基于Kalman濾波的雷達(dá)目標(biāo)跟蹤時間計算方法

夏永紅，匡華星，姚　遠(yuǎn)，丁　春

(中國船舶重工集團(tuán)公司第七二四研究所，南京 211153)

0　引　言

目標(biāo)跟蹤濾波是主動雷達(dá)數(shù)據(jù)處理中最為重要的環(huán)節(jié)。Kalman濾波算法具有收斂速度快、存儲量小等優(yōu)點(diǎn)，是目前廣泛應(yīng)用于雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)中的一種自適應(yīng)濾波算法。[1-2]現(xiàn)有針對Kalman濾波器跟蹤性能的研究工作大多關(guān)注如何提高其跟蹤精度或運(yùn)算速度，如擴(kuò)展Kalman濾波算法[3-4]、針對機(jī)動目標(biāo)跟蹤改進(jìn)的Kalman濾波算法等[5-10]，而對于基于Kalman濾波的雷達(dá)目標(biāo)跟蹤持續(xù)時間分析較少。

本文首先描述實(shí)際工程應(yīng)用中雷達(dá)目標(biāo)航跡維持或終止的物理過程，提出一種目標(biāo)航跡平均跟蹤周期數(shù)計算方法，并對兩坐標(biāo)雷達(dá)Kalman濾波跟蹤性能進(jìn)行了分析和仿真。仿真結(jié)果表明，影響目標(biāo)航跡平均跟蹤周期數(shù)的主要因素包括點(diǎn)跡級目標(biāo)檢測概率、虛警概率、雷達(dá)測量精度、數(shù)據(jù)周期以及探測距離。本文的研究成果可為復(fù)雜背景下目標(biāo)跟蹤濾波算法流程和參數(shù)優(yōu)化設(shè)計提供理論支撐。

1　跟蹤持續(xù)時間計算

1.1　數(shù)學(xué)模型假定

主動雷達(dá)目標(biāo)跟蹤持續(xù)時間取決于關(guān)聯(lián)波門與測量結(jié)果的關(guān)系，即波門內(nèi)是否存在真實(shí)量測、虛假量測數(shù)量或密度、預(yù)測位置與波門內(nèi)所有測量結(jié)果的幾何關(guān)系等。大量仿真研究和試驗(yàn)結(jié)果分析表明，在跟蹤過程中如果目標(biāo)回波被成功檢測提取，即波門內(nèi)有真實(shí)目標(biāo)點(diǎn)跡存在，則幾乎不會出現(xiàn)航跡跟蹤丟失情況。因此，目標(biāo)航跡持續(xù)時間的計算可進(jìn)行如下物理描述：

(1) 假設(shè)在目標(biāo)跟蹤過程中，如該周期有目標(biāo)檢測點(diǎn)跡存在則目標(biāo)點(diǎn)跡位于關(guān)聯(lián)波門之內(nèi)。

(2) 如果該周期有目標(biāo)點(diǎn)跡存在，無論關(guān)聯(lián)波門內(nèi)是否存在虛假點(diǎn)跡，均認(rèn)為該周期點(diǎn)航跡能夠成功關(guān)聯(lián)，目標(biāo)航跡延續(xù)。

(3) 如果該周期沒有檢測到目標(biāo)點(diǎn)跡，且關(guān)聯(lián)波門內(nèi)也沒有虛假點(diǎn)跡存在，則航跡外推，目標(biāo)航跡延續(xù)。對于由于目標(biāo)點(diǎn)跡級檢測概率低、航跡連續(xù)多周期未關(guān)聯(lián)更新導(dǎo)致航跡消失的情況本文不予考慮。

(4) 如果該周期沒有檢測到目標(biāo)點(diǎn)跡，且關(guān)聯(lián)波門內(nèi)存在虛假點(diǎn)跡，則目標(biāo)航跡在該周期終止。

(5) 以上所述的周期是指雷達(dá)當(dāng)前工作模式下設(shè)定的數(shù)據(jù)周期。

1.2　航跡持續(xù)時間計算

根據(jù)前文所述，目標(biāo)航跡在當(dāng)前周期能夠延續(xù)的條件是關(guān)聯(lián)波門內(nèi)有目標(biāo)點(diǎn)跡存在或目標(biāo)點(diǎn)跡與虛假點(diǎn)跡均不存在，目標(biāo)航跡終止的條件是當(dāng)前周期關(guān)聯(lián)波門內(nèi)沒有目標(biāo)點(diǎn)跡存在且有虛假點(diǎn)跡存在。設(shè)目標(biāo)點(diǎn)跡級檢測概率為PD且各周期檢測結(jié)果相互獨(dú)立，同時假設(shè)關(guān)聯(lián)波門內(nèi)有虛假點(diǎn)跡存在的概率為Pf且各周期相互獨(dú)立，則目標(biāo)航跡持續(xù)跟蹤周期數(shù)概率分布如表1所示。

