數(shù)列求和的七種基本方法

甘志國(guó)

(北京豐臺(tái)二中　100071)

一、運(yùn)用公式法

很多數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的求法，就是套等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的公式，因此以下常用公式應(yīng)當(dāng)熟記：

還要記住一些正整數(shù)的冪和公式：

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)求{bn}的前n項(xiàng)和．

又因?yàn)閧an}是公差為3的等差數(shù)列，所以an=2+3(n-1)=3n-1．

二、倒序相加法

事實(shí)上，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的公式推導(dǎo)方法就是倒序相加法．

題2求正整數(shù)m與n(m

解顯然，這些既約分?jǐn)?shù)為：

所以2S=(m+n)·2(n-m)=2(n2-m2),S=n2-m2

題3求數(shù)列{1+2+3+…+n}的前n項(xiàng)和Sn.

解法2因?yàn)?/p>

所以

解法3(倒序相加法)可得

Sn=1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n),

Sn=1+(2+1)+(3+2+1)+…+[n+(n-1)+(n-2)+…+1],

把它們相加，可得

3Sn=1(n+2)+2(n+2)+3(n+2)+…+n(n+2)

三、裂項(xiàng)相消法

題5(2017年高考全國(guó)卷Ⅲ文科第17題)設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

解(1)當(dāng)n≥2時(shí)，可得

a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,

a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1).

把它們相減后，可得

由題設(shè)還可得a1=2，從而{an}的通項(xiàng)公式為

由(1)的答案，可得

四、分組求和法

五、錯(cuò)位相減法

題7(2017年高考天津卷第18題)已知{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2+b3=12,b3=a4-2a1，S11=11b4.

(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)(理)求數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項(xiàng)和(n∈N*).

(文)求數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和(n∈N*).

解(1)(過(guò)程略)an=3n-2,bn=2n.

(2)用錯(cuò)位相減法可求得答案：

(文)(3n-4)×2n+2+16.

題8(2017年高考山東卷文科第19題)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1+a2=6，a1a2=a3.

(1)求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；

解(1)(過(guò)程略)an=2n.

又因?yàn)镾2n+1=bnbn+1，bn+1≠0，所以bn=2n+1.

六、待定系數(shù)法

題9數(shù)列{(2n-1)·3n}的前n項(xiàng)和Sn=．

解設(shè)等差數(shù)列{am}的公差為d，等比數(shù)列{bm}的公比為q(q≠1)，得

am·bm=[a1+(m-1)d]·b1qm-1(m=1,2,…,n).

先用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{am·bm}的前n項(xiàng)和Sn：

Sn=b1{a1+(a1+d)q+(a1+2d)q2+…+[a1+(n-1)d]qn-1},

qSn=b1{a1q+(a1+d)q2+…+[a1+(n-2)d]qn-1+[a1+(n-1)d]qn}.

所以有下面的結(jié)論成立：若{am},{bm}分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列(其公比q≠1)，且a1,b1均是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，則數(shù)列{am·bm}的前n項(xiàng)和Sn=(an+b)qn-b，其中a,b是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)．

由此結(jié)論就可以用待定系數(shù)法快速求解本題：

可設(shè)Sn=(an+b)·3n-b(其中a,b是常數(shù))．

可得S1=3,S2=3+27=30，

從而Sn=(n-1)·3n+1+3．

題10求和Sn=1·2n+2·2n-1+3·2n-2+…+(n-1)·22+n·2．

解得

七、求導(dǎo)法、積分法

(3)求數(shù)列{(2n-1)·3n}的前n項(xiàng)和Sn．

解(1)當(dāng)x=0時(shí)，顯然成立．當(dāng)x≠0時(shí)，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式知，欲證結(jié)論也成立．

(2)視(1)的結(jié)論為兩個(gè)函數(shù)相等，兩邊求導(dǎo)后即得欲證成立．

(3)(2n-1)·3n=6(n·3n-1)-3n．

題12(2008年高考江蘇卷第23題)請(qǐng)先閱讀：在等式cos2x=2cos2x-1(x∈R)的兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得(cos2x)′=(2cos2x-1)′．

由求導(dǎo)法則，得(-sin2x)·2=4cosx·(-sinx)，化簡(jiǎn)后得等式sin2x=2sinxcosx．

(2)對(duì)于整數(shù)n≥3，求證：

答案：(1)在已知等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)后移項(xiàng)可得欲證．

(2)①在結(jié)論(1)中令x=-1可證．

③在已知等式兩邊在[0,1]上對(duì)x積分后可得欲證．