六年級學(xué)生對高階概率內(nèi)容的認知：潛能與局限

何聲清

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六年級學(xué)生對高階概率內(nèi)容的認知：潛能與局限

何聲清

（北京師范大學(xué) 教育學(xué)部，北京 100875）

以64名六年級學(xué)生為被試，考察其在直觀圖示下對高階概率內(nèi)容的認知．結(jié)果表明，學(xué)生在“理論計算”任務(wù)上的表現(xiàn)差強人意，暴露出兩類典型錯誤；“理論計算”能力是“數(shù)量估計”的先決條件，但對隨機性的認知在此過程中也不可或缺；學(xué)生的概率直覺在“數(shù)量估計”任務(wù)中扮演著重要角色．對概率教學(xué)的啟示和建議有：學(xué)生高階概率內(nèi)容認知的潛能與局限并存；教學(xué)應(yīng)呵護學(xué)生的概率直覺，可通過計算機等直觀模擬技術(shù)滲透概率思維．

六年級；概率認知；直觀圖示；條件概率；積事件概率

1 研究緣起

概率素養(yǎng)（probability literacy）是大數(shù)據(jù)時代社會公民必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[1]．自20世紀(jì)末開始，概率內(nèi)容相繼被各國引進中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（如AEC[2]、NCTM[3]）．中國2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》也首次將其納入義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程[4]．按照Jones等人在“中小學(xué)兒童概率思維發(fā)展框架”中的劃分[5]，中國當(dāng)前義務(wù)教育階段的概率內(nèi)容主要涉及到隨機性、概率比較、概率計算、樣本空間等子概念．值得注意的是，數(shù)學(xué)課程對該框架中提及的條件概率并未涉及，這是基本合理的：已有研究一再證實條件概率對于中小學(xué)生而言難度較大[6-7]．

條件概率與積事件概率有著千絲萬縷的聯(lián)系：條件概率是指事件A（(A)＞0）發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，記為(B|A)=(B∩A)/(A)．這其中的(B∩A)即為積事件概率，是指A與B同時發(fā)生的概率，記為(B∩A)=(B|A)·(A)．特別地，當(dāng)A、B獨立時，(B∩A)=(B)·(A)．例如，一個盒子里有2個黑球和2個白球，先后各摸出1個球（不放回），摸出2個黑球的概率為：(第2次摸到黑球且第1次摸到黑球)=(第1次摸到黑球的基礎(chǔ)上，第2次摸到黑球)·(第1次摸到黑球)=1/3·2/4=1/6，這屬于A、B不獨立的情況．再例如，甲、乙兩個盒子里均有1個黑球和1個白球，同時從兩個盒子里各摸出1個球，摸出2個黑球的概率為：(兩個盒子都摸出黑球)=(從甲盒子摸出黑球)·(從乙盒子摸出黑球)=1/2·1/2=1/4，這屬于A、B獨立的情況．

對于義務(wù)教育階段的學(xué)生而言，條件概率和積事件概率均屬于高階概率內(nèi)容．但是，這并非意味著學(xué)生沒有學(xué)習(xí)該知識的潛能．概率教與學(xué)研究領(lǐng)域的知名學(xué)者Borovcnik指出：在中小學(xué)滲透條件概率有其有益之處，然而當(dāng)前國際數(shù)學(xué)教育界似乎并沒有將其作為一項議題正式討論[8]．他的研究還認為，學(xué)生對條件概率的認知困難與問題的情境設(shè)置有關(guān)，如果情境設(shè)計不恰當(dāng)，他們?nèi)菀自V諸因果思維來解釋這類問題[8]．概率內(nèi)容具有較強的情境性[9]．當(dāng)前學(xué)界有關(guān)兒童概率認知研究的一個趨勢是將教學(xué)環(huán)境（instructional settings）納入考察變量：即不只是單純地考察學(xué)生能夠理解什么，還考察他們在特定的教學(xué)環(huán)境/干預(yù)下能夠理解什么[10]．例如，新近研究對計算機模擬的直觀表征下中學(xué)生概率概念的理解情況進行了考察，并顯示學(xué)生在該環(huán)境下能夠?qū)Ω怕视休^好的理解[11]．Zhu等人的研究表明：若將問題情境加以合理表征，即使四~六年級學(xué)生亦具備學(xué)習(xí)條件概率的可能性[12]．該研究基于直觀的任務(wù)設(shè)計，考察六年級學(xué)生對高階概率內(nèi)容（主要涉及條件概率和積事件概率）的認知，探查他們對該內(nèi)容認知的潛能與局限，以期為概率課程及教學(xué)提供有益建議．

