“數(shù)線段”的建模教學(xué)嘗試

摘 要：“數(shù)線段”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的內(nèi)容，各種版本均有設(shè)計(jì)，只是存在年級(jí)、形式不同而已。其體系無外乎通過“基本線段”和“起點(diǎn)位置”兩種方法建立起相同的“數(shù)模”。在此基礎(chǔ)上，可以巧妙滲透“組合”知識(shí)，從學(xué)生能理解的“層次”與“角度”來建立另一種“數(shù)?！保瑥亩寯?shù)學(xué)更有趣。

關(guān)鍵詞：數(shù)線段；不重不漏；依次相加

作者簡(jiǎn)介：朱小艷，四川省開江縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)教師。（四川 開江 636250）

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2018）12-0028-03

有一次，曾觀摩一位老師在教學(xué)北師大版四年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)好玩”之三“數(shù)圖形學(xué)問”。當(dāng)教學(xué)行進(jìn)到3+2+1=？時(shí)，幾乎所有學(xué)生按教師“預(yù)設(shè)”按部就班計(jì)算。

“4×3÷2=6”，突然一位學(xué)生大聲說道?？蛇@位老師不予理睬。當(dāng)時(shí)，筆者就在想：這是對(duì)的呀！為什么不讓這位學(xué)生站起來說說理由呢？是老師根本沒有預(yù)設(shè)到？還是嫌麻煩引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)列”推演出？

課后，與其交流。老師擔(dān)心讓這位孩子站起來說，讓“預(yù)設(shè)”的教學(xué)被打破，無法進(jìn)行下步“換種數(shù)法”的教學(xué)。喜歡刨根問底的筆者一直沒有放棄思考：或許班上一些學(xué)生學(xué)了“奧數(shù)”，知道“（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2”。如果讓那位孩子來說，整個(gè)教學(xué)就會(huì)宕開一筆，旁逸斜出，確實(shí)難以拉回正題；況且從“數(shù)列”推演著實(shí)有點(diǎn)“揠苗助長(zhǎng)”并“曲高和寡”。那可不可以從另外角度與層次引導(dǎo)學(xué)生理解，讓這次“綜合與實(shí)踐”更好玩呢？細(xì)思量，“數(shù)線段”“握手”也好，“單程票”也罷，都是“組合”問題，即從n個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的所有組合數(shù)，就是n×（n-1）÷2。但絕不能對(duì)小學(xué)四年級(jí)學(xué)生這樣引導(dǎo)，這就關(guān)系到“深入”之后如何“淺出”的問題。

回到教材關(guān)于“線段”的概念上：線段有兩個(gè)端點(diǎn)，線段有一定長(zhǎng)度。意即在直線上任意兩點(diǎn)之間的距離就是一條線段，也就是在直線上，一點(diǎn)可以與另外任意一點(diǎn)連成一條線段。于是，筆者所在學(xué)校就以“數(shù)線段的兩種玩法”為題進(jìn)行了一次深入的專題研修。且附教材：

首先，還是遵循教材編排意圖利用多媒體進(jìn)行教學(xué)：在創(chuàng)設(shè)“鼴鼠鉆洞”情境后，將曲線洞徑變成線段圖，并用字母表示洞口；然后分別按“線段長(zhǎng)短”和“不同的點(diǎn)出發(fā)”兩種方法進(jìn)行數(shù)線段，做到“不重不漏”。學(xué)生初步感受、理解、操作后，通過“菜地旅行”計(jì)算單程票增加“點(diǎn)”的數(shù)量，從而建立“數(shù)線段”模型。即標(biāo)有多個(gè)點(diǎn)的這種圖形：

線段總數(shù)就是以“點(diǎn)數(shù)減1”作為第一個(gè)加數(shù)，然后“依次減1”的數(shù)相加，一直加到“1”為止。

一課時(shí)的教學(xué)，聲形并茂的課件激發(fā)并維持著學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生親自參與畫線段、數(shù)線段，不亦樂乎！整堂課滲透了“轉(zhuǎn)化”“數(shù)形結(jié)合”“建模”等數(shù)學(xué)思想，學(xué)生充分領(lǐng)會(huì)到了“有序思考”。

第二課伊始，以完成填空復(fù)習(xí)鞏固導(dǎo)入：即標(biāo)有多個(gè)點(diǎn)的這種圖形：

線段總數(shù)就是以（ ）作為第一個(gè)加數(shù)，然后（ ）的數(shù)相加，一直加到（ ）為止。

如（ ）+（ ）+（ ）+（ ）+（ ）+（ ）=（ ）

接下來，師生一起“玩”了幾個(gè)名堂。

一、師生競(jìng)技比速度

學(xué)生自己選派信任的同學(xué)上臺(tái)擔(dān)任“主考官”，臨時(shí)在黑板上出題。為了教學(xué)有效，將圖形的點(diǎn)控制在10—20范圍之內(nèi)。同時(shí)選派3名計(jì)算高手上臺(tái)跟老師“pk”，其余同學(xué)邊計(jì)算邊當(dāng)評(píng)委。

三個(gè)回合下來，全班學(xué)生皆敗無疑?！巴瑢W(xué)們，三次都敗了吧。想不想知道，老師是如何‘玩贏你們的？”下一個(gè)“玩”法就在學(xué)生的躍躍欲試中開啟了。

二、換種算法自主悟

（一）找出圖形上的A點(diǎn)與其他點(diǎn)連接組成的線段，如圖：

板演：

A：AB、AC、AD、AE

當(dāng)找出圖形上的B點(diǎn)與其他點(diǎn)連接組成的線段時(shí)，學(xué)生提出質(zhì)疑：線段AB不是已經(jīng)數(shù)了，還用數(shù)嗎？老師鼓勵(lì)道：“我們不妨先按照數(shù)與A點(diǎn)連接的線段一樣數(shù)下去，看看會(huì)是怎樣的！”

