含有多級驅動機構衛(wèi)星的多變量頻域穩(wěn)定性分析方法*

劉　磊

0　引　言

當前空間激光通信、天文觀測以及極高分辨率對地觀測等未來先進航天器對指向控制的精度、穩(wěn)定度都提出了更高的需求[1-3].一方面，星上帆板、控制力矩陀螺等擾動源產生的低頻振動和高頻抖動會嚴重影響指向精度和穩(wěn)定度.另一方面，敏捷衛(wèi)星對任務的快速響應要求機動后載荷指向快速穩(wěn)定.因此，衛(wèi)星控制正在探索由平臺控制和含有多級機構的復合控制，來實現精確指向、擾振補償和振動隔離.運用多級復合控制方法，解決航天器控制中的“準、穩(wěn)、快”的突出矛盾問題.

近年來，COBB等[4-5]采用多級驅動機構實現了精密有效載荷的主動指向調節(jié)與振動隔離.VALLONE等[6]針對未來空間天文觀測ACCESS任務，研制并驗證了多級驅動機構的精確指向和主動隔振能力.CHEN等[7]通過試驗對比多級驅動機構不同控制方法的優(yōu)缺點.MCINROY等[8]研究了容錯、精確指向魯棒控制方法，并給出了系統化的分析流程.以上研究從多級驅動機構的設計、研制、建模、控制方法等方面取得很大進展，但對一體化模型的穩(wěn)定性分析研究涉及甚少.

含有多級驅動機構衛(wèi)星在多自由度控制器增加的同時也引入了星體和載荷之間的多回路耦合，是典型的多輸入多輸出耦合的系統，給系統穩(wěn)定性分析帶來較大困難.此外，雖然理論建模通常采用時域方法得到狀態(tài)空間描述的一體化模型，但實際應用模型的結構模態(tài)特性多以頻域方法分析.因此有必要針對一體化模型，采用物理意義的多變量頻域方法進行穩(wěn)定性分析研究.

基于上述研究現狀和存在問題,本文提出一種針對含有多級驅動機構衛(wèi)星多級復合控制系統的多變量頻域穩(wěn)定性分析方法.首先，建立含有多級驅動機構衛(wèi)星一體化線性模型，設計線性反饋控制器.在此基礎上，利用多項式矩陣變換得到多通道閉環(huán)系統極點分布規(guī)律，確定閉環(huán)系統多變量頻域輸入輸出穩(wěn)定性條件.最后，針對方法的正確性和有效性進行了算例和模型仿真驗證.

1　含有多級驅動機構衛(wèi)星一體化建模

1.1　運動學模型

如圖1所示的含有多級驅動機構衛(wèi)星，由星體、撓性附件、多級驅動機構和載荷組成.

圖1　含有多級驅動機構衛(wèi)星示意圖Fig.1　Schematic diagram of satellites with multi-stage drive mechanism

圖2給出了一般構型的多級驅動機構平臺坐標系示意圖.定義各坐標系如下：

整星坐標系(o-xyz，簡稱O系)：坐標原點o固定于整星質心，坐標軸平行于衛(wèi)星本體坐標系.

衛(wèi)星本體坐標系(ob-xbybzb，簡稱B系)：固定在衛(wèi)星本體上，坐標系原點ob為衛(wèi)星本體質心，obxb指向衛(wèi)星飛行方向，obzb指向地心，obyb與obxb和obzb構成右手直角坐標系.

載荷坐標系(op-xpypzp，簡稱P系)：固定在載荷上，坐標系原點op為載荷質心，三軸方向定義同衛(wèi)星本體坐標系.

軌道坐標系(oor-xoryorzor，簡稱Oor系)：xor軸指向軌道運動前方，zor軸方向指向地心.

針對如圖2所示的多級驅動機構的一般構型，運動學關系可表示為

(1)

圖2　一般構型的多級驅動機構坐標系示意圖Fig.2　Schematic diagram of a multi-stage drive mechanism in general configuration

因此，在位移量很小的條件下

(2)

由虛功原理可得力/力矩傳遞關系為

(3)

其中，Fl,Plp,Tlp,Plb,Tlb分別為驅動輸出力、驅動器對載荷的合力、驅動器對載荷的合力矩、驅動器對星體的合力、驅動器對星體的合力矩.

