基于虛擬目標(biāo)的導(dǎo)彈越肩發(fā)射初制導(dǎo)軌跡優(yōu)化*

金一歡,雷葉紅,馮　昊,彭繼平,田　野

0　引　言

大離軸角發(fā)射的導(dǎo)彈制導(dǎo)一般可分為初制導(dǎo)階段和末制導(dǎo)階段兩個(gè)階段.大離軸發(fā)射后，初制導(dǎo)應(yīng)當(dāng)完成導(dǎo)彈的快速轉(zhuǎn)彎，減小離軸角，從而進(jìn)入末制導(dǎo)階段.大離軸發(fā)射制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法大致分為兩類，一類是改進(jìn)比例導(dǎo)引形式，另一類是將制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問題看作優(yōu)化問題，采用求解最優(yōu)控制問題的方法求解制導(dǎo)律.

文獻(xiàn)[1-3]通過在傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引律中引入減小離軸角的補(bǔ)償項(xiàng)，改進(jìn)了傳統(tǒng)比例導(dǎo)引律，具有良好的導(dǎo)引性能.文獻(xiàn)[4]基于最優(yōu)控制的思想設(shè)計(jì)在線次優(yōu)全向攻擊導(dǎo)引律，在大離軸角情況下具有不錯(cuò)的導(dǎo)引特性.文獻(xiàn)[5]通過對(duì)導(dǎo)彈轉(zhuǎn)彎特性分析，設(shè)計(jì)出實(shí)時(shí)制導(dǎo)律，滿足了越肩發(fā)射轉(zhuǎn)彎末速和姿態(tài)角需求.但是越肩發(fā)射初期，導(dǎo)彈只裝訂發(fā)射時(shí)目標(biāo)的位置和速度信息，導(dǎo)引頭無(wú)法獲取目標(biāo)信息時(shí)，實(shí)時(shí)計(jì)算的制導(dǎo)律存在缺少信息的難題.文獻(xiàn)[6]將轉(zhuǎn)彎時(shí)間作為優(yōu)化指標(biāo)，完成轉(zhuǎn)彎的最優(yōu)軌跡規(guī)劃，比較了不同初始速度轉(zhuǎn)彎時(shí)間；文獻(xiàn)[7]將轉(zhuǎn)彎完成導(dǎo)彈末速作為優(yōu)化指標(biāo)，設(shè)計(jì)了最佳推力角.以上文獻(xiàn)并沒有對(duì)轉(zhuǎn)彎完成后的彈軸指向進(jìn)行討論.程序?qū)б鳛槌踔茖?dǎo)段導(dǎo)引方式，應(yīng)為末制導(dǎo)段提供良好的交班條件，研究初制導(dǎo)轉(zhuǎn)彎后的彈軸指向具有重要的意義.

通常，越肩發(fā)射初期，目標(biāo)未進(jìn)入導(dǎo)引頭視場(chǎng)角，導(dǎo)彈需利用程序指令完成轉(zhuǎn)彎.本文引入虛擬目標(biāo)，研究了存在攻角約束的轉(zhuǎn)彎軌跡，分析了虛擬目標(biāo)位置、空域及速度對(duì)指令的影響.對(duì)所提出的基于虛擬目標(biāo)的三段式導(dǎo)引指令進(jìn)行了三通道仿真驗(yàn)證.

1　問題描述

1.1　導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)模型

本文將直接力引流裝置作為執(zhí)行機(jī)構(gòu).裝備直接力引流裝置的導(dǎo)彈模型見圖1所示，圖1中l(wèi)為直接力作用力臂，直接力裝置閥門可開關(guān)控制.俯仰方向設(shè)置兩個(gè)大推力引流噴管3和6，控制彈體俯仰.4個(gè)小推力噴管(1,2,4,5)穩(wěn)定彈體的偏航和滾轉(zhuǎn)通道.

