具有時滯的復值微分系統(tǒng)的概周期解

方聰娜

(集美大學理學院，福建 廈門 361021)

0　引言

眾所周知，泛函微分系統(tǒng)廣泛應用于各個領域，如核物理學、電路信號處理、生態(tài)系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡、流行病學、化工循環(huán)系統(tǒng)等。許多學者致力于研究實值泛函微分系統(tǒng)并且取得了豐富的研究成果[1-7]。但是在諸多應用領域中，實值微分系統(tǒng)也有一定的局限性，如在電子信息工程領域，人們就需要處理復數(shù)數(shù)據(jù)，因此，復值泛函微分系統(tǒng)自然而然地被提出來。近年來，一些學者主要研究了復值泛函微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性及周期性的問題，特別是關于復值神經(jīng)網(wǎng)絡的研究取得了一定的成果[8-11]。從目前來看，對于復值微分系統(tǒng)概周期解的相關問題的研究很少，而概周期解比周期解更具有一般性，所以研究復值微分系統(tǒng)的概周期解具有一定的理論意義和實用價值。本文將復值微分系統(tǒng)分離成實部和虛部，研究了一類具有時滯的復值泛函微分系統(tǒng)的概周期解，得到了保證該系統(tǒng)存在唯一的概周期解的充分條件。

1　相關引理

定義1對于復值函數(shù)z(t)=x(t)+iy(t)(x(t)=Re(z(t)),y(t)=Im(z(t)))，若x(t),y(t)都是概周期函數(shù)，則稱z(t)為概周期函數(shù)。

考慮如下概周期系統(tǒng)

x′(t)=A(t)x(t),

(1)

和

x′(t)=A(t)x(t)+k(t),

(2)

這里A(t)是t的概周期函數(shù)矩陣，k(t)是t的概周期函數(shù)向量。設X(t)是系統(tǒng)(1)的基本解矩陣。

2　主要結(jié)果及其證明

本文研究復值微分系統(tǒng)

Z′(t)=A(t)Z(t)+B(t)f(Z(t))+D(t)g(Z(t-τ))+H(t),

(3)

其中Z(t)=(z1(t),z2(t),…,zn(t))T∈Cn,A(t)=(aij(t))n×n∈Rn×n,B(t)=(bij(t))n×n∈Cn×n,D(t)=(dij(t))n×n∈Cn×n,H(t)=(h1(t),h2(t),…,hn(t))T∈Cn,τ>0為時滯，A(t)、B(t)、D(t)都是t的概周期函數(shù)矩陣，H(t)是t的概周期函數(shù)向量，f(Z(t))=(f1(z1(t)),f2(z2(t)),…,fn(zn(t)))T∈Cn,g(Z(t-τ))=(g1(z1(t-τ)),g2(z2(t-τ)),…,gn(zn(t-τ)))T∈Cn,zj(t)=xj(t)+iyj(t),xj(t)=Re(zj(t)),yj(t)=Im(zj(t))，fj(zj(t))=fjR(xj(t))+ifjI(yj(t)),fjR(xj(t))=Re(fj(zj(t))),fjI(yj(t))=Im(fj(zj(t))),gj(zj(t-τ))=gjR(xj(t-τ))+igjI(yj(t-τ)),gjR(xj(t-τ))=Re(gj(zj(t-τ))),gjI(yj(t-τ))=Im(gj(zj(t-τ))),fjR(·)，fjI(·),gjR(·)，gjI(·)為連續(xù)函數(shù)，j=1,2,…,n。

令x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T∈Rn,y(t)=(y1(t),y2(t),…,yn(t))T∈Rn；B(t)=BR(t)+iBI(t),BR(t)=(bijR(t))n×n,bijR(t)=Re(bij(t))，BI(t)=(bijI(t))n×n,bijI(t)=Im(bij(t))；D(t)=DR(t)+iDI(t),DR(t)=(dijR(t))n×n,dijR(t)=Re(dij(t))，DI(t)=(dijI(t))n×n,dijI(t)=Im(dij(t))；H(t)=HR(t)+iHI(t),HR(t)=(h1R(t),h2R(t),…,hnR(t))T,hjR(t)=Re(hj(t))，HI(t)=(h1I(t),h2I(t),…,hnI(t))T,hjI(t)=Im(hj(t))；fR(x(t))=(f1R(x1(t)),f2R(x2(t)),…,fnR(xn(t)))T，fI(y(t))=(f1I(y1(t)),f2I(y2(t)),…,fnI(yn(t)))T；gR(x(t-τ))=(g1R(x1(t-τ)),g2R(x2(t-τ)),…,gnR(xn(t-τ)))T，gI(y(t-τ))=(g1I(y1(t-τ)),g2I(y2(t-τ)),…,gnI(yn(t-τ)))T，則系統(tǒng)(3)可化為如下實值系統(tǒng)

(4)

則方程(3)存在著唯一的概周期解。

對任意的V=(v1,v2)∈G,現(xiàn)在考慮如下的概周期微分系統(tǒng)

(5)

由條件1)及引理2可知,系統(tǒng)(5)存在唯一的概周期解XV(t)=(xV(t),yV(t))T,它可表示為

(6)

(7)

直接由式(7)的兩邊同時對t求導即知，(φ(t),φ(t))T是方程(4)的唯一概周期解，從而方程(3)存在唯一的概周期解。