2 研究方法

2.1 被試

上海市某中學(xué)六年級的兩個平行班共64名學(xué)生參與了該次測試，其中男生38人，女生26人．需要特別指出的是，上海的中小學(xué)學(xué)制是“5+4”模式，因此該研究中的六年級被試均來自中學(xué)．之所以選擇六年級學(xué)生為被試，一方面是因為他們已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)，有一定的知識基礎(chǔ)；另一方面，他們于六年級上學(xué)期已經(jīng)學(xué)習(xí)過“等可能事件”等概率基礎(chǔ)知識[13]（該測試是在六年級下學(xué)期進行的），知道了在等可能事件中概率的計算公式．此外，有研究表明：盡管沒有接觸較多正式的概率知識，低齡兒童對概率也有較好的直覺[14]．

2.2 任務(wù)設(shè)計

任務(wù)設(shè)計采用了Fischbein經(jīng)典著作《兒童概率思維的直覺來源》（）中的部分案例[15]，此外新增了概率大小的數(shù)量估計任務(wù)．

測試共包含3個題目（后文用Q1~Q3表示），每一個題目均包含3個任務(wù)（后文用T1~T3表示）：T1考察學(xué)生對概率大小的定性判斷（后文簡稱“定性判斷”）．T2和T3均考察學(xué)生對概率大小的定量化認識，其中T2考察學(xué)生對理論概率值的計算（后文簡稱“理論計算”），T3考察學(xué)生對概率大小的數(shù)量估計（后文簡稱“數(shù)量估計”）．3個問題主要涉及積事件概率和條件概率的知識，其中Q3還涉及到簡單的和事件概率知識．各任務(wù)除了要求學(xué)生給出作答以外，還要求他們寫出作答的理由，用以深入了解其思維機制．所有題目的題干均為“如圖所示，這里是一個有趣的游戲，圖中每個管道都是粗細均勻且光滑的”．研究的目的并非考察學(xué)生對上述概念的精確表達和應(yīng)用，而是旨在借助直觀圖示考察他們對這些高階概率內(nèi)容的認知情況．任務(wù)設(shè)計詳見表1．

表1 任務(wù)設(shè)計

盡管T2和T3都涉及到概率的定量化認識，但兩者尚存在如下區(qū)別：T2的答案可以通過理論分析而求得；T3的答案可以通過理論概率大致估計，但它一般不會恰好是理論值，而是接近理論值．從這個角度而言，T2是T3的前提：只有對理論概率有良好的認知，他們才能據(jù)此作出合理的估計．之所以設(shè)計“數(shù)量估計”任務(wù)，是基于如下兩個假設(shè)：其一，雖然T2是T3的前提，但學(xué)生完成T3還需要具備對隨機性的良好認知，并非掌握了T2就一定能在T3中有完美的表現(xiàn)．其二，條件概率、積事件概率等作為難度較大的高階概率內(nèi)容，六年級學(xué)生或許在“理論計算”上遇到困難，但他們在“數(shù)量估計”上可能有較大潛能——因為它削弱了計算，學(xué)生的概率直覺也在其中扮演著重要角色．

2.3 程序及編碼

該測試由授課教師負責(zé)監(jiān)考，確保了學(xué)生的作答紀(jì)律．所有學(xué)生均完成了測試，發(fā)放問卷64份，有效問卷64份．

依據(jù)學(xué)生的作答類型對其進行分類編碼．

T1（“定性判斷”）是由選擇題組成，不涉及編碼問題．

T2（“理論計算”）的所有編碼如表2．

表2 學(xué)生在T2中的作答表現(xiàn)編碼

T3（“數(shù)量估計”）的所有編碼如表3．需要稍作解釋的是：第6類作答在水平上是高于第5類的，因為后者過于絕對化——這恰恰說明其缺乏對隨機性的認知，而前者給出的數(shù)值接近理論值但又顧及了隨機因素．

