具有偏利關(guān)系的隨機(jī)三種群模型的動(dòng)力學(xué)分析

付盈潔,魏春金,張樹文

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

0　引言

種群生態(tài)學(xué)是研究種群數(shù)量動(dòng)態(tài)與環(huán)境相互作用關(guān)系的科學(xué)，它是在個(gè)體、種群、群落中以種群為研究對象的生態(tài)學(xué)分支。一般來說，種群間相互作用的關(guān)系可以分為競爭、捕食和互惠關(guān)系[1-2]。對于一些比較經(jīng)典的模型，如單種群Logistic增長模型、兩種群Lotka-Volterra模型，已經(jīng)被許多生物學(xué)家廣泛研究[3-6]，并取得了很好的結(jié)果。但是，在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中，捕食者與捕食者之間，捕食者與食餌之間也會(huì)出現(xiàn)偏利的情形，如：蘭花生長在喬木上，對喬木沒有影響，但有利于自己獲得陽光和吸收營養(yǎng)。但目前對于偏利關(guān)系的三種群模型的研究相對較少[7-8]，文獻(xiàn)[8]考慮了如下食餌具有偏利合作關(guān)系的捕食-食餌系統(tǒng)：

(1)

其中：x1(t),x2(t),y(t)分別代表種群x1,x2,y在t時(shí)刻的密度；ri>0(i=1,2,3)表示種群的內(nèi)稟增長率；a11>0,a22>0,β>0分別表示種群的密度制約系數(shù)；a12>0表示種群x2對種群x1的偏惠系數(shù)；k>0表示捕食者的環(huán)境容納量。

文獻(xiàn)[8]只對確定性模型進(jìn)行了研究。但在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中，存在許多隨機(jī)或偶然的因素影響著生物種群的變化[9-12]，比如：環(huán)境噪聲會(huì)在不同程度上影響增長率、環(huán)境容量、競爭系數(shù)和系統(tǒng)的其他參數(shù)，自然界中任何生物和種群都不可避免地受到外界環(huán)境隨機(jī)因素，人類對環(huán)境的破壞，地震、暴雨等自然災(zāi)害的影響。因此，本文考慮如下具有第二類功能性反應(yīng)的隨機(jī)捕食-食餌模型：

(2)

1　預(yù)備知識(shí)

L1代表1次函數(shù)的空間，1次可積。

設(shè)x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))(t≥0)是隨機(jī)微分方程

dx(t)=f(x(t),t)dt+g(x(t),t)dB(t)

(3)

定理2[14](伊藤公式)設(shè)x(t)(t≥0)是伊藤過程，其隨機(jī)微分為dx(t)=f(t)dt+g(t)dBt,

2　主要結(jié)論

證明對任意的t>0，作變換:u=lnx,v=lny,w=lnz,則系統(tǒng)(2)變?yōu)橄到y(tǒng)(4)：

(4)

且初始值(u(0),v(0),w(0))=(lnx(0),lny(0),lnz(0))。由于系統(tǒng)(4)滿足局部Lipschitz連續(xù)，則系統(tǒng)(4)存在唯一局部解(u(t),v(t),w(t)),t∈[0,τe)，其中τe是爆破時(shí)間。因此，得到(x(t),y(t),z(t))=(eu(t),ev(t),ew(t)),t∈[0,τe)是系統(tǒng)(2)在初值(x(0),y(0),z(0))條件下的唯一局部解。為了證明這個(gè)解是全局的，只需證明τe=+∞。

令k0>0足夠大，使得(x(t),y(t),z(t))∈[1/k0,k0]×[1/k0,k0]×[1/k0,k0]，對于任意的正數(shù)k≥k0，定義一個(gè)停時(shí)序列：τk=inf{t∈[0,τe):x(t)?(1/k,k)，或者y(t)?(1/k,k),或者z(t)?(1/k,k)}。

假設(shè)τ∞→/ ∞，則存在常數(shù)T≥0，∈(0,1)和一個(gè)整數(shù)k1≥k0，有

P{τk≤T}≥,?k≥k1

(5)

成立。

設(shè)Ωk={τk≤T}(k>k1)，由式(5)可知P(Ωk)≥。則對任意的λ∈Ωk，有x(τk,λ)?(1/k,k),或y(τk,λ)?(1/k,k),或z(τk,λ)?(1/k,k),且V(x(τk),y(τk),z(τk))≥((1/k)-1-ln(1/k))∧(k-1-lnk)。因此，有V(x0,y0,z0)+MT≥E(V(x(τk∧T),y(τk∧T),z(τk∧T)))=E(1Ωk(λ)V(x(τk∧T),y(τk∧T),z(τk∧T)))≥[((1/k)-1-ln(1/k))∧(k-1-lnk)]。其中1Ωk(λ)是Ωk的指標(biāo)函數(shù)。令k→+∞,則有∞>V(x0,y0,z0)+MT=∞導(dǎo)致矛盾，因此必有τ∞=∞，a.s.。

