“單位1”與“分數(shù)單位”學習中的錯題研究與分析

何玉婷

摘 要：數(shù)學要走向生活，新一輪數(shù)學課程改革的一個重要特征正是強調與現(xiàn)實生活的聯(lián)系。就初等數(shù)學而言，我們很容易看到數(shù)學的抽象特征，例如分數(shù)。此類抽象的數(shù)學內容正是學生費解難懂的地方。而怎樣處理分數(shù)這類抽象的問題，讓數(shù)學由抽象轉為直觀，便于學生理解掌握，提高學習的正確率正是我們要研究的問題。

關鍵詞：單位1；分數(shù)單位；錯題

分數(shù)的學習并不難，難在于分子、分母、單位基數(shù)等的變化和應用。這個階段是學生對數(shù)學計算和數(shù)量表達的一個新的認知階段。在起初的學習中對概念的混淆，以及后續(xù)應用中基準單位的不統(tǒng)一，都會對學生的應用造成極大的困擾。那么本文主要針對易錯點進行分析，研究學生在學習的過程中容易犯錯的點以及原因，并尋找出有效的引導教學方式。

一、找不到“單位1”

學生剛剛學習“單位1”時，能夠很快地理解“單位1”表示數(shù)1，或者幾個數(shù)，或者一個整體。讓學生動手將一個數(shù)或者一個整體平均分成幾份，或者給一個直觀圖讓學生涂色表示幾分之幾，往往不會出現(xiàn)問題。但是變成純文字的題目學生就不知道B就是“單位1”。在所調查的《補充習題》第四單元中，共11道這樣的題型。平均每題有8.5%的學生找“單位1”找錯，最高有18.3%的錯誤率。

例1：找出下列各題的“單位1”。

嬰兒每天的睡眠時間占全天的 ，這類找“單位1”的題型其實比較簡單，只要學生理清，A占B的幾分之幾，“占”字后B就是“單位1”，我們可以記憶口訣，A占B的 。

包扎一盒禮品，用了一根彩帶的 ，像這種格式，用了B的幾分之幾，“是”“消耗”“用了”等等詞就相當于“占”，這是一種語法知識不必細講，但可以舉例讓學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

五年級學生中，女生占 ，題目不是A占B的幾分之幾這樣的格式，而是A占幾分之幾。這時可以提問A占誰的幾分之幾？提醒學生將格式補充完整。這類題型在新課之后就有，可以讓學生自己先練，再講解。

例2：求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾。

雞有29只，鴨有17只，鵝有42只。雞的只數(shù)是鴨的（ ），鵝的只數(shù)是雞的（ ）。

這類數(shù)形結合，求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾的題錯誤率很高，因為學生習慣了分數(shù)的分母比分子大，反過來當求一個大的數(shù)是一個小的數(shù)的幾分之幾時，學生往往會懷疑自己的判斷，完全把分子分母的關系弄反。在所調查的習題中，這類題型共有9題，平均每題有1.3%人判斷錯誤，錯誤率最高的達到6.5%。

我們依然要幫助學生找準這類題中的“單位1”，A是B的幾分之幾，把B看作“單位1”，口訣就是A是B的 。

例3：在數(shù)軸上填分數(shù)。

在數(shù)軸上填分數(shù)似乎是小學生的一項弱項，若是在數(shù)軸上填寫分母相同的分數(shù)似乎沒有難度，若是分母不同，且有真分數(shù)、假分數(shù)的情況下，就極其容易產(chǎn)生錯誤。一方面需要填的空多了給學生一種復雜的感覺，一方面學生對“單位1”的固執(zhí)理解，使得他們面對數(shù)軸上的2、3、4之類的數(shù)字產(chǎn)生困惑，“單位1”沒有單位，數(shù)軸上的數(shù)字也沒有單位，該把哪一段平均分？假分數(shù)往哪兒填？在所調查的題目中，數(shù)軸的題型共有6題，平均每題的錯誤人數(shù)為10.8%，其中錯誤率最高的為真、假分數(shù)，小數(shù)混合填寫的題型，有36.6%的學生做錯。

