時變磁化等離子體的LTJEC-FDTD方法研究

席陽紅，謝國大，徐　輝，黃志祥，吳先良，王麗華

(安徽大學(xué)電子信息工程學(xué)院，安徽合肥　230601)

1　引　言

等離子體是物質(zhì)的第4種狀態(tài)，具有許多獨特的物理化學(xué)特性，是宇宙間絕大部分物質(zhì)存在的狀態(tài)。自1879年發(fā)現(xiàn)以來，等離子體的研究一直是學(xué)者們關(guān)注的焦點，其在微電子、金屬、聚合物、污染治理等諸多領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用價值［1-2］。然而現(xiàn)實中等離子體頻率會隨周圍溫度、時間、空間、外加磁場的變化而變化。外加磁場下的時變磁化等離子體更是一種復(fù)雜的各向異性色散介質(zhì)，對入射電磁波有折射、碰撞吸收、共振吸收等特性，這些特性使得時變磁化等離子體可運用在很多的實際應(yīng)用中，如等離子體濾波器和隱身技術(shù)等方面。同時，時變磁化等離子體也是一種產(chǎn)生太赫茲波源的方法。雖然目前該方法并未被實際應(yīng)用，但是具有非常大的發(fā)展?jié)摿ΑＤ壳皩τ诘入x子體的研究主要是局限于時變等離子體或者磁化等離子體，對于將兩種情況結(jié)合起來的時變磁化等離子體的研究并不多。因此研究時變磁化等離子的特性以及時變磁化等離子體產(chǎn)生太赫茲波源的可行性尤為重要。

目前研究磁化等離子體介質(zhì)電磁特性的時域數(shù)值方法主要為時域有限差分(Finite difference time domain，F(xiàn)DTD)方法，這是由于FDTD方法一次時域計算后用傅里葉變換就能得到整個頻域電磁散射，非常適合寬頻計算。遞歸卷積算法、分段線性電流密度遞推卷積算法、電流密度遞推卷積時域有限差分(JEC-FDTD)、電流密度拉普拉斯時域有限差分(CDLT-FDTD)算法以及基于拉普拉斯變換的電流密度卷積時域有限差分(LTJECFDTD)是目前比較廣泛用于磁化等離子體介質(zhì)的FDTD 算法［3-4］。其中，LTJEC-FDTD 算法是一種將CDLT-FDTD和JEC-FDTD結(jié)合并改進(jìn)的FDTD算法。該算法并沒有規(guī)避掉復(fù)雜的卷積，而是將電流密度卷積簡化處理并與拉普拉斯變換完美結(jié)合［5-6］，同時迭代公式也較為簡潔，在編程上計算效率更高。1997年，Steven A Cummer分析了非磁化等離子體的FDTD算法［7］。2009年，Kalluri應(yīng)用CDLT-FDTD算法研究電磁波在一維時變磁化等離子體中的傳播特性［8］。2015年，楊利霞應(yīng)用LTJEC-FDTD算法分析了磁化等離子體電磁波傳播特性，但未進(jìn)一步分析利用時變磁化等離子體產(chǎn)生太赫茲波［5］。

本文應(yīng)用LTJEC-FDTD算法，對一維時變磁化等離子體進(jìn)行分析。首先介紹了LTJEC-FDTD算法的基本原理，并模擬了調(diào)制的微分高斯脈沖垂直入射磁化等離子體層。通過對比LTJEC-FDTD和CDLT-FDTD兩種算法下的反射系數(shù)及編程上的運行時間，驗證了LTJEC-FDTD算法的正確性及高計算效率性。然后研究了Whistler波在一維時變磁化等離子體中的傳播特性。結(jié)果表明，當(dāng)離子體頻率隨時間指數(shù)衰減后，Whistler波的頻率上升、極化方式不變，同時電場加強(qiáng)、磁場減弱。最后通過優(yōu)化后的等離子體碰撞頻率、等離子體頻率、以及電子回旋頻率，進(jìn)一步提升了Whistler波的輸出頻率并得到頻率為300 GHz的圓極化太赫茲波，為磁化等離子體產(chǎn)生太赫茲波提供了一定的理論依據(jù)。

2　LTJEC-FDTD算法

2.1　 LTJEC-FDTD算法基本原理

在各向異性等離子體介質(zhì)中，相關(guān)的本構(gòu)方程如下［9-11］:

式中，E為電場強(qiáng)度;J為電流體密度;ε0和μ0分別為真空中的介電常數(shù)和導(dǎo)磁率;ν為電子碰撞頻率;ωp(r，t)表示時變等離子體頻率;ωb=(eB0/me)為電子回旋頻率，B0為外部靜態(tài)磁場，e和me分別為電子電量和電子質(zhì)量。對于一維的TEM波，式(1)可寫成矩陣形式:

2.2　數(shù)值驗證

LTJEC-FDTD和CDLT-FDTD兩種算法下模擬TEM波垂直入射到磁化等離子體中的電磁傳播，入射波采用調(diào)制的微分高斯脈沖［12］，傳播模型如圖1所示?？臻g網(wǎng)格總數(shù)為600，磁化等離子體層由網(wǎng)格數(shù)200～400構(gòu)成。計算空間步長Δz為7.5μm，時間步長為Δt為1.25 ps［13-15］。此外在計算空間的兩端各設(shè)10個網(wǎng)格的PML吸收邊界用于吸收截斷邊界產(chǎn)生的反射［16-18］，其余網(wǎng)格為自由空間。磁化等離子體頻率ωp=30×2πGrad/s，電子回旋頻率ωb=10 Grad/s，電子碰撞頻率 ν=5 Grad/s。

圖2(a)、(b)分別為右旋圓極化(RCP)波和左旋圓極化(LCP)波穿過磁化等離子體層的反射系數(shù)。結(jié)果表明，LTJEC-FDTD和CDLT-FDTD兩種算法下的反射系數(shù)基本吻合，驗證了該算法的正確性。圖2(c)為兩種算法的FDTD計算效率對比。為了更明顯地看出兩種算法的計算效率，圖2(c)的縱坐標(biāo)采用10t，其中t為FDTD的計算時間。從對比中可以看出，在相同的時間步長下，LTJEC-FDTD算法運行所用的時間要明顯小于CDLT-FDTD算法所用的時間，計算效率更高。

圖1　等離子體平板傳播模型

圖2　反射系數(shù)圖。(a)RCP波反射系數(shù)振幅圖;(b)LCP波反射系數(shù)振幅圖;(c)計算效率。

3　一維時變磁化等離子體的電磁特性

圖3為填充時變磁化等離子體的一維矩形金屬諧振腔，電磁波傳輸方向與外加磁場的方向均為+z方向。這部分中LTJEC-FDTD的計算空間步長Δz為0.012 cm，時間步長 Δt為 0.000 2 ns。在等離子體變化之前(t＜0)，內(nèi)加RCP駐波如下:

其中m=1;0為相位角;d為金屬板的距離，與波源頻率ω0有如下關(guān)系:

圖3　一維矩形金屬諧振腔計算模型

εp為磁化等離子體中的相對介電常數(shù)［19］:

3.1　 LTJEC-FDTD在時變磁化等離子體中的正確性驗證

采用圖3的計算模型，進(jìn)一步驗證LTJEC-FDTD在時變磁化等離子體中的正確性。磁化等離子體隨時間變化規(guī)律如下:

其中ωp0和ωb0分別為等離子頻率和電子回旋頻率的初始值，b為衰減系數(shù)，T為RCP波的周期。選取駐波源頻率ω0=2π×10 Grad/s，磁化等離子體頻率ωp0=2π ×17.32 Grad/s，電子回旋頻率 ωb=2π ×10 Grad/s，電子碰撞頻率ν=0，衰減系數(shù)b=100。

圖4　時變磁化等離子體中z=d/2處電場抽樣FDTD結(jié)果。(a)等離子體頻率隨時間變化圖;(b)加入時變磁化等離子體前后金屬矩陣腔體的諧振頻率。

圖4(a)為時變磁化等離子體隨時間變化圖。如圖所示，在t＜0時等離子體頻率ωp0=0，即腔體內(nèi)為真空;t＞0后等離子頻率隨時間指數(shù)增長，增長系數(shù)為b=100。圖4(b)為在z=d/2處抽樣的電場值隨等離子體變化前后的頻域結(jié)果。如圖所示，當(dāng)?shù)入x子體頻率增長后諧振腔內(nèi)出現(xiàn)了 3 個諧振頻率，分別為 f1=2.4，17，24.6 GHz。這3個諧振頻率與文獻(xiàn)［5］中的理論值一致，從而驗證了LTJEC-FDTD方法計算時變磁化等離子體的正確性。

3.2　W histler波在時變磁化等離子體中的傳播特性

對于式(9)，當(dāng) ω0ωb、ωp02ω0ωb0時，相對介電常數(shù)εp可以近似為:

這樣的右旋極化波叫做Whistler波［20］。

時變磁化等離子體頻率在時域上從穩(wěn)定不變到隨時間指數(shù)衰減，變化規(guī)律如下:

其中ωp0和ωb0分別為等離子頻率和電子回旋頻率的初始值，b為衰減系數(shù)，T為RCP波的周期。取頻率為ω0=1 Grad/s的Whistler波作為入射波，研究其在時變磁化等離子體中傳播的傳播特性。磁化等離子體頻率ωp0=200 Grad/s，電子回旋頻率ωb0=100 Grad/s，電子碰撞頻率ν=0。

