初中數(shù)學(xué)兩個疑難點初探

張耀陽

摘 要：七年級上半學(xué)期，都是教學(xué)生有理數(shù)的運(yùn)算，其中包括五種運(yùn)算：加、減、乘、除、乘方。這幾種運(yùn)算中，又以加減法最為基礎(chǔ)，最難掌握；在課堂教學(xué)中，不是靠文史類的機(jī)械背誦，而是在法則的制約下，在法則熟透于心后，啟發(fā)學(xué)生用自己的思維方法理解加減法法則的內(nèi)在意義，依靠靈動思維解決問題。從而將有理數(shù)的加減法的一百多字的法則總結(jié)為六個字，那就是——“取大，同加異減”。

關(guān)鍵詞：法則；“取大，同加異減”；口訣；零點分段討論

一、有理數(shù)加減法法則新詮釋——“六字”法則

數(shù)學(xué)學(xué)科中，七年級新生一開始面對的就是有理數(shù)的認(rèn)識與有理數(shù)的運(yùn)算。有理數(shù)的認(rèn)識，只需通過列舉生活中相反意義的量，便可以很快認(rèn)識負(fù)數(shù)，進(jìn)而較為全面地認(rèn)識有理數(shù)。而有理數(shù)的運(yùn)算卻不是一蹴而就的，將近半個學(xué)期都是教學(xué)生有理數(shù)的運(yùn)算，其中包括五種運(yùn)算：加、減、乘、除、乘方。這幾種運(yùn)算中，又以加減法最為基礎(chǔ)、最難掌握。對有理數(shù)的加減法，是建立在一定法則之上，僅靠盲目的死記硬背來應(yīng)對冗長的加減法法則，是不可取的。因此，我在課堂教學(xué)中，不是靠文史類的機(jī)械背誦，而是在法則的制約下，在法則稔熟于心后，啟發(fā)學(xué)生用自己的思維方法理解加減法法則的內(nèi)在意義，依靠靈動思維解決問題。從而將有理數(shù)的加減法的一百多字的法則總結(jié)為六個字，那就是——“取大，同加異減”。詮釋如下：

用法則之前，我們最好將兩數(shù)相加減先寫成代數(shù)和的形式（這點很重要），然后有理數(shù)的加減法法則可以總結(jié)為：

兩數(shù)相加，取絕對值較大加數(shù)的符號作為和的符號，并將兩個加數(shù)的絕對值相加作為和的絕對值（兩數(shù)同號時），或?qū)⒔^對值相減作為和的絕對值（兩數(shù)異號時）。簡稱“取大，同加異減”。

例1.計算：（1）-10+8=-（10-8）=-2

分析：按法則，取大，因為兩加數(shù)-10和+8中，-10的絕對值大，故和的符號取“-”號；同加異減，因為是異號兩數(shù)的和，所以用較大的絕對值10減去較小的絕對值8，可得結(jié)果為-2。

（2）-5-7=-（7+5）=-12

分析：按法則，取大，因為兩加數(shù)-5和-7中，-7的絕對值大，故和的符號取“-”號；同加異減，因為是同號兩數(shù)的和，所以只需將兩加數(shù)的絕對值5和7加起來，可得結(jié)果為-12。

例2.計算

（1）-5+5=-（5-5）=0

分析：按法則，取大，因為兩加數(shù)-5和+5中，兩加數(shù)的絕對值一樣大，故和的符號取“-”號或“+”號均可；同加異減，因為是異號兩數(shù)的和，而且兩加數(shù)的絕對值均為5，絕對值相減可得結(jié)果為0。

（2）0+（-10）=-（10-0）=-10

分析：按法則，取大，因為兩加數(shù)0和-10中，-10的絕對值大，故和的符號取“-”號；同加異減，因為是異號兩數(shù)的和，所以用較大的絕對值10減去較小的絕對值0，可得結(jié)果為-10。

二、絕對值及其化簡

1.絕對值的幾何意義：一個數(shù)a的絕對值是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離。數(shù)a的絕對值記作a。

2.絕對值的代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。

3.絕對值的性質(zhì)：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0；絕對值具有非負(fù)性，取絕對值的結(jié)果總是正數(shù)或0；字母a的絕對值表示如下：

aa（a≥0）-a（a<0）或者aa（a>0）-a（a≤0）

（一）如何利用數(shù)形結(jié)合思想解決絕對值化簡問題，本人總結(jié)的口訣是：“絕對值，變括號，正本身，負(fù)相反”。

例1：實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如下圖所示，則代數(shù)式a-a+b+c-a+b-c是下列哪一個選項。

（A）-a （B）2a-2b （C）2c-a （D）a

解析：由上圖容易看出，a<0，a+b<0，c-a>0，b-c<0，這就為去掉絕對值號掃清了障礙。

解：a-a+b+c-a+b-c

=（ ）-（ ）+（ ）+（ ）（絕對值，變括號）

=（ -a ）-（ -a-b ）+（ c-a ）+（ c-b ）

理由：（負(fù)相反）（負(fù)相反）（正本身）（負(fù)相反）

=-a+2c ∴應(yīng)選（C）。

歸納總結(jié)：這類型題是把已知條件標(biāo)注在數(shù)軸上，借助數(shù)軸提供的信息讓學(xué)生去觀察，學(xué)生一定要弄清：（1）零點的左邊都是負(fù)數(shù)，右邊都是正數(shù)。（2）右邊點表示的數(shù)總大于左邊點表示的數(shù)。（3）離原點遠(yuǎn)的點的絕對值較大，牢記這幾個要點就能很容易地解決問題了。

（二）采用零點分段討論法

例2：化簡代數(shù)式2x-2-x+4

解析：該題既沒有條件限制，又沒有數(shù)軸信息，要對各種情況分類討論，可采用零點分段討論法，本例的難點在于x-2，x+4的正負(fù)不能確定，由于x是不斷變化的，所以它們?yōu)檎?、為?fù)、為零都有可能，應(yīng)當(dāng)對各種情況一一討論。

解：令x-2=0得零點：x=2；令x+4=0得零點：x=-4，把數(shù)軸上的數(shù)分為三個部分（如下圖）

①當(dāng)x≥2時，x-2≥0，x+4>0，∴原式=2（x-2）-（x+4）=x-8

②當(dāng)-4≤x<2時，x-2<0，x+4≥0，∴原式=-2（x-2）-（x+4）=-3x

③當(dāng)x<-4時，x-2<0，x+4<0，∴原式=-2（x-2）+（x+4）=-x+8

∴2x-2-x+4=-8+x（x≥2）-3x（-4≤x<2）-x+8（x<-4）

歸納總結(jié)：雖然x-2，x+4的正負(fù)不能確定，但在某個具體的區(qū)段內(nèi)都是確定的，這正是零點分段討論法的優(yōu)點，采用此法的一般步驟是：

1.求零點：分別讓各絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式為零，求出零點（不一定是兩個）。

2.分段：第一步求出零點之后，根據(jù)該零點將數(shù)軸上的點劃分為若干個區(qū)段，使在各區(qū)段內(nèi)每個絕對值符號內(nèi)的部分的正負(fù)能夠確定。

3.在各區(qū)段內(nèi)分別考查問題。

4.將各區(qū)段內(nèi)的情形綜合起來，得到最終答案。

編輯 魯翠紅