導數(shù)在高中數(shù)學新課程中的地位與作用分析

黃冬明

(安徽省巢湖市第四中學　238000)

導數(shù)的內(nèi)容在高中數(shù)學新課程中是新引入的，不僅能夠對高中數(shù)學的函數(shù)知識進行深層次的跟進，而且也為高中數(shù)學的學習內(nèi)容增加了新的活力，能夠為高中數(shù)學問題的解決提供很多新的問題解決思維模式，另外在高中數(shù)學的考試內(nèi)容中，利用導數(shù)解決函數(shù)問題也是考查的重要內(nèi)容.因此，在高中數(shù)學的學習過程中，應該重視導數(shù)在數(shù)學課程中的作用，合理的安排數(shù)學學習時間.

一、導數(shù)在高中數(shù)學新課程中的作用地位

1.能夠幫助學生有效理解函數(shù)特性

現(xiàn)階段的高中數(shù)學內(nèi)容難度相對較高，尤其是在函數(shù)的學習中，如果能夠使學生對函數(shù)特性的理解更加深入，對于下一步開展高中數(shù)學課程的學習更加有幫助，因此教師在高中數(shù)學課堂上的任務主要是引導學生對函數(shù)的理論知識進行深入理解.但是在實際的教學過程中，函數(shù)的特性有時候還可以通過函數(shù)圖象加以表達，這就要求高中數(shù)學教師應該注重學生對函數(shù)圖象的理解，在這個基礎上，學生對函數(shù)特性的掌握就會更加牢固.然而在實際的數(shù)學學習過程中，不僅存在簡單的函數(shù)，而且還有著復雜的函數(shù)，對簡單函數(shù)的學習可以借助圖象的繪制，但是對于復雜的函數(shù)，圖象的繪制十分復雜，這時候要想對問題進行解決就必須依靠導數(shù)的應用，根據(jù)導數(shù)性質繪制出簡單圖象對問題進行解決，并且能在繪制的圖象中判斷函數(shù)的單調區(qū)間和極值點性質.

2.能夠幫助學生更好掌握函數(shù)思想

在高中數(shù)學的學習中，利用簡單的教學方法不能解決數(shù)學的全部問題，對于一些復雜的數(shù)學問題，教師可以適當?shù)夭捎媒?shù)學模型的方式解決函數(shù)問題，而且在建立模型的時候能夠加深對函數(shù)思想的理解，導數(shù)法在高中函數(shù)問題中的應用，體現(xiàn)了導數(shù)作為教學活動中重要工具的作用.在數(shù)學學習的階段，導數(shù)和函數(shù)還存在著明顯的關聯(lián)關系，在對實際問題的解決過程，可以建立合理的函數(shù)模型，充分對導數(shù)法進行利用解決數(shù)學問題，深化學生對函數(shù)思想的掌握.

3.能夠為其他學科的學習做好鋪墊

在高中課程的學習階段，導數(shù)知識雖然屬于數(shù)學范疇，但是導數(shù)也是高中微積分知識的重要組成部分.高中的物理、化學和生物等課程的學習需要和數(shù)學知識建立有效的聯(lián)系，導數(shù)知識在這些學科的學習過程中有著很重要的作用，應用范圍很廣泛.微積分的知識在高中各學科的應用很重要，幾乎包含了高中函數(shù)所有的要點，微分學作為微積分的分支，能夠利用函數(shù)關系對導數(shù)法的應用提供方便.在高中物理的學習中，解釋變速直線運動的原理可以利用導數(shù)，在高中化學的學習中，理解化學反應速度還可以利用導數(shù)的相關知識.

二、導數(shù)在高中數(shù)學新課程中的實際應用

1.導數(shù)在求函數(shù)單調性中的應用

高中數(shù)學的考試題目中，可能會經(jīng)常出現(xiàn)判斷一個函數(shù)的單調性和確定函數(shù)單調區(qū)間的問題，這類問題傳統(tǒng)的解決方法是根據(jù)函數(shù)特性畫出簡單圖形來進行判斷單調性，但是過程太過復雜且不易對復雜問題進行操作，學生對此類方法的掌握不夠扎實.隨著導數(shù)在高中數(shù)學的出現(xiàn)，這類問題的解決方法變得明朗起來，在對導數(shù)分析后，可以得出規(guī)律性的結論：區(qū)間內(nèi)各點導數(shù)大于零，函數(shù)單調遞增，反之單調遞減，若出現(xiàn)導數(shù)等于零，則函數(shù)為常數(shù).