圖1　直接力執(zhí)行機(jī)構(gòu)位置Fig.1　The position of direct force actuator

假設(shè)目標(biāo)在導(dǎo)彈俯仰平面內(nèi)，導(dǎo)彈通過控制俯仰通道完成轉(zhuǎn)彎，為了簡(jiǎn)化模型提出如下假設(shè)：

1) 轉(zhuǎn)彎過程中，側(cè)向狀態(tài)量恒為0；

2) 推力以及質(zhì)量流率為常值；

3) 直接力引流裝置產(chǎn)生推力；

4) 轉(zhuǎn)彎過程中，設(shè)高度為常值；

5) 控制量u為[-1,1]之間連續(xù)控制輸入.

基于上述假設(shè)，選取攻角、俯仰角、俯仰角速度、速度和質(zhì)量作為研究變量，可獲得導(dǎo)彈俯仰通道動(dòng)力學(xué)模型如下：

(1)

式中：α、θ、?分別為攻角、彈道傾角、俯仰角;P、Fx、Fy分別為發(fā)動(dòng)機(jī)推力、空氣阻力與升力;m為彈體質(zhì)量；v、ωz分別為彈體速度和俯仰角速度；Maz為氣動(dòng)力矩在彈體系軸方向投影；Tz為3,6噴管產(chǎn)生的直接力；l為直接力作用力臂；Jz為彈體繞z1軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；c1、c2為正常數(shù)；u為[-1,1]之間連續(xù)控制輸入.

1.2　彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

程序指令轉(zhuǎn)彎過程中不接收目標(biāo)信息，需在模型中引入虛擬目標(biāo).假設(shè)：載機(jī)能夠預(yù)測(cè)目標(biāo)8s內(nèi)慣性系下的運(yùn)動(dòng)軌跡，將目標(biāo)預(yù)測(cè)軌跡以及彈道優(yōu)化軌跡進(jìn)行對(duì)比，預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)彎完成后指向誤差，取指向誤差最小時(shí)目標(biāo)位置為虛擬目標(biāo)位置.將虛擬目標(biāo)位置代替目標(biāo)實(shí)時(shí)位置后，二維平面內(nèi)彈目追逐微分方程組簡(jiǎn)化為下式

(2)

式中，qε、r分別為視線高低角即彈目連線與水平面夾角和彈目相對(duì)距離，初值由虛擬目標(biāo)位置確定.

1.3　約束條件

為了獲得導(dǎo)彈轉(zhuǎn)彎的最優(yōu)程序指令，需要設(shè)計(jì)優(yōu)化函數(shù)以及約束條件[8].為使導(dǎo)彈速度矢量盡快指向目標(biāo)，設(shè)置目標(biāo)函數(shù)如式(3)所示

(3)

式中η為導(dǎo)彈速度矢量高低前置角，二維平面內(nèi)計(jì)算公式為η=qε-θ.

為保證導(dǎo)彈在飛行過程中受控，攻角和速度要求滿足一定約束.考慮到與末制導(dǎo)段交班時(shí)導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)和攻擊能力，初制導(dǎo)結(jié)束時(shí)速度與攻角應(yīng)滿足一定的約束.根據(jù)以上要求，設(shè)置約束條件如下：

(4)

式中tf為轉(zhuǎn)彎結(jié)束時(shí)刻.

結(jié)合目標(biāo)函數(shù)、約束條件和導(dǎo)彈模型，可求解最優(yōu)控制指令.狀態(tài)受約束的最優(yōu)控制問題的解析解一般很難獲得，可利用數(shù)值方法求解最優(yōu)控制問題.求解最優(yōu)控制問題的數(shù)值方法一般分為間接法和直接法.高斯偽譜法是直接法的一種，與間接法相比具有不需要估計(jì)協(xié)態(tài)變量的優(yōu)點(diǎn)[9-10].文獻(xiàn)[11]基于最優(yōu)中制導(dǎo)律問題，將高斯偽譜法與比例導(dǎo)引、打靶法進(jìn)行了比較，仿真結(jié)果表明綜合考慮計(jì)算精度和計(jì)算效率等因素，高斯偽譜法具有明顯優(yōu)勢(shì).

2　數(shù)值仿真及分析

2.1　高斯偽譜法

高斯偽譜法的基本原理是在Legendre-Gauss配置點(diǎn)上離散狀態(tài)變量和控制變量，并以離散點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式來(lái)逼近狀態(tài)變量和控制變量.通過對(duì)全局插值多項(xiàng)式求導(dǎo)來(lái)近似狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)，從而將微分方程約束轉(zhuǎn)換為一組代數(shù)約束.