1.2　動力學模型

動力學建模考慮載荷、星體以及撓性附件的整體動力學模型.由Newton-Euler法得到動力學方程并寫成狀態(tài)空間表達式.由于平臺相對位移較小，狀態(tài)方程形式對動力學方程進行了簡化(如忽略了二階小量、狀態(tài)變量近似等).首先對單自由度驅動器的動力學模型進行建模.

(4)

根據式(4)可得驅動機構的輸出力向量可表示為

(5)

式中，Fl,Fa,Fk,Fc分別表示輸出力、控制力、彈性力、阻尼力向量，K,C分別表示剛度矩陣和阻尼矩陣.

圖3　單自由度驅動器的動力學模型Fig.3　Dynamic model of single degree of freedom actuator

首先將載荷視為剛體，在o-xyz坐標系中，載荷動力學方程為

(6)

將星體視為剛體，其受到的外力/力矩包括驅動機構的作用力/力矩、直接作用在載荷上的控制力/力矩和直接作用在載荷上的擾動力/力矩.在o-xyz坐標系中，星體動力學方程為

(7)

以上是將載荷和星體等效為純剛體模型，考慮撓性附件影響，采用混合坐標法建立包含撓性附件的整個航天器系統有限自由度的動力學模型.

考慮載荷和星體上的撓性附件，根據混合坐標法可知，載荷動力學方程可寫為

(8)

星體動力學方程可寫為

(9)

式中，m,n分別為載荷和星體上撓性附件個數，ηpi,ηbj分別為載荷和星體上第i個撓性附件的M、N維模態(tài)坐標，M、N為模態(tài)階數，Ptrani,Btranj分別為載荷和星體的平動耦合系數矩陣，Proti,Brotj分別為載荷和星體的轉動耦合系數矩陣，ξpi,ξbj分別為載荷和星體的結構阻尼系數矩陣，Ωpi,Ωbj分別為載荷和星體的模態(tài)頻率對角矩陣.

Xp=[xp,yp,zp,θxp,θyp,θzp]T,

Xb=[xb,yb,zb,θxb,θyb,θzb]T,

(10)

其中，狀態(tài)變量x為

(11)

狀態(tài)矩陣A,B,C,D分別表示為

Ψ2=

輸出變量表示為

(12)

輸入變量表示為

u=[udpudb+ucFa]T

(13)

式中,udp,udb分別為作用在載荷和星體上的擾動力/力矩，uc作用在星體上的控制力/力矩列陣，Fa為驅動器的控制力.需要注意的是，載荷控制器的輸出量為載荷的控制力矩，因此將式(10)中的輸入矩陣改寫為

(14)

系統輸入變?yōu)?/p>

(15)

2　單通道控制器設計

通過動力學建?？芍?，含有多級驅動機構衛(wèi)星多級姿態(tài)控制系統對象是多輸入多輸出系統.針對多輸入多輸出系統首先應考慮解耦控制，由多輸入多輸出系統解耦條件可知，輸入輸出維數相同是能夠通過輸入變換和狀態(tài)反饋矩陣進行解耦的必要條件，因此系統無法實現動態(tài)或靜態(tài)解耦.

為便于控制器設計，在控制器設計時將系統簡化為多個單通道的單輸入單輸出系統，即只考慮一個輸入與一個輸出之間的傳遞函數.

針對式(10)所示的線性時不變系統的第i個輸入ui至第j個輸出yj的傳遞函數為Gji(s),則系統的傳遞函數G(s)可寫為

(16)

式中，b為輸入變量維數，a為輸出變量維數.

考慮載荷控制力矩到載荷姿態(tài)，星體控制力矩到星體姿態(tài)之間的傳遞函數，只針對六路單通道輸入輸出系統進行控制器設計.例如，對于載荷x軸姿態(tài)yx(s)與x軸轉矩ux(s)的單通道系統的傳遞函數為Gxx(s).需要注意的是，這里的單通道系統僅表示單輸入和單輸出之間的傳遞函數，實際的x軸姿態(tài)輸出為多個輸入作用的疊加，只不過這里ux(s)Gxx(s)為yx(s)的主要部分.

