針對初中畢業(yè)階段學(xué)生范希爾幾何思維水平的調(diào)查及其分析

王紅兵

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針對初中畢業(yè)階段學(xué)生范希爾幾何思維水平的調(diào)查及其分析

王紅兵

（江蘇省南京市教學(xué)研究室，江蘇 南京 210001）

依托于南京市2017年中考的一道開放性試題，根據(jù)“范希爾幾何思維水平”理論，首先，論證了該試題被用于評估的合理性，其次，將不同的解答方法與各思維層次匹配，同時，在評卷過程中采用了方法分進(jìn)行輔助診斷，在此基礎(chǔ)上，采用隨機(jī)抽樣，對374份答卷運(yùn)用多種量化方法展開分析，探索了處在初中畢業(yè)階段學(xué)生幾何思維水平表現(xiàn)傾向的實(shí)然狀態(tài)．結(jié)果表明，對處在初中畢業(yè)階段的學(xué)生：幾何思維傾向于且能正確地表現(xiàn)出層次2的最多；同一層次內(nèi)的思維仍具備多樣性，其多樣化程度取決于該層次內(nèi)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度，與層次的高低沒有直接聯(lián)系；思維水平在持續(xù)發(fā)展與進(jìn)階，但隨著層次的增加，細(xì)節(jié)上的瑕疵也在增加；思維水平的表現(xiàn)傾向具有偶然性與不穩(wěn)定性．

思維水平；幾何思維；初中畢業(yè)；表現(xiàn)傾向

20世紀(jì)50年代，荷蘭的范希爾夫婦曾將幾何思維劃分為5個水平[1-2]，具體見表1．

表1 幾何思維劃分

該理論既可用于診斷學(xué)習(xí)者的幾何思維水平也可以作為教學(xué)活動設(shè)計的依據(jù)，其中，前者是后者的前提．國際數(shù)學(xué)教育界采用該理論進(jìn)行幾何能力評估時的方式往往是針對每個水平設(shè)計出相應(yīng)的試題，然后考查學(xué)習(xí)者是否能答對某個水平大于或等于五分之三的題目，從而判定其思維所處層次[3]．但這種方式卻存在著兩個局限：一是盡管單一化的試題情境具備了針對性但卻人為限制了學(xué)習(xí)者的思維，使得既不能夠以此了解群體的思維水平分布，也無法洞察個體思維的廣闊程度；二是這樣的評估過程涉及到試題與水平、解答與水平兩次匹配，即使經(jīng)過專家鑒定及多次認(rèn)證，但因評價者的能力差異，仍會產(chǎn)生較大誤差[4]．所以，為了規(guī)避上述兩點(diǎn)，可以設(shè)置在情境[5]和知識上覆蓋面較廣且方法可能涉及多個思維層次的開放性試題并僅對解答進(jìn)行水平匹配．這樣，學(xué)習(xí)者就有機(jī)會綜合運(yùn)用自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)解決問題從而在此過程中表現(xiàn)出自然且完整的思維狀況，繼而所得的幾何能力評估才是全面而真實(shí)的．另外，由于思維始終是內(nèi)隱的，試題能夠檢驗(yàn)的其實(shí)是思維水平的外在表現(xiàn)傾向．基于以上認(rèn)識，研究者在2017年的中考中命制了如下試題并在評卷過程中收集了若干數(shù)據(jù)及典型案例，嘗試依托于范希爾理論對處在初中畢業(yè)階段學(xué)生的幾何思維水平表現(xiàn)傾向作出特征性描述．

1 試題呈現(xiàn)