例1已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍.

由函數(shù)y=x3在R上的單調性，可知當a=-3時，函數(shù)f(x)對x∈R為減函數(shù).

(2)當a>-3時，函數(shù)f(x)在R上存在增區(qū)間.所以，當a>-3時，函數(shù)f(x)在R上不是單調遞減函數(shù).

綜合(1)(2)可知a≤-3.

2.導數(shù)在求函數(shù)極值中的應用

在高中考試中經(jīng)常出現(xiàn)的另一種問題是求某個函數(shù)的區(qū)間極值問題，在對導數(shù)的特性分析后，可以得出以下結論：在函數(shù)某個區(qū)間兩側的導數(shù)符號不同，則表明函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)存在著極大或者極小值.這類問題可以先對函數(shù)的定義域進行確定，然后對函數(shù)進行求導操作，對區(qū)間兩側符號分析后，確定函數(shù)極值，在具體問題中可能會有所變化，但是核心環(huán)節(jié)還是函數(shù)的求導.

例2設函數(shù)f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2時取得極值.

(1)求a、b的值;

(2)若對于任意的x∈[0,3]，都有f(x)

(2)由(1)可知f(x)=2x3-9x2+12x+8c,f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).當x∈(0,1)時，f′(x)>0;當x∈(1,2)時，f′(x)<0;當x∈(2,3)時，f′(x)>0.所以，當x=1時，f(x)取得極大值f(1)=5+8c.又f(0)=8c,f(3)=9+8c.則當x∈[0,3]時，f(x)的最大值為f(3)=9+8c.因為對于任意的x∈[0,3]，有f(x)9，因此c的取值范圍為(-∞,-1)∪(9,+∞).

3.導數(shù)在幾何問題中的應用

幾何問題作為高中數(shù)學的重要問題，經(jīng)常在考試中出現(xiàn)，若采用傳統(tǒng)方法進行處理，通過幾何分析和大量計算也能得出相應結果，但是這個過程對學生的思維能力要求較高，還可能會浪費大量時間，不適合在考試中應用.這時候如果運用導數(shù)知識，可以大大減少計算量，避免計算帶來的誤差.

例3用長為18m的鋼條圍成一個長方體的框架，其長方體的長寬比為2∶1，問該長方體的長寬高為多少時，其體積最大？

4.導數(shù)在生活常見問題中的應用

在高中數(shù)學進行新課程改革的過程中，在考試中引入了許多與生活有關的問題，采用傳統(tǒng)的解題方法對此類問題進行解決十分復雜且難度大，但是在導數(shù)知識引入后能夠更加方便地解決此類問題且計算十分簡便，可以利用導數(shù)解決有關物體運動速度、物種繁衍率和經(jīng)濟最大效益的問題，充分利用了導數(shù)的工具性.

例4路燈距地面8m，一個身高為1.6m的人以84m/min的速率在地面上行走，從地面上的射影點C，沿著直線離開路燈，求人影長度的變化

速率v.

解如圖，路燈距地平面的距離為DC，人的身高為EB.

設人從C點運動到B處路程為xm，時間為tmin，AB為人影長度，設為ym，則：

又84m/min=1.4 m/s,

導數(shù)在高中數(shù)學新課程中的教學內(nèi)容十分重要，能夠解決比較復雜且計算量大的問題，在數(shù)學教學的過程中，導數(shù)的應用不僅能夠使學生掌握較為新穎的解題方法，還能夠鍛煉學生的解題創(chuàng)新思維.在高中數(shù)學中開展導數(shù)的學習，還能夠使學生對于數(shù)學的學習有著更為廣泛的理解，體現(xiàn)了數(shù)學學習的價值，而且對導數(shù)的理解有助于幫助學生提升數(shù)學的辯證邏輯思維，為今后學習更為復雜的微積分知識和其他學科時打下堅實的基礎，因此在高中數(shù)學的學習中對導數(shù)的應用十分的必要.