黑體輻射中的波粒二象性

摘要：在愛(ài)因斯坦關(guān)于光的波粒二象性的基礎(chǔ)上，德布羅意提出實(shí)物粒子也具有波粒二象性，至此，波粒二象性成為了量子理論中最基礎(chǔ)的內(nèi)容。而實(shí)際上，若仔細(xì)考察維恩和瑞利關(guān)于黑體輻射的研究，就可發(fā)現(xiàn)其實(shí)在黑體輻射的問(wèn)題上就已經(jīng)有波粒二象性的性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：波粒二象性；黑體輻射；維恩公式；瑞利金斯公式

1 波粒二象性

當(dāng)光照射在金屬表面時(shí)，電子從金屬中脫出的現(xiàn)象叫做光電效應(yīng).而根據(jù)光的波動(dòng)理論，光電效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)規(guī)律和理論得出的結(jié)果并不相符.為了解決光的波動(dòng)理論和實(shí)驗(yàn)規(guī)律之間的矛盾，愛(ài)因斯坦于1905年提出了光量子假設(shè)：當(dāng)光和物質(zhì)相互作用時(shí)，其能量并不像波動(dòng)理論那樣是連續(xù)分布的，而是集中在一些叫做光子的粒子上，這種粒子仍保持著頻率的概念，光子的能量ε與頻率v的關(guān)系為[1]

ε=hv，

式中h為普朗克常量。

在光的波粒二象性的啟發(fā)下，德布羅意于1924年提出所有的實(shí)物粒子都具有波動(dòng)性，把愛(ài)因斯坦關(guān)于光的“波粒二象性”推廣到所有的物質(zhì)，并提出：任何的實(shí)物粒子都與一列波相聯(lián)系，粒子的能量ε、動(dòng)量p與波的頻率v、波數(shù)k的關(guān)系由下列的式子決定

v=ε[]h，

k=p[]，

等式的左邊對(duì)應(yīng)的波的性質(zhì)：電磁波的頻率和波數(shù)，而右邊對(duì)應(yīng)的實(shí)物粒子的性質(zhì)：粒子的能量和動(dòng)量，等式將波和實(shí)物粒子聯(lián)系在一起.德布羅意關(guān)系式的正確性在三年后被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，微觀物質(zhì)的波粒二象性開始被人們所重視，而其實(shí)在這之前的黑體輻射問(wèn)題中也可以得到微觀物質(zhì)的“波粒二象性”。

2 黑體輻射問(wèn)題

任何物體都會(huì)不斷地輻射、吸收反射電磁波，輻射出去的電磁波在各個(gè)波段具有一定的譜分布，譜分布和物體本身的屬性及溫度有關(guān)，因此被稱為熱輻射。為了研究不依賴于物體本身屬性的熱輻射規(guī)律，一種理想的物體——絕對(duì)黑體被作為研究熱輻射的標(biāo)準(zhǔn)物體。絕對(duì)黑體定義為在任何條件下，對(duì)任意波長(zhǎng)的外來(lái)輻射完全吸收而沒(méi)有任何反射的物體。事實(shí)上絕對(duì)黑體是不存在的，可以用一個(gè)開一個(gè)小孔的黑箱子作為絕對(duì)黑體的模型。實(shí)驗(yàn)測(cè)得各種溫度下的熱輻射標(biāo)準(zhǔn)能譜uT（λ，T）如下圖所示。

黑體輻射譜圖[2]

在通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得黑體輻射譜之后，為了得到其函數(shù)表達(dá)式，維恩和瑞利分別做了不同的工作并得到了不同的經(jīng)驗(yàn)公式，揭示當(dāng)時(shí)經(jīng)典物理的矛盾和缺陷。

維恩的粒子模型：維恩認(rèn)為黑體中存在著氣體分子，氣體分子中帶電粒子熱運(yùn)動(dòng)會(huì)輻射電磁波，氣體分子速率分布服從麥克斯韋速率分布，完全從粒子角度出發(fā)得到黑體輻射譜公式[3]

uT（v）=αv3[]c2e-βv/T，（1）

其中，α，β為常量，此公式被稱為維恩公式。維恩公式在高頻段與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得很好，但是在低頻段與實(shí)驗(yàn)結(jié)果偏差較大。

