數(shù)學(xué)“比”的概念教學(xué)思考

葛麗雅

摘 要：數(shù)學(xué)概念的構(gòu)成是抽象的過程，其教學(xué)也是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容。通過分析數(shù)學(xué)中“比”的概念的教學(xué)，可以分析出數(shù)學(xué)概念教學(xué)所揭穿的事物本質(zhì)特征。“比”的教學(xué)通過具體材料做支撐，循序漸進(jìn)地產(chǎn)生概念形成的過程，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生價(jià)值，關(guān)注“比”的本質(zhì)特征，以此提出了教學(xué)的幾點(diǎn)建議。

關(guān)鍵詞：比的認(rèn)識(shí)；經(jīng)驗(yàn)分析；建議

一、比的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)中有“比”這一重要概念，其定義為“兩個(gè)數(shù)相除又叫作兩個(gè)數(shù)的比”，其實(shí)質(zhì)是對(duì)兩個(gè)數(shù)量相比，是對(duì)兩個(gè)數(shù)量間倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)或者度量。一般來說，“比”的定義可以劃為兩層。首先，“比”能夠表示同類量之間的倍數(shù)關(guān)系，例如，某動(dòng)物園中有長(zhǎng)頸鹿10只，老虎6只，可以表達(dá)長(zhǎng)頸鹿和老虎數(shù)量的比是10比6，即5 ∶ 3。同時(shí)，其也能夠表示兩個(gè)不同類量的比，比如，10支圓珠筆20元，可以用“比”來表示總價(jià)與數(shù)量的關(guān)系，表示單價(jià)。

“比”強(qiáng)調(diào)直接描述量之間的倍比關(guān)系，其可以表示兩個(gè)及其以上的量之間的倍比關(guān)系。但與“比”聯(lián)系密切的除法、分?jǐn)?shù)更多的是強(qiáng)調(diào)兩個(gè)量之間的一種運(yùn)算關(guān)系。

（一）透過份數(shù)理解“比”

如“一杯石榴汁需要6個(gè)石榴”指石榴汁的杯數(shù)與石榴的個(gè)數(shù)比是1 ∶ 6，通過比的形式抽象概括出兩個(gè)量的數(shù)量關(guān)系。通過份數(shù)學(xué)習(xí)“比”的概念，將具體與抽象互相轉(zhuǎn)化，具體生活情境既為問題的解決做了鋪墊，也是按比分配問題的一種解題思路。

（二）分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化理解“比”

“書架上第二層書籍量是第一層的1.5倍”，即第二層書籍量是第一層的 ，發(fā)現(xiàn)兩層書籍量的比是3 ∶ 2。結(jié)合分?jǐn)?shù)意義的理解，理清數(shù)量之間的關(guān)系，將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為比的表達(dá)方式。

二、學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的分析

學(xué)生已有的除法和分?jǐn)?shù)知識(shí)基礎(chǔ)為學(xué)習(xí)“比”知識(shí)提供了合理學(xué)習(xí)的鋪墊。

（一）生活中關(guān)于“比”經(jīng)驗(yàn)的積累

生活中，學(xué)生也會(huì)常常遇到與“比”相關(guān)的知識(shí)。比如：

A.班級(jí)里的男、女生之間的人數(shù)比是 。

B.混凝土中沙石、水泥、水的比是 。

C.數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，甲、乙兩隊(duì)的得分之比為 。

以上3種舉例都是對(duì)“比”的正確感知，但是數(shù)學(xué)表達(dá)與生活語言存在一定的沖擊性，如事例C與上面2種的形式相似，學(xué)生無法從本質(zhì)上辨別兩者，無法合理地區(qū)分兩者的意義，生活語言易產(chǎn)生“負(fù)遷移”。

（二）知識(shí)學(xué)習(xí)過程中積累的比經(jīng)驗(yàn)

“比”與分?jǐn)?shù)以及乘除法有一定的聯(lián)系。并且，學(xué)生已掌握的分?jǐn)?shù)、除法概念和意義等知識(shí)，為學(xué)習(xí)“比”提供了知識(shí)基礎(chǔ)。

1.份數(shù)經(jīng)驗(yàn)