在數(shù)軸上如何找準“單位1”？首先在教學真分數(shù)、假分數(shù)這一課時，教師應該明確講清楚，數(shù)軸就是把數(shù)字從小到大排列在一條線上，沒有具體情境的時候，數(shù)字1就是“單位1”，我們所學習的所有真分數(shù)都是比1小的數(shù)，在數(shù)軸上應該排列在0～1之間。比1大的都是假分數(shù)，有的假分數(shù)還會比2大、比3大、比100大……這時候我們就要把假分數(shù)改寫成帶分數(shù)或整數(shù)，甚至小數(shù)。先確定它在哪兩個相鄰的數(shù)之間，再把這相鄰的兩個數(shù)之間的那段平均分成分母是幾就是幾份的分數(shù)。

數(shù)軸的題型要求學生的基本功扎實，還要求學生細心、耐心地去讀題寫題。這是比較有挑戰(zhàn)性的題型。我們應該在此之前先給學生練習一些小數(shù)和分數(shù)互化、假分數(shù)化帶分數(shù)、化小數(shù)的練習，再給學生填寫數(shù)軸。

二、對分數(shù)單位理解錯誤

分數(shù)單位就是幾分之一，分母越大，這個分數(shù)就越小，分數(shù)單位幾分之一也就越小?？疾榉謹?shù)單位的題型有多種，容易產(chǎn)生錯誤的包括如下幾種：當分母發(fā)生變化時，有些學生會認為這個分數(shù)單位沒有變化，也有學生認為分母變大，分數(shù)單位是變大的。前者是錯把分數(shù)的分子當作分數(shù)單位，后者是對分數(shù)大小的比較方法沒有掌握。

例1：將一堆物品平均分成幾份，每份是多少，每份占幾分之幾。

學生做題時這類答案有很多，但在學生還沒有學習分數(shù)的基本性質時，我們要求學生根據(jù)分數(shù)的意義來填空，將A平均分成B份，分數(shù)單位是 ，每份是總數(shù)的 ，因為此類題目數(shù)據(jù)一旦增多，學生就會容易弄混數(shù)量關系，用這種方法簡單不易出錯。這里又用到了小口訣，需要學生記憶。在所調查的習題中，這類題型共11題，平均每題有11.4%的學生發(fā)生錯誤，錯誤率最高的有46.2%。

一個分數(shù)的分數(shù)單位和分子的大小是無關的，分母越大，分數(shù)單位就是分母分之一，也就越小。做判斷題時，先寫出一個分數(shù) ，它的分數(shù)單位是 ，再進行判斷。B的值越大，平均分的份數(shù)越多，每份就越少，分數(shù)單位 就越小。在三年級的時候學生就有學習關于分數(shù)單位大小的比較方法。“把同一個東西平均分，分的份數(shù)越多，每份就越小”，我們應該要求學生會背誦這樣的口訣，熟記之后運用就會更簡單。

例2：“單位1”有具體數(shù)值時，找出其分數(shù)單位。

把3米長的鋼管平均截成4段，每段占全長的（ ），每段的長是（ ）米。

如果“單位1”是一個有具體數(shù)值的量，那么學生對分數(shù)單位的理解就會出現(xiàn)困難，最常見的錯誤是忽略了分數(shù)表示的是兩個數(shù)量之間的關系，是沒有單位的。這里學生受到了單位的影響，產(chǎn)生混亂，把“每段占全長的幾分之幾”誤解為“每段長多少”。這樣的錯誤例子很多。在所調查的116題中，這類題型共有6題，平均每題有14.9%人判斷錯誤，錯誤率最高的達到23.7%。

我們平時應該鍛煉學生說題意的能力，求“每段占全長的幾分之幾”，仍然是求分數(shù)單位，平均成幾份，分數(shù)單位就是幾分之一，每份是總數(shù)的幾分之一。

5筒羽毛球，每筒12只，平均分成6份，每個年級分得多少只，多少筒？這題數(shù)據(jù)較多，不單求分數(shù)單位，還要求數(shù)量，而且數(shù)量的單位還不同。這就屬于比較復雜的求分數(shù)單位的題型。這對前面學習分數(shù)單位的掌握程度要求很高。