在z=d/2和z≈0處分別對電場和磁場進(jìn)行抽樣，LTJEC-FDTD的抽樣結(jié)果如圖5所示。圖5(a)為衰減系數(shù)b=10的等離子體頻率時域變化情況，由穩(wěn)定不變到指數(shù)衰減。圖5(b)和圖5(c)分別為z=d/2處電場以及z≈0處磁場的時域抽樣結(jié)果。由圖可知，電場頻率和磁場頻率在磁化等離子體頻率衰減后均有所上升，頻率由原來的1 Grad/s增為20 Grad/s，該頻率增長系數(shù)與磁化等離子體中的折射率nR=(εp)1/2一致;同時電場的振幅增大到原來的15倍，而磁場的振幅略有減小。圖4(d)和圖4(e)分別為電場及磁場的極化方式變化情況，由圖可知，Whistler波極化方式不變，仍為圓極化螺旋形式。通常情況下電磁波在靜態(tài)場下的等離子體中傳播時，波的極化是不斷變化的。但是當(dāng)外部磁場的方向垂直波的傳播方向(橫向模式)或沿著波的傳播方向(縱向模式)時，波的極化就會穩(wěn)定不變［21］。圖5(f)為電場的頻域結(jié)果，從中可以更清楚地看出電場的頻率由1 Grad/s提升到了20 Grad/s并且振幅增大為原來的15倍。

從能量的角度分析上述結(jié)果，衰減的磁化等離子體會引起等離子體中電流的消失，消失電流的磁能轉(zhuǎn)化為波的電能和磁能，這些改變使波源的頻率上升，并增強(qiáng)了電場和能量密度［22-23］。

3.3　時變磁化等離子體產(chǎn)生太赫茲波的分析

時變磁化等離子體中頻率上升的關(guān)鍵條件就是折射率nR＞1。當(dāng)ω0與ωp0近似，即在諧振頻率附近時，頻率上升的更大。此外電子回旋頻率ν也有著不可忽視的影響。我們在3.2的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提升輸出波的頻率，研究時變磁化等離子體產(chǎn)生太赫茲波。這里減小ωb0/ω0的比率放寬公式(13)的第一條件，同時增大ωp0的值加強(qiáng)第二條件:

取輸入波的頻率為ω0=10 Grad/s，電子回旋頻率ωb0=50 Grad/s，磁化等離子體頻率 ωp0=600 Grad/s。此外增加電子碰撞頻率的影響，取ν=0.01ωp0。

圖6(a)表示衰減系數(shù)b=1 000時的等離子體密度的變化情況，實質(zhì)上波源頻率的上升與等離子體消失的快慢并無關(guān)系［24］。圖6(b)和圖6(c)分別為z=d/2處電場以及z≈0處磁場的時域抽樣結(jié)果。由圖可知，通過減小 ωb/ω0的比率，增大ωp和ν的值，輸出波的頻率在等離子體頻率衰減后有了進(jìn)一步的提升，由原來的10 Grad/s上升為300 Grad/s，頻率增長系數(shù)為30。圖6(d)為電磁的極化方式的變化。由圖可知，輸出波仍為右旋圓極化波。圖6(e)和圖6(f)分別為電場和磁場在頻域上的變化情況，從圖中可以更明顯地看出Whistler波的輸出頻率為300 Grad/s，并且磁場的幅值進(jìn)一步衰減。這部分結(jié)果表明，優(yōu)化后的時變磁化等離子體參數(shù)進(jìn)一步提高了輸出波的頻率，最后得到了頻率為300 Grad/s的圓極化太赫茲波，從而在理論上驗證了時變磁化等離子體可產(chǎn)生太赫茲波。這部分中的時變磁化等離子體參數(shù)參考了文獻(xiàn)［25］中所做的相關(guān)實驗，證明了該理論方法在實驗上的可行性。

圖6　時變磁化等離子體中z=d/2處電場和z≈0處磁場的抽樣FDTD結(jié)果。(a)等離子體頻率隨時間變化圖;(b)電場時域變化圖;(c)磁場時域變化圖;(d)電場極化方式變化圖;(e)磁場極化方式變化圖;(f)電場頻域變化圖。

4　結(jié)　論

本文應(yīng)用LTJEC-FDTD算法從頻域和時域上分析了時變磁化等離子體的電磁特性。首先模擬了調(diào)制的高斯脈沖在磁化等離子體中的頻域的電磁反射系數(shù)，從頻域角度驗證了LTJEC-FDTD算法的準(zhǔn)確性和高效性.然后研究了Whistler駐波在一維時變磁化等離子體中的傳播特性以及太赫茲波的產(chǎn)生。仿真結(jié)果表明，時變磁化等離子體相當(dāng)于頻率轉(zhuǎn)換器，提升了輸入波的頻率，同時加強(qiáng)電場減弱磁場。等離子體頻率、電子回旋頻率、電子碰撞頻率及衰減系數(shù)都是輸出波的影響因素。最后通過優(yōu)化后的參數(shù)得到了頻率為300 GHz的太赫茲波，從理論上驗證了時變磁化等離子體可產(chǎn)生太赫茲波，這些理論結(jié)果對變頻系統(tǒng)的發(fā)展及太赫茲源的產(chǎn)生具有一定的指導(dǎo)意義。