引入新的時(shí)間變換t=(τ+1)tf/2,將時(shí)間區(qū)間[0,tf]變換到[-1,1].將狀態(tài)變量x(τ)用Lagrange插值多項(xiàng)式Li(τ)(i=0,1,…,N)逼近，即

(5)

(6)

式中,

x(τ)在LG點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)可通過微分矩陣近似為：

(7)

式中,Dki為N×(N+1)維微分矩陣，其中元素為

(k=1,2,…,N;i=0,1,…,N)

利用上式，連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程被離散為代數(shù)方程

(8)

這里狀態(tài)方程僅在LG點(diǎn)配置，邊界點(diǎn)變量X0由初始條件確定，Xf和Uk由高斯積分確定，如式(9)所示

(9)

式中，ωk為高斯積分權(quán)值.

可利用高斯積分，求取性能指標(biāo)，如式(10)

(10)

端點(diǎn)約束為：

G(X0,Xf)=0

(11)

狀態(tài)約束沿LG點(diǎn)離散為

C(Xk,Uk)≤0(k=1,2,…,N)

(12)

基于以上對(duì)狀態(tài)量和控制量的離散，得到可用于非線性規(guī)劃求解的代數(shù)表達(dá)式.

2.2　問題求解

利用非線性規(guī)劃算法SQP對(duì)通過高斯偽譜法獲得的非線性規(guī)劃問題進(jìn)行解算，初始條件設(shè)置如下：

表1　計(jì)算初值Tab.1　Initial value for computation

仿真結(jié)果如圖2.

圖2　優(yōu)化結(jié)果曲線Fig.2　Results of optimization

導(dǎo)彈速度高低前置角曲線可見，導(dǎo)彈速度矢量前置角在轉(zhuǎn)彎完成時(shí)趨于0，滿足設(shè)計(jì)期望.俯仰角曲線圖中曲線呈明顯的分段特點(diǎn)，由三段斜率不同的線段連接而成.利用攻角曲線對(duì)俯仰角曲線特點(diǎn)進(jìn)行分析可得：第一段為攻角建立期，以最大控制能力快速建立攻角，俯仰角曲線表現(xiàn)為快速增加的特點(diǎn)；第二段為攻角維持期，攻角到達(dá)并維持在約束值，俯仰角曲線表現(xiàn)為緩慢增加特點(diǎn)；第三段為攻角回落期，該階段導(dǎo)彈速度高低前置角趨于0，攻角回零.俯仰角在這一階段為負(fù)斜率曲線.本文將利用三段式特點(diǎn)，設(shè)計(jì)俯仰角指令.為了說明三段式指令的特點(diǎn)，取指數(shù)指令?c=?f·(1-e-at)進(jìn)行仿真對(duì)比，式中?f=138°,a=1.單通道數(shù)值仿真結(jié)果如下圖：

圖3　俯仰角與攻角仿真結(jié)果對(duì)比圖Fig.3　Pitch angles and angles of attack under exponent command and three-segment command

圖3中指令1為指數(shù)指令仿真結(jié)果，指令2為三段式指令仿真結(jié)果.到位角誤差分別為：指令1為0.332°，指令2為0.006°.圖中指令1的攻角曲線在轉(zhuǎn)彎完成時(shí)沒有收斂到0附近，指令2在轉(zhuǎn)彎完成時(shí)攻角收斂到0附近.可見指令2的形式具有良好的攻角回零效果.

2.3　初值影響分析

不同初始高度條件下，計(jì)算所得俯仰角指令見圖4.對(duì)比不同曲線可見，隨著高度的增加，轉(zhuǎn)彎完成所需時(shí)間增加.在攻角建立期，不同高度的俯仰角指令上升斜率一致.在攻角維持期時(shí)，發(fā)射高度越小的俯仰角指令斜率越大.不同高度的俯仰角指令在攻角回落期下降速度一致.

高度不同的俯仰角指令峰值和終值相差不大，而峰值和終值的時(shí)間有顯著差異.由圖5中曲線變化趨勢(shì)可見，兩個(gè)到達(dá)時(shí)間與高度呈線性相關(guān).利用線性擬合公式，可計(jì)算不同高度下的俯仰角指令到達(dá)時(shí)間.