表3 學(xué)生在T2中的作答表現(xiàn)編碼

2.4 信度

以Cronbach’s系數(shù)為指標(biāo)考察各題目的內(nèi)部一致性．結(jié)果表明：該測試具有較高的同質(zhì)性信度（=0.766）．

3 研究結(jié)果

3.1 學(xué)生在“定性判斷”任務(wù)上的作答描述統(tǒng)計

對學(xué)生在T1上的作答表現(xiàn)進行統(tǒng)計．結(jié)果表明，學(xué)生在該任務(wù)上的作答表現(xiàn)良好，大都能夠定性地判斷各結(jié)果的概率相對大小，分別有85.9%、73.4%及84.4%的被試能夠在Q1T1、Q2T1及Q3T1上判斷正確．但依然值得注意的是，尚分別有17.2%及14.1%的被試在Q2T1和Q3T1中選擇了“一樣大”，而這個選項也是學(xué)生在該問題上的主要錯誤作答，后文將對此詳細闡述．

3.2 學(xué)生在“理論計算”任務(wù)上的作答描述統(tǒng)計

對學(xué)生在T2上的作答表現(xiàn)進行統(tǒng)計，詳見表4．結(jié)果表明，學(xué)生在Q1T2的作答正確率達到90%以上，而在Q2T2和Q3T2上的作答正確率則為50%~60%．從給出的解釋來看，他們通常能夠結(jié)合直觀圖示，想象球下滑的過程并對其在每個分岔口的可能走向進行分類討論．例如，02號被試認為：因為球在第一個分口時，左右兩邊各有50%的概率，而在第二個分口，則還有50%的可能掉入左右兩邊，則第一次機（幾）率為1/2，第二次左右掉入的機（幾）率也為1/2，乘起來就是1/4．值得提及的是，該被試還在插圖的每個分岔口處進行了標(biāo)記，可見這是十分規(guī)范的策略．

表4 學(xué)生在T2的典型表現(xiàn)

注：鑒于Q1T2中各盒子接到球的理論概率本身即相等，作答中的類型3僅針對Q2T2和Q3T2．

3.3 學(xué)生在“數(shù)量估計”任務(wù)上的作答描述統(tǒng)計

對學(xué)生在T3上的作答表現(xiàn)進行統(tǒng)計，詳見表5．結(jié)果表明，有10%~20%左右的學(xué)生能夠給出研究者所希望看到的合理估計值，而50%~60%的學(xué)生則給出了理論值；有15%~20%的學(xué)生雖然給出了估計值，但偏離理論值太多；此外另有5%~10%的學(xué)生在Q2T3和Q3T3中給出了3個相等（或十分接近）的估計值，即表現(xiàn)出“等可能性偏見”．

表5 學(xué)生在T3的典型表現(xiàn)

注：鑒于Q1T3中各盒子接到球的理論概率本身即相等，不存在某一個盒子接到球概率更大的情況，作答中的類型2和類型4僅針對Q2T3和Q3T3．

4 結(jié)論與討論

4.1 學(xué)生在“理論計算”任務(wù)上表現(xiàn)差強人意但暴露出兩類典型錯誤

對于六年級學(xué)生而言，他們在“理論計算”任務(wù)上的作答表現(xiàn)差強人意．但在Q2T2與Q3T2的作答中則遇到了困難，具體表現(xiàn)出兩類典型錯誤．