針對單通道系統Gji(s),可以采用PID控制器進行控制.由于控制器設計基于簡化控制器設計和小位移內不同變量之間耦合較小的假設，將含有多級驅動機構的多輸入多輸出系統簡化為單輸入單輸出系統.此外，這里只討論了載荷姿態(tài)的控制器設計方法，對于星體一級控制，可采用傳統的衛(wèi)星姿態(tài)控制方法設計控制器.

3　多變量頻域穩(wěn)定性分析方法

上述控制器設計方法是基于耦合量較小的實際工況和簡化控制器的應用需求對多輸入輸出系統簡化，并對載荷和星體分別設計控制器的方法.該方法能方便地對控制器參數進行設計，并直接得到單輸入單輸出通道的穩(wěn)定性分析結果.但是由一體化建模和控制器設計過程可知，各通道之間存在耦合且控制器包含多個回路，單輸入單輸出系統穩(wěn)定的結論并不能從理論上保證多輸入輸出系統的穩(wěn)定性.本小節(jié)將采用多變量頻域穩(wěn)定性分析方法，對以上存在耦合多回路的含有多級驅動機構衛(wèi)星多級姿態(tài)控制系統進行穩(wěn)定性分析.

首先，線性系統的穩(wěn)定性可分類為基于狀態(tài)空間描述的內穩(wěn)定性和基于輸入輸出描述的外穩(wěn)定性.對于n維連續(xù)時間線性時不變系統(16)，穩(wěn)定性分析基于以下定理：

定理1[9].外穩(wěn)定即輸入輸出穩(wěn)定(BIBO)的充分必要條件為真或嚴真?zhèn)鬟f函數G(s)所有極點均為負實部.

以上控制器可等價為單通道線性反饋回路，如圖4所示.因此考慮任意單通道線性反饋回路對系統穩(wěn)定性的影響.由式(16)得開環(huán)系統可表示為

(17)

設單通道線性反饋后的輸入為

(18)

將式(18)帶入式(17)并作行列變換可得

(19)

從式(19)可以看出系統增加了一路單通道輸出線性反饋，即

(20)

對式(20)進行化簡得

(21)

則輸入輸出可描述為

(22)

圖4　單通道線性反饋系統框圖Fig.4　Single-channel linear feedback systemblock diagram

(23)

其中ρefgh(s)=φ/(DefDgh)為φ除以DefDgh的余數多項式.因此，G(s)中任意兩個不同行且不同列的元傳遞函數的乘積，分母為特征多項式φ(s).進而，式(22)元傳遞函數分子中包含線性反饋的因式可表示為

(24)

(25)

定理2.若多輸入多輸出開環(huán)系統是BIBO的，引入一路單通道輸出線性反饋且該單通道閉環(huán)系統是BIBO的，則得到的多輸入多輸出閉環(huán)系統也是BIBO的，且系統閉環(huán)極點滿足式(25)所示的特征多項式.

因此，含有多級驅動機構衛(wèi)星可通過對控制回路中的所有單通道進行逐次穩(wěn)定性設計，最終得到的多級姿態(tài)控制器可以保證多輸入多輸出閉環(huán)系統的穩(wěn)定性.相比狀態(tài)空間法，該多變量頻域方法具有物理直觀性強、便于控制器設計和調整的特點.

4　仿真分析

4.1　簡化算例驗證

取傳遞函數矩陣輸入輸出描述的系統如式(26)所示，系統輸入維數為3，輸出維數為2

(26)

在輸入u1到輸出y1之間的單通道中引入輸出線性反饋H11(s),令H11(s)=(s+10)-1,則有

(27)

(28)

其中由式(26)得，式(28)中D11=(s+2)(s+3)(s+4),DH11=(s+10),N11=(s+1),NH11=1.

因此可得系統特征多項式為

(29)

其中，ρ11(s)=(s+5)(s+6)(s+7)(s+8)(s+9),即開環(huán)系統其余通道的極點多項式.通過圖5中極點分布可知，相比開環(huán)系統，該通道輸出線性反饋后的系統閉環(huán)極點保留了開環(huán)系統其余通道的極點(-5，-6，-7，-8，-9)，其余為該通道閉環(huán)系統極點(-1.946，-3.0354±0.5091i，-10.03).

