区三区| 亚洲,欧美,日韩| 男女视频在线观看网站免费| 日日啪夜夜撸| 久久久久久久亚洲中文字幕| 欧美一区二区国产精品久久精品| 女同久久另类99精品国产91| 久9热在线精品视频| 丰满的人妻完整版| 亚洲精品乱码久久久v下载方式| 俄罗斯特黄特色一大片| 老司机福利观看| 精品乱码久久久久久99久播| 亚洲欧美日韩东京热|