第一類錯誤是“等可能性偏見”．Lecoutre在他的研究中將“等可能性偏見”定義為：在進行隨機試驗時，人們總是傾向于認為各結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的[16]．例如，從一個裝有2個黑球和2個白球的盒子里同時摸出2個球，理論上摸出“1個黑球和1個白球”的概率大于“2個白球”．然而當(dāng)人們沒有顧及到“1個黑球和1個白球”實際上包含了4種基本組合方式，他們傾向于認為兩者的可能性是相等的．李俊在他的研究中則進一步指出[17]：一般意義上的“等可能性偏見”是指“人們總是基于‘50—50’（‘一半一半’）的思維模式而認為隨機試驗所有可能結(jié)果的概率均為1/2”，然而另一種“等可能性偏見”則表現(xiàn)為“他們根據(jù)自己所能夠列舉的所有可能結(jié)果的個數(shù)（），斷定這些結(jié)果的概率均為1/”．“等可能性偏見”在人們的概率認知中十分頑固且難以消除[16]，并且已有研究一再證實人們的這種錯誤認知在不同任務(wù)情境中廣泛存在[18-20]．這在研究中再度得到證實．Q2T2和Q3T2中均有15.6%的被試給出了“3個盒子接到球的概率均為1/3”的答案，這正是李俊的研究中所提及的后一類“等可能性偏見”．這表明，學(xué)生沒有從理論概率的計算出發(fā)，沒有顧及到在第一個分岔口時球落到盒子C的概率是50%，而是一味地認為“所有的結(jié)果概率相等”．例如，52號被試在Q2T2中給出的解釋為“3條道路，每一條道相同，每一個盒子只有一個管道，所以可能性相同”．可見，該被試沒有考慮球在每個分岔口處不同走向的概率大小，而是將“3”個盒子（管道）和“1”個球建立不當(dāng)聯(lián)系，錯誤地認為每個盒子接到球的概率均為1/3．再例如，11號被試在Q3T2中的解釋是“1個球在中間，（球落到每個盒子里）都有可能”．可見，該被試一方面僅考慮到游戲裝置的對稱性以及所關(guān)涉的對象——“1”個球和“3”個盒子，而沒有對球下滑的過程進行分類討論；另一方面，該被試錯誤地將“都有可能”與“可能性大小相等”建立聯(lián)系，其潛臺詞或許是“既然都有可能，那么可能性大小相等”．

第二類錯誤表現(xiàn)為：他們能夠判斷出3個盒子接到球的概率相對大?。ɡ?，Q2T2中A、B、C三個盒子接到球的概率之比為1:1:2），但給出的概率有誤．從表4可知，尤其在Q3T2中，出現(xiàn)該類錯誤的學(xué)生百分比甚至高于“等可能性偏見”的百分比．需要指出的是，在該類錯誤作答中，學(xué)生給出的具體概率則千差萬別．例如，被試35在Q2T2中給出的答案是“A盒子1/3，B盒子1/3，C盒子2/3”，他給出的解釋是“因為A、B兩個盒子上面一部分連在一起（因而均分了接到球的概率），而C盒子的管道是單獨的”．可見，該被試能夠大概理解C盒子接到球的概率為A、B兩個盒子接到球的概率之和．換言之，他意識到球在經(jīng)過第一個分岔口時有兩種可能的走向：一種是滑向C盒子，一種是滑向A盒子或B盒子．但遺憾的是，他沒有根據(jù)球的下滑過程準(zhǔn)確計算其落到3個盒子里的概率，而僅給出了一個模糊的答案．再例如，40號被試在Q3T2中給出的答案是“A盒子1/3，B盒子2/3，C盒子1/3”，其理由是“因為B盒子有兩個管道連著它，掉下去的可能性更大”；而02號被試在該問題上給出的答案是“A盒子1/8，B盒子1/4，C盒子1/8”，其理由是“因為無論球在左邊還是右邊，都有機（幾）率進入B盒，而A和C則沒有”．可見，盡管這類被試能夠粗略地感受到球落入B盒子的概率更大，且理論上而言其概率為球落到A、C盒子的概率之和，但他們在概率的計算上沒有找到可靠的方法．

4.2 “理論計算”能力是“數(shù)量估計”的先決條件但對隨機性的認知在此過程中也不可或缺

在3個題目中，學(xué)生在Q1T3中給出合理估計值（類型6）的百分比最高．具體而言，分別有15名、8名及10名被試在Q1T3、Q2T3及Q3T3中給出了合理估計值，而分別有100%、75%及70%的上述被試在各個題目的T2中作答正確．換言之，在T3中給出合理估計值的學(xué)生，大都發(fā)展了“理論計算”的能力．例如，13號被試給出的估計值是“A盒子23個，B盒子24個，C盒子25個，D盒子28個”，他給出的理由是“因為我認為可能性都是1/4，但也不可能都一樣，（所以我覺得）都是25左右”；15號被試給出的估計值是“A盒子27個，B盒子24個，C盒子23個，D盒子26個”，他給出的理由是“因為球有機率的落在這4個盒子里，100個球等分在4個盒子里的機率很小”；23號被試給出的理由則更加直白有趣，“因為（理論上）可能性每個都一樣，但如果真的一樣了，那是奇跡”．可見，“理論計算”是學(xué)生進行“數(shù)量估計”的先決條件，對隨機性的良好認知也是他們做出最佳估計的必備要素．