“直角”在初中幾何學(xué)習(xí)中無處不在．

如圖，已知∠．請仿照小麗的方式，再用兩種不同的方法判斷∠是否為直角（僅限用直尺和圓規(guī)）．

2 研究合理性分析

2.1 試題設(shè)計蘊(yùn)含思維價值

該題以“構(gòu)圖＋說明”的方式考查直角的判定．在考查內(nèi)容上，直角是最常見的幾何基本元素之一，從七年級最簡單的垂直定義到九年級圓、相似、銳角三角函數(shù)中的特殊關(guān)系，這一元素貫穿在初中階段整個幾何知識體系中，不同程度學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中都或多或少、或淺或深地存在與此有關(guān)的基本圖形．因此，這一內(nèi)容屬于幾何學(xué)習(xí)的本源性問題解決，入口寬、限定性小、關(guān)聯(lián)性高．在考查方式上，該題以作圖操作代替思考路線的呈現(xiàn)，以陳述作法代替證明過程的書寫，排除了可能出現(xiàn)的細(xì)節(jié)干擾．進(jìn)行正確解答需要學(xué)生能構(gòu)建至少兩條關(guān)于直角的完整概念聯(lián)結(jié)；理解作圖依據(jù)及操作方法；具備一定的圖形建模能力、表征轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力[6]；對數(shù)學(xué)對象有恰當(dāng)?shù)难芯恳暯羌跋鄳?yīng)策略．因此，這一方式既給學(xué)生留出了充分的探索空間也便于他們的幾何綜合能力被全面洞察，旨在以考查思維過程的方式評價他們思維廣闊性、靈活性、深刻性的表現(xiàn)程度與傾向．

2.2 解答方法具備思維層次

該題以直角貫通初中階段幾何學(xué)習(xí)的各個版塊，而因版塊間的次序性及進(jìn)階性使得不同的方法具備了相異的思維含量并區(qū)分出了天然的思維層次．從解答的總體脈絡(luò)來說，由于“直角”從數(shù)量關(guān)系上看是90°，從位置關(guān)系上看是垂直，所以主要有從數(shù)量到直角，從位置到直角，從對稱到直角三條主線，第三條線兼有前二者．從解答的具體策略來說，這3條主線中各自包含的若干方法又因使用了不同的幾何構(gòu)圖要素和關(guān)系網(wǎng)絡(luò)而產(chǎn)生了不同的操作范疇與主要表現(xiàn)，這就使得解答自然體現(xiàn)出了思維層次．為了讓學(xué)生體會到多樣化的視角，示例“小麗的方法”中包含了從層次1~3的3種理解方式：從圖形的概念與特性來說，該作法利用了“到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”；從性質(zhì)間的關(guān)系來說，該作法利用了“等腰三角形三線合一”；從單一公理化系統(tǒng)來說，該作法利用了“SSS”證明兩個三角形全等[7]．對于示例的理解，由于思維水平不一的學(xué)生其內(nèi)在識別角度不同，獲得的思路啟示不同，從而得到相異的構(gòu)圖與作法陳述，而這就外顯了不同的思維表現(xiàn)傾向．

綜上，因該試題的設(shè)計在考查內(nèi)容及方式上都蘊(yùn)含較為豐富的思維價值；其解答在操作范疇和具體表現(xiàn)上都可區(qū)分出不同的思維層次，故可用于測試處在初中畢業(yè)階段學(xué)生的范希爾幾何思維水平表現(xiàn)傾向的實(shí)然狀態(tài)．

3 研究方法

3.1 研究對象

參加測試的總體是南京市2017年參加中考的46?987名考生的該題解答，該題滿分8分，占整卷總分6.67%，全市得分率56.7%，均分4.54分．當(dāng)置信度為95%、標(biāo)準(zhǔn)差取0.5、誤差率取5%時算得所需樣本約為357份（精確到個位）．該研究在評卷過程中隨機(jī)抽取了374份樣本解答，故置信度超過95%．樣本均分4.62分，經(jīng)檢驗(yàn)，與市均分無顯著性差異．基于上述兩點(diǎn)，該研究的樣本能夠代表總體．

3.2 評分標(biāo)準(zhǔn)

由于該題旨在以問題解決的形式洞察學(xué)生的幾何思維水平表現(xiàn)傾向，重點(diǎn)并非考查邏輯推理與表述論證的能力，所以吸取了TIMSS雙重計分制[1]的理念，盡可能地不僅關(guān)注到操作的正確程度，還力求通過方法分來輔助診斷．同時，該題采用了PISA評分中的“無錯假設(shè)”和“有利推斷”兩項原則[8]在解答方法正確的前提下對出現(xiàn)的微差錯降低其失分．雖然在目前的中考評分體系要求下該評分方式受到限制[9]，但研究者仍盡量最大化了其實(shí)施．具體評分標(biāo)準(zhǔn)如下．

