泛灰數(shù)學(xué)在機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差分析中的應(yīng)用

潘澤源

（江蘇省宜興中學(xué)，江蘇 宜興 214206）

0 引言

泛灰數(shù)學(xué)在機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差分析中的應(yīng)用，為實(shí)際的誤差分析提供了新方法與新理論，可以有效的滿足當(dāng)前時(shí)代的需求，具有較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。例如，在機(jī)器人的手臂設(shè)計(jì)過程中，設(shè)計(jì)人員除了對相關(guān)的桿件、關(guān)節(jié)等原理與構(gòu)造進(jìn)行設(shè)計(jì)外，還需要結(jié)合設(shè)計(jì)的實(shí)際需求，對各桿件與關(guān)節(jié)的精度進(jìn)行測量，以滿足實(shí)際的設(shè)計(jì)需求。

1 泛灰數(shù)學(xué)分析

1.1 泛灰數(shù)學(xué)的發(fā)展

區(qū)間分析又被人們稱為區(qū)間數(shù)學(xué)，其最早的應(yīng)用目的是對相關(guān)的誤差進(jìn)行分析研究，以保證明確其誤差的大小，在實(shí)際的運(yùn)算過程中，相同的自變量受運(yùn)算次序不同的影響，可能會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)生不同的擴(kuò)展區(qū)間。例如，張紀(jì)元在對機(jī)械誤差進(jìn)行分析時(shí)，靈活利用三角函數(shù)的單調(diào)性，通過擴(kuò)展進(jìn)行區(qū)間法分析，但在實(shí)際的分析過程中，利用區(qū)間分析法可能出現(xiàn)誤差區(qū)間出現(xiàn)超差情況，誤差區(qū)間范圍過大，直接影響分析結(jié)果?；诖?，通過不斷的完善與創(chuàng)新，灰色系統(tǒng)理論概念被提出，標(biāo)志著一門嶄新的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的發(fā)展，同時(shí)，相對應(yīng)的“灰集合”概念逐漸衍生，區(qū)間灰數(shù)的運(yùn)算法則逐漸明確。在實(shí)際的運(yùn)算過程中，灰運(yùn)算與區(qū)間數(shù)學(xué)具有相同的特性，部分代數(shù)性質(zhì)難以表現(xiàn)，因此，泛灰數(shù)學(xué)概念逐漸提出，為機(jī)器人機(jī)構(gòu)的誤差分析奠定良好的基礎(chǔ)。

1.2 泛灰數(shù)學(xué)概念

當(dāng)前，人們將泛灰數(shù)學(xué)定義為：設(shè)論域U=R,R為實(shí)數(shù)集，則將R上的泛灰集成為泛灰數(shù)集，并將其有效的記為 g(R)，同時(shí)，稱 g(R)中的相關(guān)元素為灰數(shù)集，記作：g=(x,?μ1,μ2?）,x∈R,μ,μ∈R①，在①中，x 值代表觀測值，?μ,μ? 代表灰信息部， 并將 g(0)=(0,?0,0?)稱為 g(R)中的零元，將 g(1)=(1,?1,1?)稱為g(R)中的單位元。同時(shí)，如果觀測部為零，則將灰信息部中的不為零的泛灰數(shù)集記為 g(0)′,并稱為亞零元，并且，將零元與亞零元統(tǒng)稱為泛零元，記為 g(0)′′。以泛灰數(shù)學(xué)的概念為基礎(chǔ)，逐漸對泛灰的除法與加法運(yùn)算進(jìn)行定義，同時(shí)，利用加法運(yùn)算定義與負(fù)元定義對減法進(jìn)行定義，利用相關(guān)的逆元定義進(jìn)行除法運(yùn)算定義，同時(shí)，明確各運(yùn)算定義的規(guī)律性，例如，泛灰加法運(yùn)算定律可以滿足交換律與結(jié)合律，具有封閉性特點(diǎn)，且存在唯一的零元；泛灰乘法運(yùn)算定律與加法定律相同，同時(shí)還可以滿足分配率。

