淺析如何選擇數(shù)學(xué)問(wèn)題的的轉(zhuǎn)化途徑

李艷華

(江蘇省常熟滸浦高級(jí)中學(xué)　215512)

一、恰當(dāng)利用必要條件

我們都知道將一個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化是找其充要條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，但是有些問(wèn)題直接找其充要條件而做到不重不漏是一件很困難的事情，但是我們知道若p?q則q是p的必要條件，q是p的必要條件就意味著q是p成立的必不可少的條件，所以由此而題目從必要條件入手將會(huì)得到事半功倍的效果.

盲點(diǎn)1.學(xué)生能夠根據(jù)奇函數(shù)的定義f(-x)=-f(x)恒成立列出等式，但容易漏解，這里不做贅述.

2.學(xué)生能夠想到利用特殊值f(0)=0,f(-1)=-f(1)，但不知道此不為等價(jià)轉(zhuǎn)化.

我們從此題的必要條件入手，從而簡(jiǎn)化了轉(zhuǎn)化的步驟，加快了轉(zhuǎn)化的速度.

例3數(shù)列{an}滿足an=3an-1+3n-1(n≥2)其中a4=365.

(1)求a1,a2,a3;

解(1)易得a1=5,a2=23,a3=95.(2)分析:直接去從等差數(shù)列的充要條件入手同樣面臨著化簡(jiǎn)的苦惱，所以仍從必要條件入手，若數(shù)列是等差數(shù)列則必須滿足前三項(xiàng)成等差數(shù)列，且這個(gè)等式包含了參數(shù)a的所有值，然后再對(duì)其進(jìn)行充分性的檢驗(yàn)勢(shì)必會(huì)使此類(lèi)問(wèn)題得到圓滿的解決.這里不做詳細(xì)的解答了.

從必要條件入手是一種重要的解題策略和方法，應(yīng)予以重視和恰當(dāng)?shù)睦?

二、以退求進(jìn)，從一般退到特殊以探求解題目標(biāo)

特殊化可以看成是一種試驗(yàn)手段，對(duì)解題具有探路的作用.特殊化是一種以退求進(jìn)，先退后進(jìn)的思考方法，它有三個(gè)基本作用：提示解題方向，尋求解題途徑，直接解答問(wèn)題.

本題從特殊情況入手，進(jìn)行探路，然后再進(jìn)行驗(yàn)證，避免了學(xué)生無(wú)路可走的情況，又強(qiáng)調(diào)了對(duì)其一般情況的驗(yàn)證.

例5已知圓C：x2+(y-3)2=4,直線l:x-ky+1=0與圓C相交于P,Q兩點(diǎn),M是P,Q中點(diǎn)，l與直線x+3y+6=0相交于N，l與x軸交于A點(diǎn)，則|AM||AN|=____.

分析本題作為填空題完全可以從特殊情況進(jìn)行考慮，即令k=0，從而，輕易得到所求值為5.當(dāng)然若從一般情況入手，作為填空題則略顯麻煩.

三、構(gòu)建平臺(tái)回避分類(lèi)討論

分類(lèi)討論法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法，許多復(fù)雜的問(wèn)題都離不開(kāi)分類(lèi)討論，但是若遇到復(fù)雜的問(wèn)題就采用分類(lèi)討論而不是就問(wèn)題的實(shí)質(zhì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析，將會(huì)走入紛繁復(fù)雜的過(guò)程中如同繞迷宮一樣.

所以選擇怎樣的平臺(tái)作為轉(zhuǎn)化的基石將尤為重要.

1.正難則反回避分類(lèi)討論

解題一般從正面思考，若從正面入手求解繁瑣難度較大，此時(shí)不妨逆向思考以尋求問(wèn)題的切入點(diǎn).

例6已知二次函數(shù)f(x)=2x2-4(m-1)x-m2+2m+9,若在區(qū)間[-1，1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)t,使得f(t)>0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析此題若從正面分析，滿足題意只需函數(shù)在所給的區(qū)間內(nèi)的最大值大于零，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定的區(qū)間內(nèi)的最大值問(wèn)題，需要繁瑣的分類(lèi)討論.若從其反面入手則轉(zhuǎn)化為恒成立的問(wèn)題，即?t∈[-1,1]都有f(t)≤0成立.利用圖形可知只需：

2.變換主參地位，回避分類(lèi)討論

根據(jù)題意構(gòu)造出以研究對(duì)象為主元的函數(shù)，打破思維定勢(shì)，從而回避復(fù)雜的分類(lèi)討論.

例7若不等式(lgx)2-(2+m)lgx+m-1>0對(duì)于|m|≤1恒成立，求x的取值范圍.

總之，應(yīng)選擇一個(gè)好的平臺(tái)使之少走彎路.

四、優(yōu)先策略的選擇

做題目時(shí)順序的選擇將起著至關(guān)重要的作用，優(yōu)先考慮哪些方面是我們?cè)诮忸}中必須關(guān)注的問(wèn)題.

函數(shù)問(wèn)題優(yōu)先考慮定義域，可避免錯(cuò)誤的發(fā)生又能得到很好的等價(jià)轉(zhuǎn)化.

分析學(xué)上往往只是注重f(-x)=f(x)而忽略了偶函數(shù)的定義域要首先關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，從而陷入困境.

例2函數(shù)f(x)=loga(x-3a),(a>0且a≠1),函數(shù)g(x)的圖象由函數(shù)f(x)圖象先左移2a個(gè)單位，再作關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)變化后得到.

(1)寫(xiě)出函數(shù)y=g(x)的解析式.

(2)當(dāng)x∈[a+2,a+3]時(shí)，恒有|f(x)-g(x)|≤1,試確定a的取值范圍.

解(1)易得g(x)=-loga(x-a)(x>a).

設(shè)g(x)=x2-4ax+3a2，∴g(x)=(x-2a)2-a2.因02a.

評(píng)注此題中自變量的取值范圍是一個(gè)隱含的條件，如果沒(méi)有優(yōu)先考慮定義域，就會(huì)愈加麻煩，且容易誤入歧途.

總之，遇到問(wèn)題時(shí)要考慮怎樣走，走怎樣的途徑，才能走到終點(diǎn)且盡量不走彎路這是我們做題時(shí)應(yīng)加以注意的問(wèn)題.