（1）兩種不同方法每種各4分；（注：“不同”指構(gòu)圖依據(jù)不相同）

（3）每種方法中，方法分3分，作圖與表述規(guī)范出現(xiàn)錯誤最多扣1分；

（4）若方法正確，但過程中涉及對角度的度量，則該方法僅計1分；

（5）方法分中，與操作過程相關(guān)部分計2分，與說理過程相關(guān)部分計1分．

3.3 水平匹配

根據(jù)范希爾幾何思維水平中各層次的操作范疇與該試題解答各方法中具體策略的對應(yīng)關(guān)系，將各策略與思維水平匹配如表2所示．

表2 各策略與思維水平匹配情況

注：（1）層次0在該題解答的表現(xiàn)指“看起來像直角”或“畫了直角能夠與∠重合”及類似表述；（2）該題解答不涉及層次4的表現(xiàn)．

4 研究結(jié)果及分析

該研究的結(jié)果及分析基于以下基本假設(shè)．

（1）正確解法若可以歸為某層次，則表示能達(dá)到該層及以下思維水平，但不表示不能達(dá)到該層以上的思維水平，即：正確解法的層次歸類表現(xiàn)的是思維傾向；

（2）錯誤解法若可以歸為某層次，則表示不能達(dá)到該層及以上思維水平，即：錯誤解法的層次歸類表現(xiàn)的是思維限定；

（3）由于該測試旨在以方法的正誤判斷學(xué)生的思維水平，因此，如下統(tǒng)計中所指的“正確（對）”解法包含思路正確但有細(xì)節(jié)錯誤的解法；

（4）基于上文對研究對象的分析，該研究的樣本可以代表總體．

該研究的結(jié)果及其分析如下．

4.1 樣本試卷的類型

關(guān)于樣本試卷類型的數(shù)據(jù)結(jié)果如表3所示．

表3 關(guān)于樣本試卷類型的數(shù)據(jù)結(jié)果

注：3種類型的試卷共計374張．

表3表明，樣本中接近一半（44.7%）的考生可以用兩種方法以“構(gòu)圖＋說明”的方式判定直角，所占比例次之的是兩種方法都寫了但有一種思路完全錯誤的（29.4%），排位第三的是寫了兩種方法但卻都完全錯誤的（17.1%），之后依次是寫了一種但錯誤（3.5%）以及完全不作答的（5.3%）．

從數(shù)據(jù)可以推斷出：全市接近一半處在初中畢業(yè)階段學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中同時以圖形和符號兩種表征形式至少存儲了兩條關(guān)于直角的完整概念聯(lián)結(jié)并能根據(jù)需要調(diào)用；但也有相當(dāng)部分的學(xué)生至多只能夠正確調(diào)用或僅儲備了一條概念聯(lián)結(jié)；呈現(xiàn)空白答卷可能是由于答題意愿較弱，不理解題意，沒有關(guān)于直角的足夠知識儲備，考慮到時間限制，調(diào)用聯(lián)結(jié)耗時過長也是因素之一．

4.2 正確解法的水平類別

關(guān)于正確解法水平類別的數(shù)據(jù)結(jié)果如表4所示．

表4 關(guān)于正確解法水平類別的數(shù)據(jù)結(jié)果

注：正確解法共計167×2＋110＝444個．

對于各層次的解法，舉例如下：“如圖1，過作⊥．若和重合，則∠＝90°．”的作圖方法是“過一點(diǎn)作一條直線與已知直線垂直”，利用了垂直的概念，屬于層次1的策略．“如圖2，在、上分別取點(diǎn)、，以為直徑畫圓．若點(diǎn)在圓上，則∠＝90°．”的作圖依據(jù)是“直徑所對的圓周角是直角”，運(yùn)用了圓周角的性質(zhì)，屬于層次2的策略．“如圖3，在、上任取兩點(diǎn)、，連接．另作△′′′，使得∠′′′＝90°，′′＝2，∠′＝∠．若′′＝2，則∠＝90°．”的作圖依據(jù)是“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”和“相似三角形的對應(yīng)角相等”，運(yùn)用了相似三角形的判定與性質(zhì)，屬于層次3的策略．

從表4可以看到，一方面，無論是思路與細(xì)節(jié)都正確還是存在細(xì)節(jié)錯誤，層次2的解法都是學(xué)生最傾向于表現(xiàn)出的，合計占比46.6%，層次1次之（29.7%），最不傾向于表現(xiàn)出層次3（23.7%），但后兩者差別不大；另一方面，在3個層次內(nèi)，思路與細(xì)節(jié)都正確占比是存在細(xì)節(jié)錯誤占比的倍數(shù)依次是5.32、4.89、3.55．