學(xué)生在Q2T3和Q3T3中給出合理估計值的百分比相對較低，分別為12.5%和15.6%．從給出的解釋來看，基本和Q1T3類似，學(xué)生一般是在“理論計算”的基礎(chǔ)上進而做出合理估計的．例如，13號被試在Q2T3中給出的估計值是“A盒子22個，B盒子24個，C盒子54個”，他給出的理由是“我認為A、B兩盒可能性都是1/4，而C盒為1/2，所以A、B兩盒在25左右，C盒在50左右”．再例如，03號被試在Q2T3中給出的估計值是“A盒子25個左右，B盒子25個左右，C盒子50個左右”，她給出的理由是“第一個支管把100個球分成了兩堆50個左右，第一條支管下有A、B兩支管便把50個分成了（兩堆）25個左右，第二條支管只有C盒，所以C盒是50個左右”．

如前所述，在“數(shù)量估計”任務(wù)中表現(xiàn)好的學(xué)生，大都發(fā)展了“理論計算”的能力．但這并不意味著對“理論計算”有良好認知的學(xué)生，都能夠在“數(shù)量估計”任務(wù)中有良好的表現(xiàn)——因為除了“理論計算”以外，學(xué)生還需要對隨機性有良好的認知．為了更深刻地說明這一點，有針對性地選定在T2中作答正確的被試進行深入考察，統(tǒng)計了其在T3中的作答分布（僅討論“給出合理估計值”和“給出理論值”這兩種表現(xiàn)），詳見表6．結(jié)果表明：在T2中作答正確的學(xué)生群體中，大致有20%的被試能夠在“數(shù)量估計”任務(wù)中給出合理的估計值，而有65%的被試則僅能給出理論值．

表6 T2中作答正確的被試在T3中的作答分布

4.3 學(xué)生的概率直覺在“數(shù)量估計”任務(wù)中扮演著重要角色

并非所有在T2中作答錯誤的被試在T3中均表現(xiàn)不佳．學(xué)生之所以能夠給出合理的估計值，這并非全然說明他們具備了對“理論計算”的良好認知——他們的概率直覺也扮演著重要角色．換言之，他們并非都是基于“理論計算”而給出合理估計值的，也有可能是憑借良好的概率直覺作出估計，而這種直覺也是十分重要的．為了說明這一點，針對性地選定在T2中作答錯誤的被試進行深入考察，統(tǒng)計了其在T3中的作答分布（僅討論“給出合理估計值”和“給出理論值”這兩種表現(xiàn)），詳見表7．結(jié)果表明：在T2中作答錯誤的學(xué)生群體中，有些被試能夠在T3中給出合理估計值，即便不能給出合理估計值，尚有相當(dāng)部分的被試能夠給出理論值．從這個角度而言，雖然有些學(xué)生在“理論計算”任務(wù)中表現(xiàn)不佳，但他們往往能夠在“數(shù)量估計”任務(wù)中表現(xiàn)尚可．這說明，對于高階概率內(nèi)容，學(xué)生可能在“理論計算”上存在困難，但他們往往保有對概率的良好直覺，對“數(shù)量估計”有較好的潛能．這也證實了最初的假設(shè)．

表7 T2中作答錯誤的被試在T3中的作答分布

5 啟示與建議

5.1 六年級學(xué)生高階概率內(nèi)容認知的潛能與局限并存

六年級學(xué)生在“理論計算”任務(wù)上表現(xiàn)差強人意，尤其在Q1T2中的正確率高達90%以上．從作答的策略來看，部分學(xué)生能夠結(jié)合圖示想象球下滑的過程并對每個分岔口時球的可能走向進行分類討論．六年級學(xué)生在“數(shù)量估計”任務(wù)上的表現(xiàn)也是可圈可點的．以Q2T3和Q3T3為例，如果把類型5的作答也視為一種高水平作答，則分別有73.4%和65.6%的被試基本能夠較好地進行概率的“數(shù)量估計”．而學(xué)生在Q2T2和Q3T2中的正確率分別僅為51.6%和57.8%，這意味學(xué)生在“數(shù)量估計”任務(wù)中的表現(xiàn)甚至優(yōu)于“理論計算”任務(wù)．這也說明，學(xué)生在“數(shù)量估計”任務(wù)上較“理論計算”任務(wù)有更好的認知潛能．