1.3 區(qū)間灰數(shù)與泛灰數(shù)的轉(zhuǎn)化分析

以泛灰數(shù)的定義為基礎(chǔ)，在實(shí)際的運(yùn)算應(yīng)用過程中，可以將實(shí)際的泛灰數(shù)中(x,?μ1,μ2?)中的 μ看作為數(shù)值x的最高或者最低的信任程度，以實(shí)際的數(shù)字為例，例如，μ1=0.5，μ2=0.7，則可以明確 x的可信值在0.5x與0.7x之間，并用區(qū)間數(shù)進(jìn)行合理的表示，表示為[0.5x，0.7x]。同時(shí)，應(yīng)對 μ的范圍進(jìn)行有效的限制，μ∈[-1,1]。 同時(shí)，當(dāng) A[a,b]∈I(R)時(shí)，其數(shù)值均可以利用合理的泛灰數(shù)進(jìn)行表示：(x,?μ,μ?)表示，例如，以實(shí)際的數(shù)值為例，主要分為四種：

第 一種，當(dāng) a＞0 時(shí),存在[a,b]=(b,?a/b,1?)，如實(shí)際數(shù)值的區(qū)間灰數(shù)：[1,2]=(2,?0.5,1?)。

第二種，當(dāng) ab＜0時(shí),并且 max{a,b}=b時(shí),存在[a,b]=(b,?a/b,1?)情況，如實(shí)際的數(shù)值區(qū)間灰數(shù)：[-1,2],由此可知，此時(shí)的 a=-1,b=2,而 max{-1,2}=2,ab=-2,則 可 以 得 出[-1,2]=(2,?0.5,1?)。

第三種，當(dāng) ab＜0時(shí),并且 max{a,b}=a時(shí),存在[a,b]=(a,?b/a,1?)情況，如實(shí)際的數(shù)值區(qū)間灰數(shù)：[-2,1],由此可知，此時(shí)的 a=-2,b=1,而 max{-2,1}=2,ab=-2＜0,則可以 得 出[-2,1]=(-2,?-0.5,1?)。

第四種，當(dāng) b＜0 時(shí),存在[a,b]=(a,?b/a,1?)，入實(shí)際的數(shù)值區(qū)間灰數(shù)：[-2,-1],由此可知，此時(shí)的a=-2,b=-1＜0,則可以得 出[-2,-1]=(-2,?-0.5,1?)。

通過上述的泛灰數(shù)與區(qū)間灰數(shù)的轉(zhuǎn)化可知，以相關(guān)的函數(shù)為基礎(chǔ)，在實(shí)際的運(yùn)算過程中，只要將區(qū)間灰數(shù)進(jìn)行合理的輸入，利用該函數(shù)就可以求出相對應(yīng)的泛灰數(shù)，以滿足實(shí)際的運(yùn)算需求。

1.4 對泛灰函數(shù)的區(qū)間分析功能進(jìn)行分析

泛灰數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，屬于實(shí)數(shù)的推廣，在推廣應(yīng)用過程中，泛灰函數(shù)保留了相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)，與區(qū)間數(shù)學(xué)相對比，具有明顯的優(yōu)勢，例如，具備區(qū)間分析功能優(yōu)勢，利用該功能優(yōu)勢，解決運(yùn)算過程中遇到的問題。

2 泛灰運(yùn)算軟件開發(fā)分析

MATLAB屬于數(shù)學(xué)軟件，以矩陣運(yùn)算的快速解釋程序?yàn)楹诵模趯?shí)際的應(yīng)用過程中，利用交互的方式，對用戶的各種指令進(jìn)行合理的分析，并輸出明確的結(jié)果。泛灰運(yùn)算軟件的應(yīng)用，為實(shí)際的分析提供了良好的集成開放環(huán)境，用戶在使用過程中，可以進(jìn)行大量的系統(tǒng)命令，例如，命令繪圖、進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算等。實(shí)際上，MATLAB提供了數(shù)量較多的工具箱，幫助工作人員進(jìn)行合理的問題處理，并利用其解決實(shí)際問題，靈活利用技術(shù)資源，以滿足當(dāng)前的實(shí)際需求。因此，以現(xiàn)階段的泛灰數(shù)學(xué)為原理，以實(shí)際的，MATLAB為基礎(chǔ)，進(jìn)行技術(shù)開發(fā)，開發(fā)出符合當(dāng)前需求的泛灰運(yùn)算工具箱。在實(shí)際的技術(shù)開發(fā)過程中，其主要的開發(fā)思維是以泛灰運(yùn)算、區(qū)間灰數(shù)以及泛灰轉(zhuǎn)化為依據(jù)，進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，編制成完善的M文件，并建立合理的子文件，開發(fā)出合理的泛灰運(yùn)算軟件，以滿足當(dāng)前實(shí)際的需求。