在基本假設(shè)（1）和（3）的前提下，可以推斷出：由于層次2覆蓋了初中階段大部分獨(dú)立的幾何研究對象，而每種對象中都涉及與直角有關(guān)的知識，因此，群體性的層次2傾向表明了處在初中畢業(yè)階段學(xué)生對這些獨(dú)立對象有一定的知識儲備以及研究經(jīng)驗(yàn)與能力；相較于將幾何對象聯(lián)合起來考慮（層次3），學(xué)生更愿意呈現(xiàn)對幾何基本構(gòu)圖元素的認(rèn)識（層次1）；隨著思維層次的增加，出現(xiàn)細(xì)節(jié)錯誤的可能性在增加，這說明由于學(xué)生思維仍然處于發(fā)展中，在這段時間里，當(dāng)需要兼顧的思考角度變多時，思考的內(nèi)容會有所遺漏或產(chǎn)生差錯．

圖1

圖2

圖3

4.3 兩法全對中的水平組合

關(guān)于兩法全對中水平組合的數(shù)據(jù)結(jié)果如表5所示．

表5 關(guān)于兩法全對中水平組合的數(shù)據(jù)結(jié)果

注：兩法全對試卷張數(shù)共計167張．

從表5中水平組合的6種分布來看，對于單張試卷來說，兩種方法同時都最傾向于屬于層次2（30.5%），這與表4的結(jié)果一致．而跨越了層次2的“1＋3”百分比（18.6%）略高于“1＋2”（18.0%），最少的組合是兩種方法都屬于層次3的（6.5%）．

依托于基本假設(shè)（1），作如下推斷：對于獨(dú)立的幾何研究對象，如圓、矩形、等腰三角形等，它們的研究過程具有可類比性，研究方法具有可推廣性，因此容易從一個對象聯(lián)想到另一個對象；當(dāng)個體知道不同的思維水平都能解決問題時，可能會不自覺表現(xiàn)出自己思維的最高層次；但個體的思維存在著波動性，保持高層次水平的思考有一定難度．

4.4 正確解法的水平分布

從圖4和圖5的對比中可以看出，第一，對于正確的解法，按傾向呈現(xiàn)程度從高到低排列都是層次2、層次1、層次3，數(shù)值差異性不大；第二，層次1在一對一錯中的呈現(xiàn)要高于兩法全對中的，層次2反之；第三，層次3在兩種情況下的占比幾乎沒有差別．

可作這樣的推斷：與前文一致，處于初中畢業(yè)階段的學(xué)生傾向利用圖形性質(zhì)間的關(guān)系解答幾何題目并能保持一定的正確率；解題策略的多樣化且正確程度與學(xué)生的思維層次有一定的關(guān)系，但這種關(guān)系更多地表現(xiàn)在中低水平上，與高水平的思維關(guān)聯(lián)度不高．

注：兩法全對中解法共167×2＝334個．

注：一對一錯中解法共110個．

4.5 錯誤解法的類型

關(guān)于錯誤解法類型的數(shù)據(jù)結(jié)果如表6所示．

表6 關(guān)于錯誤解法類型的數(shù)據(jù)結(jié)果

注：錯誤解法共計110＋13＋64×2＝251個．

對于學(xué)生思路上的錯誤，將其分成了層次0、條件錯誤、結(jié)論錯誤3類．“層次0”無法用來解答該題，所以單列．因?qū)W生只要給出了圖形，大部分均可描述出圖形的形成過程，且該題重在方法分，故“圖形描述錯誤”不屬思路錯誤．如示例“小麗的方法”以“若…則…”形式進(jìn)行說明，“若”后內(nèi)容錯誤屬“條件錯誤”，典型的條件錯誤是給出了用尺規(guī)作圖在該題不可檢測的條件，如45°、相切、平行等．例如，“如圖6，在上取一點(diǎn)，過點(diǎn)作⊥．若∥，則∠＝90°．”“則”后內(nèi)容錯誤屬“結(jié)論錯誤”，即作圖依據(jù)錯誤，從層次1到層次3的典型結(jié)論錯誤分別如：用直尺測量長度（直尺無刻度，不能測量長度）、有一組對角為90°且鄰邊相等的四邊形是矩形（判定矩形的方法錯誤）；如圖7，在、上任取兩點(diǎn)、，連接．作的垂直平分線．若過點(diǎn)，則∠＝90°（僅能利用全等得到∠＝∠）．