把兩根1米長的彩帶平均分成5份，每份有2個 米，是 米。這種題型比較少，學生無論看圖還是看文字都容易出錯，容易理解成把2米平均分成10份。這題直接讓學生求每份多長，學生這個時候理解困難，思想混亂就會出錯。這仍然是求分數(shù)單位的問題，要先找“單位1”，平均分成幾份，分母就是幾，分數(shù)單位就是幾分之一。

三、教學實踐措施

1.總結發(fā)現(xiàn)

學生學習分數(shù)時最容易出錯的就是解決一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾的實際問題。原因就是對分數(shù)意義概念的不清晰，包括找“單位1”和分數(shù)單位。

解決這類問題，需要把概念教學聯(lián)系直觀，在教學過程中及時反饋、學生質疑和小組糾錯。教學以來發(fā)現(xiàn)，書上有的概念性的知識往往學生不記得，更不用說一些規(guī)律性知識。以往我認為學習數(shù)學完全是靠理解力，無需記憶?，F(xiàn)在發(fā)現(xiàn)這是一個非常錯誤的觀點。不管學習什么，都需要大腦去記憶，才更方便今后運用。學生的學習是懵懂的，必須要教師給出明確的要求，學生才知道要會運用什么、掌握什么、理解什么、了解什么，才知道自己要怎么做。當然我們也要給學生時間，不要總是指望學生能自覺做什么事，小學生不像成人一樣能合理規(guī)劃好各段時間的使用，何況某些成年人也不能做到。作為教師要充分利用早讀、課前2分鐘的準備時間、課上40分鐘、中自習等時間，督促學生完成各類學習任務。

這類概念和運算結合的教學內容是比較困難的。相信攻克這個難關，對學生學習會有極大助益。

2.易錯題正確思路

通過上文能夠發(fā)現(xiàn)，關于分數(shù)單位的易錯點其實就是對單位的不理解。上文主要闡述了關于易錯點的成因和誤區(qū)，那么正確的易錯題解題思路是必須的。為了能夠從易錯題中總結學習經(jīng)驗，教師在例題講解時應該由淺入深，逐步增強學生的理解能力和應用能力。

簡單例題1：

五年級一班總共有20個同學，其中女生有8個，請問男同學有多少，占班級總數(shù)的多少？

解題思路：

教師在引導學生的時候，首先是理解題干中的具體要求，求解的是男同學數(shù)量以及占比。那么首先就應該解決男同學數(shù)量問題，這個簡單，不多做介紹。重點是占比問題。首先教師要幫助學生理清楚求解的是男生占據(jù)班級總數(shù)的多少，那么就是男生的總數(shù) ∶ 班級的總數(shù)。男生的總數(shù)為20-8=12人。占比正確計算為12比20，簡化為 。解題的時候要幫助學生理清的是哪部分是分子，哪部分是分母。其實可以總結為，某1占據(jù)某2的多少就是以最后的某2為分母。當然，這樣的小技巧需要教師以更加容易記或者趣味的方式傳達。

困難例題2：

小明家離學?？偣?000米，在這個路程中每隔300米種植一棵樹。請問能夠種植的樹是多少？種植第二課樹的時候，距離占據(jù)總數(shù)長的多少？

解題思路：

在解決這道題的時候，還是首先分析題干，題干需要求出的能夠種植多少棵樹？那么按照分數(shù)概念來，就需要了解分數(shù)單位是多少？1000米中能夠存在多少個分數(shù)單位。就像上文講的，當有具體的數(shù)值的時候，學生在抓取“單位1”和分數(shù)單位時會出現(xiàn)混亂。這個時候需要使用到上面總結的小口訣，需要求證的占比最后位為分母。也就是300分之1000，最多能夠種植3棵。種植第二棵的時候距離為2×300米=600米。占據(jù)比同理得1000分之600，簡化得 。

在劃分單位的時候和計算占比的時候，需要明白分數(shù)單位是多少，那么分數(shù)單位是占比的，可以根據(jù)框架A占B的 來進行記憶。需要求證的為分子，總數(shù)為分母。當然在進行易錯題的計算時，還要根據(jù)具體的數(shù)值來進行簡單的計算。通過易錯題的分析，總結容易出錯的環(huán)節(jié)，進行重點分析，重在幫助學生理解分數(shù)單位、分子和分母的關系。

編輯 謝尾合