3 泛灰數(shù)學(xué)在機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差分析中的應(yīng)用

以PUMA型機(jī)器人為基礎(chǔ)，進(jìn)行合理的誤差設(shè)計(jì)分析，在實(shí)際的設(shè)計(jì)過程中，首先要求機(jī)器人設(shè)計(jì)任務(wù)符合執(zhí)行功能的精度要求，利用合理的尺寸鏈達(dá)到精度目標(biāo)，以此來保證機(jī)器人的精度符合標(biāo)準(zhǔn)。

3.1 明確機(jī)器人機(jī)構(gòu)的泛灰誤差分析整體步驟

3.1.1 方程建立

在實(shí)際的分析過程中，需要分析人員結(jié)合實(shí)際研究情況建立完善的位置方程，設(shè)方程為f(q,l,x)=0,并且變化矩陣d(q,l,x)=0,在方程中，q為輸入運(yùn)動(dòng)參數(shù)已知量，l則為機(jī)構(gòu)參數(shù)；x為實(shí)際的待定輸出構(gòu)件位置參數(shù)數(shù)值， 其中，q0、l0以及x0均為理想狀態(tài)下的機(jī)構(gòu)位置數(shù)值。

3.1.2 泛灰的拓展

在運(yùn)算分析過程中，將方程中的三個(gè)數(shù)值分別進(jìn)行假設(shè)，例如，設(shè)方程 f中 q,l,x分別為 A,X,Y,由此可知向量值函數(shù) f1（q,l）在 A、X中的泛灰拓展數(shù)值為 F1(A,X,Y)=0，并且其變換矩陣為 D(A,X,Y),因此，利用合理的泛灰軟件進(jìn)行合理的運(yùn)算，并求出相對應(yīng)的解。

3.2 對PUMA機(jī)器人機(jī)構(gòu)的誤差進(jìn)行分析

3.2.1 誤差分析

在PUMA機(jī)器人機(jī)構(gòu)中，利用現(xiàn)階段的矩陣描述方法進(jìn)行合理的變換矩建立，首先將機(jī)器人的桿件的進(jìn)行合理的劃分，并按照順序進(jìn)行排序，以第一個(gè)桿件為基礎(chǔ)，記為i,并以此類推。 此時(shí)可以有效的得出 Ai的數(shù)值：[cosθisinθicosαisinθisinαiαicosθi]， [sinθicosθicosαi-cosθisinαiαisinθi][0sinαicosαidi][0001]。在 數(shù) 值 中 ，θi主 要 是 指 xi圍 繞 zi軸 進(jìn)行合理的旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到一定的角度時(shí)，xi與xi+1重合時(shí)旋轉(zhuǎn)的總角度值。di是指按照zi的方向進(jìn)行合理的旋轉(zhuǎn)， 代表從i標(biāo)架原點(diǎn)Oi至zi與xi+1的交點(diǎn)間的距角度數(shù)值，而ai是指按照xi方向進(jìn)行合理的旋轉(zhuǎn)，代表zi與xi+1的交點(diǎn)i的標(biāo)架原點(diǎn)Oi的距角數(shù)值，αi是指繞xi軸進(jìn)行合理的旋轉(zhuǎn)，從zi到zi+1的角度數(shù)值，在實(shí)際的旋轉(zhuǎn)過程中，其角度的方向依據(jù)右手定則原則進(jìn)行規(guī)定。在實(shí)際的運(yùn)算過程中，利用上述Ai的數(shù)值進(jìn)行求解，有效的求出機(jī)器人手臂的變換矩陣數(shù)值，并將其記為Tn,由此可知，案例PUMA機(jī)器人的手臂變換矩陣數(shù)值等于 T6=T1T2T3T4T5T6=[nxOxaxpx][nyoyaypy][nzozazpz][0001],并且由此可知，其矩陣的數(shù)值為[nxOxax][nyoyay][nzozaz]，該數(shù)據(jù)值表示為機(jī)器人手臂末端的支架的姿勢，而實(shí)際的向量數(shù)值[px][py][pz]則表示機(jī)器人手臂末端標(biāo)架原點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)值，通過對機(jī)器人手臂變換矩陣數(shù)值進(jìn)行有效的計(jì)算，明確相關(guān)的數(shù)據(jù)均為泛灰數(shù)，并且，將計(jì)算過程中涉及的常數(shù)也作為泛灰數(shù)值，通常情況下，作為一種特殊的泛灰數(shù)值處理。