圖6

圖7

從表6可以看到，層次0的錯誤占比最少（3.6%）．占比最多的是結(jié)論中的層次2錯誤（29.5%）和條件錯誤（29.1%），基本持平．處于中間段的是結(jié)論中的層次1（19.5%）和層次3（18.3%）錯誤，前者略高．

在基本假設(shè)（2）的前提下，可以推斷出：處于初中畢業(yè)階段的學(xué)生仍有極少部分的思維水平停留在層次0；大部分學(xué)生的思維水平處在發(fā)展中，在未達(dá)到理想水平的學(xué)生群體中，向?qū)哟?過渡的學(xué)生最多，向?qū)哟?和3過渡的居后；而由于達(dá)到層次3的標(biāo)志之一是“理解證明中的必要與充分條件”，故若給出錯誤條件則可判定學(xué)生思維僅處在層次2，因此大部分產(chǎn)生錯誤解答的學(xué)生思維水平處在層次2（19.5%＋29.1%）．

4.6 總體中的若干數(shù)據(jù)

關(guān)于總體中若干的數(shù)據(jù)結(jié)果如表7所示．

表7 關(guān)于總體中若干的數(shù)據(jù)結(jié)果

注：“按總分區(qū)間”指將全市考生的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)從高到低以21%、40%、24%、15%區(qū)分為A、B、C、D四個檔次．

由表7可知，在前3類中：考慮到全市平均得分率是56.7%，女生的思維水平相對優(yōu)于男生，但差異有限，且對市均分影響不大；民辦學(xué)校考生的思維水平整體超過公辦學(xué)校學(xué)生較多，但由于其數(shù)量相對較少，故對市均分影響不大；城市學(xué)校優(yōu)于城鎮(zhèn)學(xué)校，農(nóng)村學(xué)校居末，且遠(yuǎn)低于全市平均得分率，由于農(nóng)村學(xué)校較多故對市均分產(chǎn)生一定影響．

對于按總分區(qū)間得到的4個檔次，得分率呈明顯差異，從數(shù)值可知：A檔學(xué)生一般只存在細(xì)節(jié)錯誤，兩種方法思路均正確；B檔學(xué)生可能兩種方法都存在細(xì)節(jié)錯誤或是有一種方法思路錯誤；C檔是一種方法思路錯誤，另一種細(xì)節(jié)錯誤；D檔則基本全錯，可能存在部分步驟與解答相關(guān)．結(jié)合圖8的全市得分率曲線可以進(jìn)一步得知3點(diǎn)：一是該題得分率不存在區(qū)分點(diǎn)，因此效度較好；二是在第一點(diǎn)的前提下，學(xué)生的初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平與幾何思維水平基本呈正相關(guān)；三是處于初中畢業(yè)階段的學(xué)生群體其幾何思維水平呈分散態(tài)勢，但有向較高水平轉(zhuǎn)化的趨向．

圖8 全市得分率曲線

5 結(jié)論與討論

由于該研究樣本對總體的代表性，從上面的數(shù)據(jù)分析與推斷，可以得到如下結(jié)論．

（1）對處于初中畢業(yè)階段的學(xué)生來說，其幾何思維傾向于且能正確地表現(xiàn)出層次2的居多，層次1次之，最少的是層次3．這指的是盡管他們可能擁有更高水平的思維，但是會不自覺且以恰當(dāng)?shù)姆绞酵ㄟ^聯(lián)系圖形性質(zhì)間的關(guān)系來解決問題．當(dāng)無法建立幾何對象及其性質(zhì)的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)時，能夠利用圖形的概念或獨(dú)立特性．對他們來說，最難以想到的是在整個初中幾何體系中通過搭建對象與對象間的關(guān)系解決問題．

（2）處于初中畢業(yè)階段學(xué)生的范希爾幾何思維水平在同一層次內(nèi)具備多樣性，而多樣化程度取決于該層次內(nèi)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度，與層次的高低沒有直接聯(lián)系．這指的是在同一思維層次內(nèi)學(xué)生可以利用認(rèn)知結(jié)構(gòu)內(nèi)不同的概念聯(lián)結(jié)解決同一個問題，當(dāng)獨(dú)立的概念聯(lián)結(jié)越多時層次內(nèi)能夠建立的結(jié)構(gòu)化推理個數(shù)越多．