(6)

兩邊同取極限有

(7)

(8)

同理有

(9)

(10)

-ε2≤y(t)≤ε2。

(11)

將式(8)兩邊同除以t并移項(xiàng)得

(12)

-ε3≤t-1lnx(0)≤ε3,

(13)

將式(11)和式(13)代入式(12)并放縮得

(14)

-ε4≤x(t)≤ε4,

(15)

將式(10)兩邊同除以t并移項(xiàng)、放縮得：

(16)

-ε5≤t-1lnz(0)≤ε5,

(17)

(18)

(19)

(20)

成立。

構(gòu)造函數(shù)V(X)=(1+x*)(x-x*-x*ln(x/x*))+(y-y*-y*ln(y/y*))+(1+x*)(z-z*-z*ln(z/z*)),顯然V(X)是正定函數(shù)。

由于不等式(cz*(x-x*)2-c(1+x*)(x-x*)(z-z*))/(1+x)≤(cz*(x-x*)2+c(1+x*)|x-x*||z-z*|)/(1+x)≤cz*(x-x*)2+c(1+x*)|x-x*||z-z*|和不等式kc(x-x*)(z-z*)/(1+x)≤kc|x-x*||z-z*|成立，且由楊氏不等式[17]:|x-x*||y-y*|≤[(x-x*)2/(2)+(y-y*)2/2],|x-x*||z-z*|≤[(x-x*)2/(2)+(z-z*)2/2],則有:LV(X)≤-(a11(1+x*)-cz*)(x-x*)2+b(1+x*)[(x-x*)2/(2)+(y-y*)2/2]-a22(y-y*)2-a33(1+x*)(z-z*)2+c(k+(1+x*))[(x-x*)2/(2)+-α(x-x*)2-β(y-y*)2-γ(z-z*)2+δ,其中常數(shù)α,β,γ,δ分別為:α=a11(1+x*)-cz*-b(1+x*)/(2)-c(k+(1+x*))/(2),β=a22-b(1+x*)/2,γ=a33(1+x*)-c(k+(1+x*))若δ滿足δ

3　數(shù)值模擬

為驗(yàn)證結(jié)果的正確性，對定理6的結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬。

取r1=1,r2=1,d=0.1,a11=1,a22=0.2,a33=0.5,a=0.3,b=0.5,c=0.5,k=1，并取系統(tǒng)(2)的初始值為(0.4,0.3,0.2)，則有：

由圖1,當(dāng)環(huán)境噪聲σ1,σ2,σ3都較大時(shí)，會(huì)使得三種群x(t)、y(t)、z(t)很快地趨于滅絕；由圖2，σ2不變，σ1,σ3較小時(shí)，種群y(t)趨于滅絕，但是種群x(x),z(t)會(huì)持續(xù)生存；由圖3，σ2,σ3不變，σ1較小時(shí)，種群y(t),z(t)趨于滅絕，但是種群x(x)會(huì)持續(xù)生存；由圖4，當(dāng)σ1,σ2,σ3都很小時(shí)，種群x(t),y(t),z(t)相對緩慢減少，并會(huì)持續(xù)生存。由此可知，隨機(jī)擾動(dòng)對種群的生存與滅絕扮演著重要的角色，大的隨機(jī)擾動(dòng)會(huì)使得種群滅絕。

4　結(jié)論

本文討論了具有偏利關(guān)系的隨機(jī)三種群模型。通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖iapunov函數(shù)并運(yùn)用伊藤公式，證明了系統(tǒng)全局正解的存在唯一性、均值有界性，給出了種群滅絕與平均持續(xù)生存的充分條件，并證明了平穩(wěn)分布的存在性。最后通過數(shù)值模擬驗(yàn)證結(jié)果的正確性，得到以下結(jié)論。隨機(jī)擾動(dòng)對種群的生存與滅絕扮演著重要的角色，當(dāng)環(huán)境噪聲較大時(shí)，會(huì)使得種群x(t)，y(t)，z(t)更快地趨于滅絕；當(dāng)噪聲強(qiáng)度較小時(shí)，種群x(t)，y(t)，z(t)相對緩慢減少，并會(huì)持續(xù)生存，且在一定條件下，隨機(jī)模型(2)的任意具有正初值的解(x(t),y(t),z(t))存在平穩(wěn)分布μ(·)，并且μ(·)具有遍歷性。