圖6為10 km下不同初始速度俯仰角指令曲線.根據(jù)不同速度曲線的變化可知，隨著速度的增加，轉(zhuǎn)彎完成所需時(shí)間增加.

不同速度下，俯仰角指令峰值和終值相差不大，指令差異主要表現(xiàn)在峰值時(shí)間和終值時(shí)間.不同初始速度俯仰角指令達(dá)到峰值和終值時(shí)間曲線如圖7所示.

圖4　不同高度俯仰角優(yōu)化結(jié)果圖Fig.4　Optimal results at different heights

圖5　峰值時(shí)間和終值時(shí)間隨高度變化圖Fig.5　Chart of peak and final time influenced by height

圖6　不同速度俯仰角優(yōu)化結(jié)果圖Fig.6　Optimal results with different initial velocity

圖7　峰值時(shí)間和終值時(shí)間隨速度變化圖Fig.7　Chart of peak and final time influenced byinitial velocity

根據(jù)圖7可知，隨著初始速度增大，到達(dá)時(shí)間線性增大.

圖8給出了不同轉(zhuǎn)彎角度的俯仰角指令曲線.

圖8　不同轉(zhuǎn)彎角度俯仰角優(yōu)化結(jié)果圖Fig.8　Optimal results with different turning angle

通過分析差異可知，初始離軸角不同影響了轉(zhuǎn)彎指令的峰值時(shí)間.當(dāng)轉(zhuǎn)彎角度小于20°時(shí)，俯仰角指令沒有出現(xiàn)三段式特點(diǎn)，這是由于轉(zhuǎn)彎角度過小導(dǎo)致轉(zhuǎn)彎時(shí)間短，攻角未達(dá)到約束值便回零所致.由此可知，本文設(shè)計(jì)的三段式轉(zhuǎn)彎指令不適用轉(zhuǎn)彎過小的情況.不同俯仰角指令的峰值時(shí)間和終值到達(dá)時(shí)間線性擬合結(jié)果如圖9.

利用圖9，對(duì)比數(shù)值仿真結(jié)果與線性擬合曲線可見，峰值時(shí)間和穩(wěn)定時(shí)間與初始視線角呈線性相關(guān).可通過線性插值對(duì)不同轉(zhuǎn)彎角度的俯仰角指令進(jìn)行計(jì)算.

2.4　三通道仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證三段式指令以及以上分析的有效性，

圖9　峰值時(shí)間和終值時(shí)間隨轉(zhuǎn)彎角度變化圖Fig.9　Chart of peak and final time influenced by turning angle

利用線性插值計(jì)算程序指令并進(jìn)行三通道仿真.三維空間中式(3)可表示為式(13)

(13)

仿真驗(yàn)證時(shí)令虛擬目標(biāo)與導(dǎo)彈速度矢量位于同一水平面，即可驗(yàn)證以上分析內(nèi)容的準(zhǔn)確性.使用結(jié)束時(shí)攻角α、離軸角σ、速度矢量前置角φ作為評(píng)定導(dǎo)引指令好壞的標(biāo)準(zhǔn)，其中離軸角為轉(zhuǎn)彎結(jié)束時(shí)，彈軸與彈目連線夾角，速度矢量前置角為速度矢量與彈目連線夾角，仿真原理圖如圖10.

圖10　三通仿真流程圖Fig.10　Flow chart of three channel simulation

將v0=210 m/s、H0=10 km、qε0=90°作為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài).分別利用高度差、速度差和視線角度差對(duì)標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)的俯仰角指令進(jìn)行修正， 特征時(shí)間計(jì)算公式如下：

t1=2.877+0.108 1×dH+0.002×dv

t2=3.454+0.129 7×dH+0.002 3×dv

(14)

導(dǎo)引指令計(jì)算公式如下：

(15)

式中，tdot為上一線段末點(diǎn)值.為了保證攻角回零，在導(dǎo)引指令后增加0.1 s維持俯仰角指令不變.利用上式計(jì)算程序指令，視線角為100°仿真結(jié)果如表2.