（3）處于初中畢業(yè)階段的學(xué)生，其思維水平在持續(xù)發(fā)展與進(jìn)階，但隨著層次的增加，思維細(xì)節(jié)上的瑕疵也在增加．這是指除了一些特別優(yōu)秀的學(xué)生以外，若表現(xiàn)出越高層次的解決方法，則越有可能出現(xiàn)細(xì)節(jié)錯誤，這也說明了此時大部分學(xué)生思維仍然不完美，有繼續(xù)學(xué)習(xí)與修正的必要性與可能性．

（4）處于初中畢業(yè)階段學(xué)生，其思維水平的表現(xiàn)傾向具有偶然性與不穩(wěn)定性．偶然性指的是他們的思維易受其它因素的干擾，如答題時間、答題意愿、實(shí)現(xiàn)思考過程的繁瑣程度等；不穩(wěn)定性指的是盡管可能思維達(dá)到了更高層次，但是在解決問題時仍然不能持續(xù)保持處于該層次的思考，會外顯出較低層次的思維傾向．

由于評分標(biāo)準(zhǔn)及樣本的限制，該研究仍存在著值得進(jìn)一步討論的地方：從研究方法角度，采用此種類型的開放性試題檢驗(yàn)學(xué)生的思維水平表現(xiàn)傾向是一個嘗試但仍需進(jìn)一步規(guī)范其命題及評分方式以增加研究結(jié)論的有效性；從思維發(fā)展的角度，有哪些策略能夠幫助學(xué)生完成不同層次之間的過渡以及層次之內(nèi)的深度發(fā)展；從幾何教學(xué)的角度，思維水平表現(xiàn)傾向的揭示對幾何課程設(shè)計、教學(xué)與評價的意義是怎樣的，如何安排教學(xué)序列與呈現(xiàn)方式使得在符合學(xué)生現(xiàn)有水平的基礎(chǔ)上提升他們的外顯性思維表現(xiàn)．

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[7] 中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：33．

[8] 高鳳萍．PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)測試對中國基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的啟示[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2015，24（5）：63-66．

[9] 張惠英，王瑞霖．基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)測評研究——以河北省2017年中考數(shù)學(xué)試題為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2016，26（5）：31-35．

A Survey and Its Analysis on Van Hiele Geometric Thinking Levels of the Students Which Are at the End of Junior High School

WANG Hong-bing

(Teaching and Researching Department of Nanjing, Jiangsu Nanjing 210001, China)

According to the theory of Van Hiele Geometric Thinking Levels and base on an open-ended question in the Senior Entrance Examination of Nanjing in 2017, this paper first argued the rationality for using that question to assess students. Then, it matched different solutions with thinking levels. Meanwhile, the marking process had assigned points by method. On those basis, using random sampling, this paper identified present situations of the tendency on behaviors of the geometric thinking levels of the students which were at the end of junior high school by employing multiple techniques of quantitative data analysis. The results indicated four conclusions. First, among all the levels, most students were willing to show the behavior of Level 2 correctly. Second, although in the same level, thinking ways still had diversity. And, its extent of diversity depends on the complexity of the cognitive structure in that level, not directly relates to the height of the level itself. Third, thinking levels develop and advance sustainably. But it would increase its flaws on the details as the level goes up. Last, the tendency on behaviors of the geometric thinking levels had contingency and instability.

thinking levels; geometric thinking; at the end of junior high school; the tendency on behaviors

2018–06–18

2017年度第十二期江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究立項課題——數(shù)據(jù)驅(qū)動下的ICT與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)融合的設(shè)計研究（2017JK12-L007）；江蘇省教育廳2017年基礎(chǔ)教育前瞻性教學(xué)改革實(shí)驗(yàn)項目——基于證據(jù)的教學(xué)指導(dǎo)（初中數(shù)學(xué)組）

王紅兵（1967—），男，江蘇南京人，高級教師，中學(xué)數(shù)學(xué)教研員，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究．

G622

A

1004–9894（2018）03–0052–05

王紅兵．針對初中畢業(yè)階段學(xué)生范希爾幾何思維水平的調(diào)查及其分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2018，27（3）：52-56．

[責(zé)任編校：周學(xué)智]