表1　目標(biāo)航跡跟蹤周期數(shù)概率分布

表1中，X表示觀測周期；p表示航跡在第X周期終止的概率；Pf=1-(1-Pf_plot)Nres≈Nres×Pf_plot(Pf_plot較小時成立)，Pf_plot為點(diǎn)跡級虛警概率，定義為每個檢測凝聚分辨單元形成虛假點(diǎn)跡的概率，Nres為關(guān)聯(lián)波門內(nèi)檢測凝聚分辨單元個數(shù)(向上取整)。檢測凝聚分辨單元是指點(diǎn)跡提取過程中能夠滿足點(diǎn)跡凝聚準(zhǔn)則所要求的最小單元大小，根據(jù)雷達(dá)分辨力確定。在實(shí)際應(yīng)用中，點(diǎn)跡級虛警概率可以近似為一定區(qū)域范圍內(nèi)虛假點(diǎn)跡個數(shù)與分辨單元個數(shù)之比。

目標(biāo)航跡平均跟蹤周期數(shù)為

(1)

目標(biāo)航跡持續(xù)時間定義為

(2)

其中T為當(dāng)前數(shù)據(jù)周期。

可以看出，在檢測凝聚分辨單元大小、目標(biāo)點(diǎn)跡級檢測概率和虛警概率確定的前提下，目標(biāo)航跡跟蹤周期數(shù)僅取決于關(guān)聯(lián)波門的大小，而關(guān)聯(lián)波門則是在Kalman濾波遞推迭代過程中動態(tài)地計算和調(diào)整。

2　Kalman濾波跟蹤波門計算

2.1　Kalman濾波算法簡介

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

X(k+1)=F(k)X(k)+Γ(k)v(k)

(3)

式中，X(k)為狀態(tài)向量；F(k)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Γ(k)為系統(tǒng)過程噪聲輸入矩陣；v(k)為系統(tǒng)過程噪聲，假定為零均值高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣為Q(k)。

系統(tǒng)量測方程為

Z(k)=H(k)X(k)+W(k)

(4)

式中，Z(k)為量測值；H(k)為量測矩陣；W(k)為量測噪聲，也假定為零均值高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣為R(k)。

步驟2預(yù)測協(xié)方差矩陣P(k+1|k)=F(k)P(k|k)FH(k)+Γ(k)Q(k)ΓH(k)；

步驟4新息協(xié)方差矩陣S(k+1)=H(k+1)P(k+1|k)HH(k+1)+R(k+1)；

步驟5Kalman濾波增益K(k+1)=P(k+1|k)HH(k+1)S-1(k+1)；

步驟7預(yù)測協(xié)方差矩陣更新P(k+1|k+1)=[I-K(k+1)H(k+1)]P(k+1|k)。

預(yù)測協(xié)方差矩陣和新息協(xié)方差矩陣均為對稱陣。前者用于衡量預(yù)測的不確定性，值越小說明預(yù)測越精確；后者用于衡量新息的不確定性，值越小說明量測值越精確。

2.2　關(guān)聯(lián)波門大小計算

為了便于跟蹤濾波過程中的運(yùn)動狀態(tài)外推，目標(biāo)在空間中的運(yùn)動狀態(tài)一般采用直角坐標(biāo)系進(jìn)行描述。此時常用的關(guān)聯(lián)波門為矩形波門，當(dāng)預(yù)測誤差滿足

(5)

(6)

(7)

計算直角坐標(biāo)系下量測的期望為

(8)

(9)

偏差修正后，其方差和互協(xié)方差分別為

(10)

(11)

(12)

對于采用扇形關(guān)聯(lián)波門和圓形關(guān)聯(lián)波門的Kalman濾波算法也可以采用本文方法計算目標(biāo)航跡跟蹤時間。

3　仿真分析

以勻速模型為例，狀態(tài)向量為X(k)=[x(k)vx(k)y(k)vy(k)]T，觀測向量為Z(k)=[zx(k)zy(k)]T，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣、過程噪聲輸入矩陣和量測矩陣分別為

(13)

量測噪聲協(xié)方差矩陣為

(14)

狀態(tài)向量和預(yù)測協(xié)方差矩陣初始化為

(16)

