單炮多發(fā)同時(shí)彈著的局部插值算法與并行加速

程李東,姜 毅,牛鈺森

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院,北京 100081)

20世紀(jì)80年代后期,美國(guó)人機(jī)工程研究所針對(duì)野戰(zhàn)炮兵射擊提出了單炮多發(fā)同時(shí)彈著法(multiple round simultaneous impact,MRSI),通過(guò)調(diào)整火炮的發(fā)射裝藥和射角,使連續(xù)發(fā)射的多發(fā)炮彈同時(shí)擊中目標(biāo)[1-3],其技術(shù)構(gòu)想如圖1所示[2]。

目標(biāo)受到火炮的首群炮彈打擊后會(huì)迅速采取規(guī)避或保護(hù)措施,如車輛機(jī)動(dòng)、人員臥倒或進(jìn)入掩體等,后續(xù)射擊對(duì)目標(biāo)的毀傷概率大大降低。統(tǒng)計(jì)資料表明,暴露步兵遭受炮擊后2 s內(nèi)有一半就地臥倒,8 s內(nèi)全部轉(zhuǎn)為臥姿或隱蔽狀態(tài),后續(xù)炮彈殺傷力將降低50%～80%[4]。采用MRSI射擊方法可在不增加火炮數(shù)量的條件下將首輪打擊的炮彈密集度增大數(shù)倍,大幅提升對(duì)目標(biāo)的毀傷概率,進(jìn)而提高炮兵部隊(duì)的作戰(zhàn)效率和生存能力。

MRSI射擊是現(xiàn)代火炮的發(fā)展趨勢(shì),國(guó)外先進(jìn)的自行加榴炮均具有同時(shí)彈著功能[5]。美國(guó)在1988～1993年間實(shí)現(xiàn)了AS90,M109A6等155 mm自行火炮的四彈同時(shí)彈著,同時(shí)測(cè)試和對(duì)比了標(biāo)準(zhǔn)裝藥模塊和液體裝藥的MRSI性能,1995年研究了先進(jìn)牽引式火炮系統(tǒng)(ATCA)的MRSI性能,部分火炮的四彈MRSI可覆蓋其打擊范圍的85%[3]。2001年,陸欣等將MRSI的概念引進(jìn)國(guó)內(nèi)[2],祝軍利等給出了國(guó)內(nèi)某型火炮在13～30 km射程范圍內(nèi)的MRSI彈道分布[5],隨后李開(kāi)龍、程恭等研究了MRSI射擊方法在大口徑艦炮上的應(yīng)用,提出了彈道解算流程并分析了射擊效力[6-7],近年來(lái)相關(guān)研究逐漸轉(zhuǎn)向增程修正彈等新型可控炮彈[8-10]。

自動(dòng)化火炮的火控系統(tǒng)擔(dān)負(fù)目標(biāo)定位與跟蹤、氣象數(shù)據(jù)的測(cè)定和接收、射擊諸元的解算、瞄準(zhǔn)與射擊控制等任務(wù),其中射擊諸元的解算直接關(guān)系到打擊的速度和精度[11]。在機(jī)動(dòng)作戰(zhàn)的條件下,戰(zhàn)場(chǎng)情形瞬息萬(wàn)變,這對(duì)彈道計(jì)算機(jī)的解算速度提出了較高的要求,如裝備在我國(guó)69-II式坦克上的簡(jiǎn)化輕型坦克火控系統(tǒng)要求彈道計(jì)算時(shí)間小于1 s[1]?，F(xiàn)有的MRIS彈道算法[6-7]為滿足計(jì)算耗時(shí)的要求,均采用稀疏射擊序列計(jì)算,再結(jié)合線性插值的方式確定裝藥和射角。由于彈道方程具有非線性,稀疏序列插值將造成較大的彈道偏差。

為解決原有算法彈道偏差較大的問(wèn)題,本文提出一種局部插值算法(local interpolation algorithm,LIA),并基于MPI編程模型實(shí)現(xiàn)多核并行計(jì)算,在大幅提升射角計(jì)算精度的同時(shí)滿足戰(zhàn)場(chǎng)對(duì)火控計(jì)算時(shí)間的要求。最后將研究結(jié)果應(yīng)用于一定條件下5～15 km射程內(nèi)的MRSI彈道計(jì)算,以檢驗(yàn)算法的有效性和高效性。

1 數(shù)學(xué)模型

炮兵實(shí)際使用的彈道方程組是高維微分方程組,如美軍使用的修正質(zhì)點(diǎn)彈道方程組[3,12],該彈道方程組考慮了地球自轉(zhuǎn)和彈體轉(zhuǎn)動(dòng)帶來(lái)的影響。本文重點(diǎn)研究彈道算法和并行加速方法,因此僅以標(biāo)準(zhǔn)條件下二維質(zhì)點(diǎn)彈道方程[4,13]為例,但研究結(jié)果可以直接應(yīng)用于修正質(zhì)點(diǎn)彈道方程、旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定炮彈彈道方程[14]、高空遠(yuǎn)程彈箭精確彈道模型[15]等復(fù)雜彈道方程的解算。