（二）按照“兩點(diǎn)相連組成線段”方法數(shù)完所有線段

于是，學(xué)生數(shù)出了這樣多的線段：

A：AB、AC、AD、AE

B：AB、BC、BD、BE

C：AC、BC、CD、CE

D：AD、BD、CD、DE

E：AE、BE、CE、DE

數(shù)完之后，老師引導(dǎo)：你發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)：按照“兩點(diǎn)相連組成線段”方法數(shù)，數(shù)出了5×4=20條線段，但每條線段數(shù)了兩次。

（三）總結(jié)歸納新的算法

緊接著，讓學(xué)生“想一想”、“說一說”新的算法，在學(xué)生處于“憤悱”狀態(tài)時(shí)，適時(shí)拋出了填空題，幫助學(xué)生理清算理與算法：

圖形的每一點(diǎn)都與其余（ ）點(diǎn)連接組成（ ）條線段，照這樣計(jì)算，共有（ ）條線段，但是每條線段數(shù)了（ ）次，所以線段總數(shù)是（ ）。

經(jīng)過充分討論與交流，學(xué)生終于恍然大悟：

圖形的每一點(diǎn)都與其余（4）點(diǎn)連接組成（4）條線段，照這樣計(jì)算，共有（5×4）條線段，但是每條線段數(shù)了（2）次，所以線段總數(shù)是（5×4÷2）。

（四）牛刀小試新的算法

要求：先想后說，邊說邊列算式，可不再詳細(xì)列出具體的線段。學(xué)生紛紛上臺(tái)邊說邊列算式，有板有眼，無不輕松快樂！如：

圖形上的每一點(diǎn)都與其余7點(diǎn)連接組成7條線段，照這樣計(jì)算，共有8×7條線段，但是每條線段數(shù)了2次，所以線段總數(shù)是8×7÷2=28條線段。

三、鞏固遷移天地寬

（一）不一樣的握手

1. 依次增減玩法。第一組5位學(xué)生上臺(tái)表演握手：A同學(xué)與其余4位同學(xué)握完手就下臺(tái)，B同學(xué)與其余3位同學(xué)握完手就下臺(tái)，C同學(xué)與其余2位同學(xué)握完手就下臺(tái)，剩下D、E同學(xué)握完手一起下臺(tái)。全班同學(xué)列出算式：4+3+2+1=10。

2. 對(duì)等重復(fù)玩法。另一組5位同學(xué)上臺(tái)表演握手：A同學(xué)與其余4位同學(xué)握完手原地等待，B同學(xué)與其余4位同學(xué)握完手原地等待，一直待E同學(xué)握手完畢，5位同學(xué)一起下臺(tái)。全班同學(xué)列出算式： 5×4÷2=10。

3. 說清新玩法。學(xué)生借鑒線段的數(shù)法，略加思考，很快說出了玩法：每位學(xué)生都與其余4位學(xué)生握一次手，照這樣計(jì)算，共握5×4次手，但是每?jī)晌粚W(xué)生握了2次手，所以握手總次數(shù)是5×4÷2=10。

4. 增加數(shù)量鞏固新玩法。如：15位學(xué)生站成一排，每2位學(xué)生握一次手，一共要握多少次手？

按照原法：14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105

新解如下：

每位學(xué)生都與其余14位學(xué)生握一次手，照這樣計(jì)算，共握15×14次手，但是每?jī)晌粚W(xué)生握了2次手，所以握手總次數(shù)是15×14÷2=105。

（二）為“數(shù)角”新解埋下伏筆

“北師版”教材四年級(jí)下冊(cè)有數(shù)角的練習(xí)如下：

當(dāng)按教材教學(xué)后，同樣可以如法炮制：圖形上的每條射線與其余3條射線組成3個(gè)角，照這樣計(jì)算，共有4×3個(gè)角，但是每個(gè)角數(shù)了2次，所以角的總數(shù)是4×3÷2=6。

兩節(jié)課的“數(shù)圖形”教學(xué)皆取得了成功。課下，筆者所在學(xué)校數(shù)學(xué)老師進(jìn)行了理性總結(jié)分析。北師大版教材基于四年級(jí)上冊(cè)學(xué)生初學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生按“線段長(zhǎng)短”和“不同的點(diǎn)出發(fā)”兩種方法進(jìn)行數(shù)線段，做到“不重不漏”，培養(yǎng)學(xué)生“有序思考”是十分必要且非常有益的！這兩種方法最終都建立同一個(gè)“數(shù)?！保壕€段總數(shù)就是以“點(diǎn)數(shù)減1”作為第一個(gè)加數(shù)，然后“依次減1”的數(shù)相加，一直加到“1”為止。存在一定局限的是，一則點(diǎn)多畫圖繁雜，二則量多計(jì)算麻煩。而第二種滲透“排列組合”的教學(xué)必須建立在北師大教材的基礎(chǔ)上，就可規(guī)避上述之局限。第二種建模教學(xué)嘗試不僅在于此，還在于“數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的‘生長(zhǎng)點(diǎn)與‘延伸點(diǎn)，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會(huì)對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)可以從不同的角度加以分析，從不同的層次進(jìn)行理解”。

參考文獻(xiàn)：

[1] 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）導(dǎo)讀與教學(xué)實(shí)施——小學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社：179.

責(zé)任編輯 范艷玲