3.2.2 參數(shù)分析

實(shí)際上，PUMA機(jī)器人存在大量的基本參數(shù)，其主要參數(shù)包括輸入?yún)?shù)矩陣、機(jī)器人姿勢誤差以及機(jī)器人手臂末端標(biāo)架的位置參數(shù)等。在計(jì)算過程中，計(jì)算人員通常將上述參數(shù)表示為區(qū)間參數(shù)，通過相應(yīng)的軟件程序，進(jìn)行自動(dòng)的計(jì)算與輸入，完成輸入后，輸出實(shí)際的參數(shù)值，并進(jìn)行合理的表示。上述過程的主要目的是對實(shí)際存在的單獨(dú)誤差進(jìn)行合理的考察，并分析由單獨(dú)誤差引起的實(shí)際姿勢誤差與末端標(biāo)架位置誤差，為后續(xù)的分析提供參考依據(jù)，合理進(jìn)行平行度誤差與垂直誤差數(shù)據(jù)的選擇，保證分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。通過有效的實(shí)踐，可以明確該驗(yàn)證分析方法的時(shí)效性與準(zhǔn)確性，例如，在實(shí)際的誤差分析過程中，將相關(guān)的基本參數(shù)與誤差進(jìn)行結(jié)合，并將其表示為區(qū)間數(shù)，通過運(yùn)用合理的泛灰數(shù)，可以高效的計(jì)算出各參數(shù)的實(shí)際區(qū)間表示，此時(shí)分析人員可以以實(shí)際的區(qū)間表示為依據(jù)，明確各誤差與各尺寸對實(shí)際的各個(gè)輸出參數(shù)的影響情況，以滿足實(shí)際的機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差分析需求。靈活應(yīng)用現(xiàn)有的泛灰運(yùn)算工具箱，在已知各參數(shù)驗(yàn)算輸出參數(shù)的誤差是否滿足實(shí)際的誤差需求，還可以對各個(gè)輸入?yún)?shù)的實(shí)際誤差進(jìn)行分析，并分析該參數(shù)誤差對輸出參數(shù)的實(shí)際影響，從根本上確定各參數(shù)的公差與偏差。

4 結(jié)論

綜上所述，泛灰數(shù)學(xué)在機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差分析中的應(yīng)用，為機(jī)器人機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)誤差分析提供了新方式，并利用泛灰數(shù)學(xué)自身的性質(zhì)特點(diǎn)與優(yōu)勢，將分析的整體步驟進(jìn)行簡單化，保證分析結(jié)果的直觀性與可靠性，提升分析效率。泛灰數(shù)學(xué)在機(jī)器人誤差分析、靈敏度分析以及復(fù)雜機(jī)構(gòu)分析中具有廣闊的應(yīng)用前景，符合當(dāng)前時(shí)代的要求。

［1］祁力群.區(qū)間分析[J].運(yùn)籌學(xué)雜志,1982,(1):151-156.

［2］張紀(jì)元,沈守范.計(jì)算機(jī)構(gòu)學(xué)[M].北京:國防工業(yè)出版社,1996.