數(shù)學(xué)解題過程中的“合理性”探究

魯　鋒

(江蘇省平潮高級中學(xué)　226361)

一、合情演繹，合理組合

每年的高考的壓軸題中均有新信息題，這類題所涉及的高等數(shù)學(xué)背景知識點(diǎn)多，選拔功能強(qiáng)，解題難度較大.演繹是理解概念特別是新概念的一種重要手段，通過演繹可以觸發(fā)知識的核心，如何突破這類問題，我們可以采用對條件進(jìn)行合情演繹突破理解上的障礙，合理組合所學(xué)知識點(diǎn)和方法，進(jìn)行合理性嘗試，才能解決.

例1(2017江蘇高考19)對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan，對任意的正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”.

(1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”；

(2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，求證： {an}是等差數(shù)列.

本題的難點(diǎn)在于(1)“P(k)數(shù)列”是什么數(shù)列？題意讀不懂.(2)如何正確的利用題中“既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列””這一條件.(3)所有這些條件與我們所學(xué)的數(shù)列知識和數(shù)列方法有何種聯(lián)系？

思路突破：(1)對于“P(k)數(shù)列”，我們按照從特殊到一般的思維方法，可以取特殊的k=1,2,3代入輔助思考即可.(2)對于“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，合情演繹第(1)問的解題過程，對于數(shù)列中的恒成立表達(dá)式，合理的解決措施是賦值迭代作差處理.

正解(1)證明：因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則an=a1+(n-1)d，從而，當(dāng)n≥4時(shí)，an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3.所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an，因此等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”

(2)證明：數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，因此,當(dāng)n≥3時(shí)，an-2+an-1+an+1+an+2=4an，……①

當(dāng)n≥4時(shí)，an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an，……②

由①知，an-3+an-2=4an-1-(an+an+1)，……③

an+2+an+3=4an+1-(an-1+an)……④

將③④代入②，得an-1+an+1=2an，其中n≥4，所以a3,a4,a5,…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d′，在①中，取n=4，則a2+a3+a5+a6=4a4，所以a2=a3-d′.在①中，取n=3，則a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=a3-2d′.所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

二、補(bǔ)集思想，逆向突破

在數(shù)學(xué)研究的過程中，正面演繹綜合突破比較困難的情況下，可以利用數(shù)學(xué)中的補(bǔ)集思想，采用反面突破的方式.其中對參數(shù)的意義的思考是解題的關(guān)鍵.

評注參數(shù)會(huì)給問題的思考帶來一些變數(shù)，也使得數(shù)學(xué)的研究變得多彩，弄清參數(shù)的意義和影響，不但能較好地理解題意，同時(shí)就可以較好地從問題的對立面進(jìn)行思考,正難則反.

三、合理轉(zhuǎn)化，合情化歸

對于絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)問題，我們主要還是采用綜合法進(jìn)行分析，找出解決問題的思路.但某些具有非典型特征的數(shù)學(xué)問題，我們還是要進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化和化歸，將問題化到熟悉的解法上來.教材上的例題和習(xí)題具有非常典型的思維特點(diǎn)，向課本題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決非典型特征數(shù)學(xué)問題的一個(gè)有效方法，也有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

分析(1)本題作為填空題的最后一題，難度很大，得分率很低.

(2)初看本題,學(xué)生第一反應(yīng)是求導(dǎo),高三復(fù)習(xí)時(shí)導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最值的最基本的方法,但計(jì)算量特別大,在考場很多學(xué)生放棄此題.本題學(xué)生也能想到先分母有理化，

接下來利用柯西不等式就可以求出.

(3)柯西不等式是由柯西在研究過程中發(fā)現(xiàn)的一個(gè)不等式，其在解決不等式證明的有關(guān)問題中有著十分廣泛的應(yīng)用，靈活運(yùn)用它，亦可使一些復(fù)雜繁瑣的題目簡單化，從而可以拓寬解題思路，節(jié)省解題時(shí)間，提高效率.

(4)柯西不等式二維形式：若a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,

當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)，等號成立.

評注抓住式子中的特有的簡潔對稱特點(diǎn)和4個(gè)實(shí)數(shù)的特定數(shù)量關(guān)系是利用柯西不等式的關(guān)鍵所在.

高考的題型和知識點(diǎn)均具有多樣性，對于壓軸題要學(xué)會(huì)抓典型的特征，利用特征找出相應(yīng)解題方法快速解答是我們復(fù)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容.

四、數(shù)形結(jié)合，優(yōu)化突破

數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要思想，其優(yōu)勢在于可將數(shù)學(xué)問題進(jìn)行巧妙的轉(zhuǎn)化，從而找出所研究的數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)：數(shù)的本質(zhì)和形的本質(zhì).解析幾何是利用代數(shù)來研究幾何的一類數(shù)學(xué)課程，比較好地承載了形與數(shù)的問題.

分析(1)對于根式形式，其形的表現(xiàn)是距離問題，主要是兩點(diǎn)之間的距離問題.兩個(gè)根式相加，體現(xiàn)的是兩個(gè)距離之和.(2)課本有“在直線l：3x-y-1=0上求一點(diǎn)Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最?。?，處理方法是①A，C在直線l同側(cè)，則通過求點(diǎn)C關(guān)于l的對稱點(diǎn)C′,化為求C′A的距離；②A，C在直線l異側(cè)，則可直接求AC的距離.

利用數(shù)形結(jié)合將代數(shù)式的精準(zhǔn)與幾何圖形的直觀有機(jī)地結(jié)合，可以拓展學(xué)生的解題思路，發(fā)展形象思維能力.通過數(shù)形結(jié)合，優(yōu)化數(shù)學(xué)問題的處理手法，凸顯數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，從而為簡潔明了地解決數(shù)學(xué)問題提供幫助.

數(shù)學(xué)思路的生成要合理，條件的分析要合理，方法的選擇要合理，才能得到自己能操作的合理解法，才能以不變應(yīng)萬變，解決錯(cuò)綜復(fù)雜的考試試題.