當(dāng)然，還應(yīng)該看到學(xué)生在高階概率任務(wù)中表現(xiàn)出的認知局限．第一類局限可以概括為“等可能性偏見”．以Q2T2和Q3T2為例，在“理論計算”任務(wù)中，不少學(xué)生僅從球的個數(shù)“1”和盒子的個數(shù)“3”出發(fā)，沒有顧及球在管道中下滑時進入不同盒子的相對概率有所不同，進而表現(xiàn)出“等可能性偏見”．這部分學(xué)生沒有認識到積事件概率計算的“過程性”，而是模糊地認為“球的個數(shù)除以盒子的個數(shù)即為每個盒子接到球的概率”．在“數(shù)量估計”任務(wù)中，學(xué)生的作答也表現(xiàn)出上述“等可能性偏見”，但是其百分比相較T2而言則明顯較低．具體而言，分別也有15.6%和6.3%的學(xué)生在Q2T2和Q2T3中表現(xiàn)出“等可能性偏見”，分別有15.6%和10.9%的學(xué)生在Q3T2和Q3T3中表現(xiàn)出“等可能性偏見”．第二類局限可以概括為“隨機性認知的缺失”．在“數(shù)量估計”任務(wù)中，多數(shù)學(xué)生僅給出理論值，這說明他們盡管具備了“理論計算”的能力，但對隨機性的認知尚且不足，傾向于基于絕對化、確定性的思維方式解釋概率問題．換言之，雖然隨機試驗的特征是一次試驗結(jié)果的不確定性和大量重復(fù)試驗結(jié)果的穩(wěn)定性，但這里的穩(wěn)定性不等于絕對性．

5.2 教學(xué)應(yīng)呵護學(xué)生的概率直覺可通過計算機等直觀模擬技術(shù)滲透概率思維

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程尚未涉及高階概率內(nèi)容．研究者當(dāng)然不主張過早地將這些內(nèi)容納入中小學(xué)數(shù)學(xué)課程，但在直觀圖示下的數(shù)學(xué)任務(wù)中，六年級學(xué)生對這些內(nèi)容的認知有一定潛能，在解答策略上也有令人欣喜之處．學(xué)生在“數(shù)量估計”任務(wù)的作答體現(xiàn)出了其概率認知的局限性——他們難于意識到100個球下滑時進入各個盒子的個數(shù)不大可能恰好是理論值，而這也恰恰反映了他們對隨機性認知的不足．這是否值得研究者深思：如何在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)理性精神和嚴(yán)謹(jǐn)思維的同時，呵護他們對隨機性的良好直覺？

從直觀任務(wù)的設(shè)計來看，研究所采納的直觀圖示不妨一試．當(dāng)然，如果借助計算機模擬的直觀動畫呈現(xiàn)球下滑的動態(tài)過程或許有更好的效果．而如果這樣的話，或許對學(xué)生在T3上的作答也大有裨益．

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Sixth Graders’ Cognition of High-Level Probability: Potential and Limitations

HE Sheng-qing

(Faculty of Education, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

This study selected 64 sixth graders as the subjects and explored their understanding of high-level probability in schema-based tasks. The results showed that, sixth graders’ performance on calculation of theoretical probability were basically good but they also exhibited two typical erroneous cognition; their ability on calculation of theoretical probability was the prerequisite of probability evaluation but it their cognition of randomness was still necessary during this process; their probability intuition played important role in finishing probability calculation tasks. Implications and suggestions for mathematics education were: students’ cognition of high-level probability in schema-based tasks exhibited some potentials accompanied with limitations; teachers should respect students’ probability intuition and protect their good cognition of randomness, and cultivate their probability thinking by technology and other vivid ways.

6thgraders; probability cognition; schema-based tasks; conditional probability

2018–02–10

北京師范大學(xué)未來教育高精尖創(chuàng)新中心項目——中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科診斷分析工具開發(fā)與應(yīng)用研究（BJAICFE2016SR-008）

何聲清（1988—），男，安徽安慶人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．

G622

A

1004–9894（2018）03–0057–05

何聲清．六年級學(xué)生對高階概率內(nèi)容的認知：潛能與局限[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2018，27（3）：57-61．

[責(zé)任編校：周學(xué)智]