由三通道仿真結(jié)果可見，攻角誤差最大值為-6.20°，離軸角誤差最大值為8.56°，速度矢量前置角誤差最大值為6.38°.一般的紅外導(dǎo)引頭視場(chǎng)跟蹤角為±35°，對(duì)比仿真結(jié)果可知，本文設(shè)計(jì)的程序指令可以導(dǎo)引導(dǎo)彈發(fā)現(xiàn)目標(biāo).

表2　轉(zhuǎn)彎誤差Tab.2　Error of the command

2.5　實(shí)時(shí)誤差修正

程序指令對(duì)飛行過程中產(chǎn)生的誤差并沒有修正作用.由于不確定擾動(dòng)的存在，導(dǎo)彈會(huì)逐漸偏離飛行平面，從而降低轉(zhuǎn)彎末端的指向精度.本文基于預(yù)測(cè)控制的思想，根據(jù)預(yù)測(cè)誤差定時(shí)調(diào)整程序指令以及轉(zhuǎn)彎平面.指令更新步驟如下：

1) 基于導(dǎo)彈當(dāng)前速度和姿態(tài)計(jì)算tf內(nèi)轉(zhuǎn)彎軌跡Cm,tf為轉(zhuǎn)彎剩余時(shí)間；

2) 對(duì)比Cm與目標(biāo)預(yù)測(cè)軌跡CT,預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)彎完成時(shí)速度傾角誤差Δθc(0);

3) 分別計(jì)算轉(zhuǎn)彎完成時(shí)間tf-0.1 s,tf+0.1 s的速度傾角誤差 Δθc(-1)、Δθc(1);

4) 根據(jù)Δθc更新虛擬目標(biāo)位置與程序指令.利用選定的虛擬目標(biāo)位置，確定射面，修正導(dǎo)彈轉(zhuǎn)彎指令以及姿態(tài).

由于實(shí)際飛行過程中存在模型不確定以及干擾不確定因素，這種建立在實(shí)際反饋信息基礎(chǔ)上的迭代優(yōu)化過程，能引入不確定性的影響，并實(shí)時(shí)修正.通過引入實(shí)時(shí)更新的算法，使得程序指令在飛行過程中更能適應(yīng)實(shí)際過程.

選取t=2,t=2.5兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)對(duì)俯仰角指令進(jìn)行定時(shí)修正，初始條件10 km，210 m/s，修正前后誤差對(duì)比如表3所示.

通過數(shù)值仿真可見，定時(shí)修正可以使轉(zhuǎn)彎完成時(shí)速度矢量前置角誤差減小，提高程序指令轉(zhuǎn)彎的抗干擾能力.

表3　誤差對(duì)比Tab.3　Compare of the results

3　結(jié)　論

本文求解了具有攻角約束的空空導(dǎo)彈越肩初制導(dǎo)軌跡規(guī)劃問題.通過引入虛擬目標(biāo)，研究了導(dǎo)彈轉(zhuǎn)彎完成后速度矢量指向與轉(zhuǎn)彎指令的關(guān)系.軌跡優(yōu)化結(jié)果表明，滿足導(dǎo)彈快速轉(zhuǎn)彎以及攻角回零約束的俯仰角指令具有明顯的三段式特點(diǎn).通過分析不同空域、初始速度以及轉(zhuǎn)彎角度的俯仰角指令，發(fā)現(xiàn)這三者對(duì)指令的影響呈線性.利用分析結(jié)果，本文給出了基于虛擬目標(biāo)的三段式程序指令的計(jì)算方法，并利用三通道仿真對(duì)導(dǎo)引指令的有效性進(jìn)行驗(yàn)證.同時(shí)，在優(yōu)化結(jié)果的基礎(chǔ)上，基于預(yù)測(cè)控制思想對(duì)轉(zhuǎn)彎平面和轉(zhuǎn)彎指令進(jìn)行在線修正，使得程序指令能夠適應(yīng)實(shí)際過程.仿真結(jié)果表明本文設(shè)計(jì)的程序指令效果良好，對(duì)空空導(dǎo)彈越肩發(fā)射導(dǎo)引指令設(shè)計(jì)具有一定的參考價(jià)值.