固定方位45°，仿真計算不同數(shù)據(jù)周期不同作用距離時矩形關(guān)聯(lián)波門大小，統(tǒng)計如表2所示。從表中可以看出，距離越遠(yuǎn)關(guān)聯(lián)波門越大，周期越長關(guān)聯(lián)波門越大。

數(shù)據(jù)周期距離50 km距離100 km距離150 km距離200 km距離250 km2 s1 520 m×1 520 m2 820 m×2 820 m4 130 m×4 130 m5 450 m×5 450 m6 780 m×6 780 m4 s1 680 m×1 680 m3 000 m×3 000 m4 350 m×4 350 m5 700 m×5 700 m7 030 m×7 030 m6 s1 850 m×1 850 m3 200 m×3 200 m4 580 m×4 580 m5 950 m×5 950 m7 320 m×7 320 m8 s2 030 m×2 030 m3 420 m×3 420 m4 830 m×4 830 m6 230 m×6 230 m7 620 m×7 620 m10 s2 230 m×2 230 m3 660 m×3 660 m5 090 m×5 090 m6 520 m×6 520 m7 930 m×7 930 m12 s2 450 m×2 450 m3 910 m×3 910 m5 370 m×5 370 m6 820 m×6 820 m8 260 m×8 260 m

以4 s數(shù)據(jù)周期、距離100 km、方位45°、方位測量誤差標(biāo)準(zhǔn)差0.3°為例，關(guān)聯(lián)波門大小為Sxy=3 000 m×3 000 m，檢測凝聚分辨單元設(shè)置為200 m×1.5°，計算關(guān)聯(lián)波門內(nèi)檢測凝聚分辨單元個數(shù)為Nres=[Sxy/(200 m×1.5°×π/180°×100×103m)]=18，設(shè)置點(diǎn)跡級虛警率為Pf_plot∈[10-3,10-2]，不同點(diǎn)跡級檢測概率下目標(biāo)航跡平均跟蹤周期數(shù)隨點(diǎn)跡級虛警概率變化曲線如圖2(a)所示。從圖中可以看出，虛警概率越高，目標(biāo)航跡平均跟蹤周期數(shù)越小；目標(biāo)檢測概率越高，平均跟蹤周期數(shù)越大。

以距離100 km、點(diǎn)跡級虛警概率Pf_plot=10-3為例，在其他參數(shù)不變的情況下，目標(biāo)航跡平均跟蹤周期數(shù)隨數(shù)據(jù)周期變化曲線如圖2(b)所示。從圖中可以看出，隨著數(shù)據(jù)周期增加，關(guān)聯(lián)波門變大，波門內(nèi)出現(xiàn)虛假的概率增加，航跡被虛假帶偏從而跟丟的概率增加，平均跟蹤周期數(shù)減少。

假設(shè)檢測概率不隨距離增加而變化，在4 s數(shù)據(jù)周期、點(diǎn)跡級虛警概率Pf_plot=10-3時，跟蹤周期數(shù)隨距離變化曲線如圖3(a)所示。假定目標(biāo)由近向遠(yuǎn)運(yùn)動時，檢測概率和虛警概率逐漸減小，從50 km運(yùn)動到100 km，點(diǎn)跡級檢測概率從0.9減小到0.7，點(diǎn)跡級虛警概率從10-3減小到0.7×10-3。此時跟蹤周期數(shù)變化曲線如圖3(b)所示。

4　結(jié)束語

本文在設(shè)定雷達(dá)目標(biāo)跟蹤過程中航跡維持或終止的條件下提出了一種目標(biāo)跟蹤周期數(shù)的近似評估方法，并對基于兩坐標(biāo)雷達(dá)勻速目標(biāo)運(yùn)動模型的Kalman濾波器跟蹤性能進(jìn)行了分析。仿真結(jié)果表明，在雷達(dá)數(shù)據(jù)周期和探測距離確定的情況下，目標(biāo)航跡平均跟蹤周期數(shù)主要取決于點(diǎn)跡級目標(biāo)檢測概率、虛警概率和雷達(dá)方位測量精度。檢測概率越高，平均跟蹤周期數(shù)越大；虛警概率越低，平均跟蹤周期數(shù)越大；雷達(dá)精度越高，平均跟蹤周期數(shù)越大。本文提出的基于Kalman濾波的目標(biāo)跟蹤周期數(shù)計算方法可為復(fù)雜背景下目標(biāo)跟蹤濾波算法參數(shù)優(yōu)化提供理論支撐，對于兩坐標(biāo)雷達(dá)目標(biāo)跟蹤加速運(yùn)動模型和三坐標(biāo)雷達(dá)目標(biāo)跟蹤周期數(shù)的計算也可以采用本文的思路和方法進(jìn)行分析。