在低年級(jí)學(xué)習(xí)倍數(shù)的過程中，學(xué)生可以根據(jù)要求——“按紅卡片是綠卡片的2倍取卡片”列出多種方法，如取紅卡片2張，綠卡片1張；取紅卡片4張，綠卡片2張……從張數(shù)的角度來思考，只要抽取的紅卡片和綠卡片的張數(shù)比為2 ∶ 1，即為符合要求的合理的抽取方式。又如，“紙箱內(nèi)紅卡片是綠卡片的 倍”，從理解或者運(yùn)算的簡(jiǎn)潔性上考慮，大家會(huì)習(xí)慣性地默認(rèn)綠卡片為5份，紅卡片為6份。學(xué)生在類似以上的轉(zhuǎn)化理解的過程中，可以體會(huì)到“比”的意義。

2.除法概念經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)除法、分?jǐn)?shù)等知識(shí)，并且分?jǐn)?shù)、除法與比之間有著密切的聯(lián)系，因此應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)類比和推理。例如，“汽車1小時(shí)內(nèi)勻速行駛100千米，3小時(shí)勻速行駛300千米……”此題我們可以利用“路程÷時(shí)間=速度”的關(guān)系式研究路程與時(shí)間之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)路程與時(shí)間的比沒有發(fā)生變化，都是100 ∶ 1，也就是說速度不變，即勻速。

“比”與分?jǐn)?shù)之間也能夠建立聯(lián)系。學(xué)生通過觀察、思考、分析能夠發(fā)現(xiàn)比的前項(xiàng)與除法的被除數(shù)以及分?jǐn)?shù)的分子對(duì)應(yīng)；比的后項(xiàng)與除法中的除數(shù)以及分?jǐn)?shù)的分母對(duì)應(yīng)；同樣地，比值與除法中商以及分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)值對(duì)應(yīng)。學(xué)生在此過程中既加深了對(duì)“比”的意義的理解，也加深了對(duì)分?jǐn)?shù)與除法概念的理解。

三、教學(xué)建議

（一）了解“比”的具體情境，逐步抽象“比”

在“比”的概念的教學(xué)過程中，建議教師可以以具有現(xiàn)實(shí)背景意義的“比”來引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“比”產(chǎn)生的必要性。學(xué)生通過在具體生活情境中進(jìn)行不斷的思考和討論，逐步形成“比”的概念，進(jìn)一步深入了解“比”的意義。

（二）自主學(xué)習(xí)類比推理，抽象概括“比”

基于學(xué)生原有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生通過驗(yàn)證、觀察以及猜想等學(xué)習(xí)方法，理解和掌握“比”與“除法”“分?jǐn)?shù)”的聯(lián)系，在類比認(rèn)識(shí)中，加強(qiáng)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，完成概念的建構(gòu)，逐步抽象“比”的概念。

（三）交流討論數(shù)學(xué)思辨，深刻理解“比”

雖然六年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)掌握了“比”的基礎(chǔ)知識(shí)和本質(zhì)意義，但是對(duì)于知識(shí)的延拓能力有所欠缺。教師可以在學(xué)生對(duì)“比”的本質(zhì)認(rèn)識(shí)遷移學(xué)習(xí)的過程中，引導(dǎo)學(xué)生開展討論，如“比的后項(xiàng)可以是0嗎”“比的各個(gè)部分與除法、分?jǐn)?shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系”等。通過此環(huán)節(jié)，學(xué)生既可以感受三者之間的聯(lián)系，也可以進(jìn)一步完善對(duì)“比”的深刻理解。

（四）對(duì)比拓展，實(shí)現(xiàn)有意義遷移

課堂前期學(xué)習(xí)的“比”的知識(shí)相對(duì)比較基礎(chǔ)，教師在進(jìn)一步延拓“比”的學(xué)習(xí)過程中，豐富“比”的知識(shí)。比如：從兩個(gè)數(shù)量的關(guān)系描述延伸至三個(gè)量關(guān)系的倍比關(guān)系的表達(dá)，拓寬對(duì)“比”意義的理解；雖然電子時(shí)鐘的時(shí)刻顯示與“比”的表示形式相似，但它不是兩個(gè)數(shù)量之間倍數(shù)關(guān)系的比較，不能表示相除關(guān)系。

參考文獻(xiàn)：

[1]閆天靈.小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略的研究[D].天津師范大學(xué)，2010.

[2]華青.“比”的前概念研究[J].教學(xué)月刊（小學(xué)版），2016（2）：24-27.

編輯 謝尾合