瑞利金斯的波模型：瑞利從能量按自由度均分定律出發(fā)，根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論，研究空腔中電磁場(chǎng)，完全從波的角度出發(fā)得到了空腔輻射的單色能量密度公式。后來(lái)經(jīng)過(guò)金斯的修正，得到了下面的瑞利金斯公式 [4]

uT（v）=8π[]c3v2kBT，（2）

其中kB=138×10-23J/K為波爾茲曼常量。瑞利金斯公式在低頻段與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得很好，而隨著頻率的增大，理論值和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的偏差越來(lái)越大，當(dāng)v→∞時(shí)，會(huì)得到能量趨于∞的結(jié)論，這就是史上著名的“紫外災(zāi)難”。

1900年十月，普朗克將適用于短波的維恩公式和適用于長(zhǎng)波的瑞利金斯公式通過(guò)插值法結(jié)合起來(lái)，得到了理想空腔的黑體輻射經(jīng)驗(yàn)公式，并在兩個(gè)月后，在基于能量子假設(shè)的基礎(chǔ)上完全從理論上推導(dǎo)出黑體輻射公式[5]

uT（v）=8πh[]c3 v3[]ehv/kBT-1.

普朗克黑體輻射公式理論值和實(shí)驗(yàn)結(jié)論完全吻合，這說(shuō)明普朗克將維恩公式和瑞利金斯公式用插值法結(jié)合起來(lái)的方法是有效的，這從側(cè)面上驗(yàn)證了維恩的粒子模型和瑞利金斯的波模型的部分正確性。

3 黑體輻射中的波粒二象性

從普朗克黑體輻射公式可以看出，對(duì)于短波，即hvkBT，有ehv/kBT1，普朗克公式過(guò)渡為維恩公式

uT（v）=αv3[]c2e-βv/T，

此時(shí)，維恩的粒子模型正確了一半，粒子性較為明顯而波動(dòng)性較弱。而對(duì)于長(zhǎng)波hvKBT，有ehv/kBT≈1+hv/kBT（當(dāng)x→0時(shí)，有ex-1≈x），[6]普朗克公式蛻化為瑞利金斯公式

uT（v）=8πc3v2kBT，

此時(shí)，瑞利的波模型正確了一半，粒子的波動(dòng)性較強(qiáng)而粒子性較弱。

而把維恩的粒子模型和瑞利金斯的波模型結(jié)合起來(lái)，就可以得到普朗克公式，在普朗克公式完全正確的情況下，黑體中的物質(zhì)既不是粒子，也不是波，這就是黑體輻射中“波粒二象性”。所以說(shuō)，在黑體輻射問(wèn)題中，普朗克公式已經(jīng)包含“波粒二象性”。普朗克黑體輻射公式本質(zhì)上就是短波時(shí)的粒子性和長(zhǎng)波時(shí)的波動(dòng)性的結(jié)合。

參考文獻(xiàn)：

[1]蔣長(zhǎng)榮，劉樹勇.愛(ài)因斯坦和光電效應(yīng)[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005（04）：3237.

[2]趙凱華，羅蔚茵.量子物理[M].第二版.北京：高等教育出版社，2008：9.

[3]楊福家.原子物理學(xué)[M].第四版.北京：高等教育出版社，2008：3132.

[4]宋世榕.瑞利金斯公式的產(chǎn)生經(jīng)過(guò)和愛(ài)因斯坦的有關(guān)貢獻(xiàn)[J].工科物理，1993（02）：4647.

[5]Planck M.On an Improvement of Wiens Equation for the Spectrum[M].The Old Quantum Theory.1967：7981.

[6]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué)（下）[M].北京：高等教育出版社，2002：268.

作者簡(jiǎn)介：李東亮（1997），男，漢族，廣東茂名人。