一類Caputo分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程的反周期邊值問題

宋　姝， 周碧波， 張玲玲

(1. 山西工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部， 山西 太原 030009； 2. 呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 山西 呂梁 033006；3. 太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西太原 030024)

分?jǐn)?shù)階微積分是經(jīng)典的整數(shù)階微積分的拓展,有著與整數(shù)階微積分幾乎相同的發(fā)展史. 20世紀(jì)80年代初， Bagley和Torvik成功運(yùn)用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)描述阻尼. 至此， 分?jǐn)?shù)階微積分方程因其具有遺傳性和記憶性， 得到許多物理工程研究者的重視. 目前， 分?jǐn)?shù)階微積分理論與方法已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用到自然科學(xué)領(lǐng)域與社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域， 如自動(dòng)控制、 信號(hào)處理、 復(fù)雜粘性材料力學(xué)本構(gòu)關(guān)系、 天氣預(yù)報(bào)、 地震奇異性分析等， 具體可參見文獻(xiàn)[1-4]. 隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展， 藥物的藥效、 生物種群中物種的出生、 作物的施肥等過程中出現(xiàn)的反周期問題受到專家學(xué)者們的關(guān)注. 此外， 含脈沖的微分方程是刻畫瞬時(shí)突變現(xiàn)象的基本工具. 隨著整數(shù)階導(dǎo)數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)， 人們自然而然地想到分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程反周期邊值問題.

文獻(xiàn)[5]考察了如下一類分?jǐn)?shù)階微分方程的反周期邊值問題

文獻(xiàn)[6]考察了如下一類非線性Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程的反周期邊值問題

文獻(xiàn)[7]討論了一類關(guān)于1

式中：f∶J×R→R是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，Ik,Jk∶R→R，α>0，β>0， 通過應(yīng)用Krasonselskii’s不動(dòng)點(diǎn)定理和壓縮映像原理， 得到了這類邊值問題解的存在性和唯一性的充分條件.

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)， 本文研究如下非線性分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程

(1)

1　預(yù)備知識(shí)

為敘述問題方便， 給出如下符號(hào)和定義： 令J∶=[0,T]， 集合

D∶={t1,t2,…,tp}?(0,T)，

并且滿足0

J0∶=[0,t1],

J1∶=(t1,t2],…,Jp-1∶=(tp-1,tp],

Jp∶=(tp,T],

并且J′∶=JD. 定義

PC[J,R]∶={u|u∶J→R,

u(t)在t≠tk連續(xù)，u(t)在t=tk左連續(xù)，

在

定義1[8]若u∈PCα-1[J,R]且滿足式(1)， 則稱u是α階脈沖微分方程反周期邊值問題(1)的一個(gè)解.

引理1[5]令α>0，β>0，f∈C[0,T]， 則下列結(jié)論成立：

引理2[5]令α∈R+N， 則有

引理4對(duì)給定的函數(shù)y∈C[0,T]， 若u∈PCα-1[J,R]是下列分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程反周期邊值問題的解：

(2)

當(dāng)且僅當(dāng)u是下列脈沖積分方程的一個(gè)解：

(3)

證明必要性： 由分?jǐn)?shù)階積分的定義， 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義， 見文獻(xiàn)[9]， 以及引理1、 引理2和引理3， 通過常規(guī)計(jì)算可得式(3). 另外再對(duì)式(3)兩邊分別取α次分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)， 必要性顯然成立.

2　主要結(jié)果

首先在PCα-1[J,R]上定義一個(gè)算子A， 對(duì)?u∈PCα-1[J,R]， 令算子

（4)

為了方便表示， 令

定理1假設(shè)下列條件滿足：

H1)f在[0,T]×R×R上連續(xù)，Ik∈C[R,R]，Jk∈C[R,R].

|Ik(u)-Ik(v)|

|Jk(u)-Jk(v)|≤K3|u-v|.

則分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程反周期邊值問題(1)有唯一解.

證明由條件H1)以及算子Au的表達(dá)式可知， 算子Au在J′上連續(xù)， 另外由引理2， 引理3可得

（5)

對(duì)?u,v∈PC[J,R], ?t∈Jk， 記

由H2)可得

所以， 有

‖Au-Av‖∞≤

（6)

另外， 對(duì)?t∈Jk， 由式(5)和H2)同理可得

(2K1S+K3G)‖u-v‖B.

（7)

由式(6)和式(7)可知

‖Au-Av‖B=max{‖Au-Av‖∞,

再由定理1中的條件H3)可知L<1， 所以算子A在PCα-1[J,R]上是一個(gè)壓縮映射， 由壓縮映像原理可知， 算子A在PCα-1[J,R]有唯一不動(dòng)點(diǎn)， 即反周期邊值問題(1)有唯一解.

定理2假設(shè)以下條件滿足：

H4) 若存在連續(xù)的非減函數(shù)φ∶[0,∞]→(0,∞)和函數(shù)h(t)∈C[0,T]， 滿足對(duì)?t∈J，u∈PCα-1[J,R]， 有

且存在非負(fù)常數(shù)L1,L2對(duì)?t∈J，u∈PCα-1[J,R]， 有

|Ik(u)|≤L1, |Jk(u)|≤L2.

則反周期邊值問題(1)在PCα-1[J,R]上至少有一個(gè)解.

1) 先證明A∶E→E有界.

對(duì)?u∈E， ?t∈Jk， 由定理2的條件H4)和式(4)可得

（8)

由式(8)可知

(9)

并且對(duì)?u∈E， ?t∈Jk， 由式(5)及定理2條件H4)， 可得

(10)

通式(9)和式(10)及H5)可知

max{Mφ(r)R+p(L1+L2T),Mφ(r)S+

GL2}≤r,

所以， 算子A∶E→E有界.

2) 證明A∶E→E全連續(xù).

對(duì)?u∈E， 由式(4)可知

所以， 對(duì)?u∈E， ?t1,t2∈Jk， 有

(Mφ(r)H+pL2)|t2-t1|.

（10)

由式(11)可知， 當(dāng)t1→t2時(shí)， |Au(t2)-Au(t1)|→0.

再者對(duì)?u∈E， ?t1,t2∈Jk， 有

3) 令V={u∈E|u=μAu,0<μ<1}， 證集合V有界.

對(duì)?u∈V， ?t∈Jk， 由式(9)可得

|u(t)|=μ|(Au)(t)|≤μMφ(r)R+

即有

(12)

對(duì)?u∈V， ?t∈Jk， 由式(10)， 用類似方法可得

(13)

由式(12)和式(13)可知

μMφ(r)S+μGL2}.

所以， 集合V={u∈E|u-μAu,0<μ<1}有界， 由Schaefer不動(dòng)點(diǎn)定理[10]可知， 算子A在空間E上至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)， 即反周期邊值問題(1)在PC[J,R]上至少存在一個(gè)解.

3　算　例

例1考慮如下脈沖微分方程的反周期邊值問題：

(14)

且有

由上述可知， 條件H1),H2),H3)均滿足， 因此由定理1可知脈沖微分方程的反周期邊值問題(14)有唯一解.

例2考慮如下關(guān)于α=1.5的脈沖微分方程的反周期邊值問題：

(15)

選取r=14>max{11.9,13.1}， 則滿足式H5)， 因此由定理2可知， 脈沖微分方程反周期邊值問題(15)至少有一個(gè)解.