圖5　算例開環(huán)及閉環(huán)極點分布圖Fig.5　Open-loop and closed-loop polar distributions of the examples

4.2　含有多級驅動機構衛(wèi)星模型仿真

采用式(10)得到的含有多級驅動機構衛(wèi)星模型進行仿真驗證.模型參數如表1所示.

表1　含有多級驅動機構衛(wèi)星模型仿真參數Tab.1　Simulation parameters of satellites with multi-stage drive mechanism

為簡化分析首先采用純剛體模型，得到開環(huán)系統極點分布如圖6所示，開環(huán)系統極點均在左半平面或原點處.該極點分布表明開環(huán)系統是BIBO的.

圖6　開環(huán)系統極點分布圖Fig.6　Polar distribution of open-loop system

對單個驅動器進行閉環(huán)控制，得到系統極點分布與開環(huán)極點分布比較，如圖7所示，其中上圖表示僅對1個驅動器進行閉環(huán)后的極點分布.驅動器閉環(huán)即在驅動器單通道增加了輸出線性反饋，取該線性反饋的傳遞函數為314 169.0(s+31.4)-1.從圖7中可看出，每個通道的閉環(huán)會增加一個極點，且由于該通道開環(huán)極點不包括非零極點(即整星轉動和平動模態(tài))，因此驅動器閉環(huán)后保留了為零極點，僅使非零極點向左移動.

在驅動器閉環(huán)的基礎上，按照表1中星體和多級驅動機構的控制參數進行控制器設計，得到星體和載荷控制閉環(huán)后的極點分布如圖8所示.以星體單軸通道比例-微分控制器為例，控制器傳遞函數為NHij=1 035s+464.6,DHij=1.由式(25)可知，由于該通道傳遞函數具有嚴真性即degDji>degNji,因此極點個數沒有增加.多級驅動機構控制器傳遞函數為NHij=s2+10s+42.5,DHij=0.000 125s.從圖8中可以看出，在負實軸上增加了兩個穩(wěn)定的極點.

圖7　驅動器閉環(huán)與開環(huán)系統極點分布Fig.7　Pole distribution of open-loop system and drive closed-loopsystem

圖8　閉環(huán)系統與開環(huán)系統極點分布圖Fig.8　Pole distribution of open-loop system and closed-loop system

為進一步驗證星上撓性附件對穩(wěn)定性的影響，將包含撓性附件的模型進行仿真，得到如圖9所示的包含撓性附件極點的極點分布圖.由于撓性附件模態(tài)頻率較高、極點的阻尼比較小，因此與剛體模型得到的開閉極點距離較遠，針對中心剛體模型設計的反饋通道對撓性附件極點的改變很小，可近似解耦.然而，當撓性附件模態(tài)分布與包含多級驅動機構的剛體模型模態(tài)分布近似時，控制器設計需要同時考慮撓性附件對穩(wěn)定性帶來的影響.

以上針對簡化算例和實際模型的仿真分析，驗證了式(25)給出的多輸入多輸出開環(huán)系統極點與輸出反饋閉環(huán)系統極點的分布關系.因此，該方法可作為含有多級驅動機構衛(wèi)星閉環(huán)系統穩(wěn)定性的驗證依據，也為控制器參數穩(wěn)定性分析提供了簡單有效的工具.

圖9　包含撓性附件系統極點分布圖Fig.9　Pole distribution with flexible accessories system

5　結　論

針對含有多級驅動機構衛(wèi)星多級復合控制系統穩(wěn)定性分析問題，本文提出了一種多變量頻域分析方法.建立了含有多級驅動機構衛(wèi)星一體化線性模型，針對星體和載荷姿態(tài)設計了單通道輸出線性反饋控制器.對傳遞函數矩陣變換，得到多通道閉環(huán)系統極點分布規(guī)律，為含有多級驅動機構衛(wèi)星閉環(huán)系統穩(wěn)定性分析和參數設計提供了有效工具.

本文提出的針對多輸入多輸出系統的多變量頻域穩(wěn)定性分析方法可進一步推廣應用于其它多輸入多輸出線性系統的穩(wěn)定性分析問題中.