1.1 標(biāo)準(zhǔn)條件下二維質(zhì)點(diǎn)彈道方程

二維質(zhì)點(diǎn)彈道方程考慮了空氣阻力,同時(shí)計(jì)及高度變化對(duì)大氣物理特性的影響：

虛溫τ按標(biāo)準(zhǔn)氣象條件計(jì)算,g=9.81 m/s2,ρ0,.N=1.206 kg/m3,d為榴彈彈徑,阻力系數(shù)cx0,N(Ma)由阻力定律確定,i為所選阻力定律下的彈形系數(shù),m為彈體質(zhì)量,p為大氣壓強(qiáng)。

1.2 真空二維彈道斜射程公式

真空彈道為拋物線彈道,不考慮空氣阻力,其射程總是大于同一裝藥在同一射角下的空氣彈道射程。根據(jù)外彈道學(xué),真空彈道斜射程公式為[13]

式中:v0為炮口初速,α為瞄準(zhǔn)角,ε為炮目高低角。

最大射程:

2 約束條件

2.1 射程重疊區(qū)間與裝藥分級(jí)

榴彈炮為達(dá)到射程要求,需要對(duì)發(fā)射裝藥進(jìn)行一定的分級(jí)。從同時(shí)彈著射擊的角度來(lái)說(shuō),分級(jí)越多可實(shí)現(xiàn)同時(shí)彈著的彈道數(shù)量越多。但同時(shí)又必須盡可能簡(jiǎn)化戰(zhàn)場(chǎng)操作,并考慮補(bǔ)給等問(wèn)題,因此各級(jí)裝藥的射程重疊量通常為8%～12%,對(duì)于30 km射程的火炮,其裝藥常分為7級(jí)[4-5]。

2.2 最小發(fā)射時(shí)間間隔

2次射擊之間需要完成彈藥的再裝填、關(guān)閉艙門、重新瞄準(zhǔn)等操作,且射擊之前需要保證炮身冷卻至容許溫度以下[16]。不同型號(hào)的火炮完成這些操作所需的時(shí)間不同,按常規(guī)火炮8 min-1的射速計(jì)算[5],2次射擊之間的最小時(shí)間間隔為Δtmin=8.75 s。這一間隔將作為彈道篩選的條件,即相鄰的2條同時(shí)彈著彈道的飛行時(shí)間差不小于Δtmin。

2.3 最小與最大射角

火炮的最小與最大射角受外彈道設(shè)計(jì)、火炮射界和炮身縱向傾角的共同限制,如圖2所示。

圖2中,OA與水平線平行,OB為目標(biāo)視線,OC與炮臺(tái)平行;θ為火炮射角,φ為炮身縱向傾角,為射擊高低角。

一方面根據(jù)彈丸飛行動(dòng)力學(xué)特性和跟隨性確定最大射高,進(jìn)而確定理論最大射角θt,max[5]。另一方面,火炮射界受炮架結(jié)構(gòu)的限制,射界越大炮架質(zhì)量越大,榴彈炮的最小高低角γmin一般取-3°～-5°,最大高低角γmax可達(dá)70°甚至更大[1]。據(jù)此,實(shí)際火炮的射角范圍為

γmin+φ≤θ≤min{θt,max,γmax+φ}

2.4 命中精度

以人員殺傷為例,榴彈對(duì)人員的殺傷有2種方式:一是爆炸后飛散的破片造成人體組織穿透、斷離或撕裂,二是爆炸沖擊波對(duì)人體造成沖擊損傷[17]。2種殺傷方式的殺傷效果都隨爆炸距離的增大而迅速減小,前者是由于受空氣阻力影響,破片速度隨飛行距離增大而迅速減小,后者是由于沖擊壓力在空氣中迅速衰減?？蓪?duì)人員造成殺傷的最大爆炸距離即榴彈對(duì)人員的殺傷半徑。

由于彈道數(shù)學(xué)模型、陣地位置與高度測(cè)量、敵方距離和方位測(cè)量、氣象修正、初速修正以及數(shù)值求解過(guò)程中均存在誤差[18],實(shí)際采用MRSI方式射擊時(shí)一輪炮彈幾乎不可能同時(shí)到達(dá)目標(biāo)點(diǎn),最先和最后達(dá)到的炮彈的落地時(shí)差表征了MRSI彈道的時(shí)間精度。為保證殺傷效率,該時(shí)差應(yīng)盡可能小。

3 局部插值算法

確定同時(shí)彈著射擊方案的思路是通過(guò)求解彈道方程組,選擇出覆蓋給定射程的裝藥,然后確定出各裝藥對(duì)給定射程的射角,最后根據(jù)限制條件得出射擊方案[2]。為滿足計(jì)算耗時(shí)的要求,已有文獻(xiàn)[6-7]的算法是給定一個(gè)較稀疏的離散射擊序列:

(v0,j,θj,I),j=1,2,…,M,I=0,1,2,…,Nj

式中:M為裝藥種數(shù),Nj+1為第j號(hào)裝藥待計(jì)算的射角數(shù)量。求解該射擊序列對(duì)應(yīng)的射程序列,再通過(guò)線性插值的方式確定可以命中目標(biāo)的射擊序列:

(v0,j,θj,b),b=0,1,2,…,n

為克服上述算法彈道偏差較大的問(wèn)題,可采用局部插值算法。對(duì)于第j號(hào)裝藥：

①根據(jù)真空彈道斜射程公式判斷其最大射程是否可以覆蓋目標(biāo)；

②在火炮最大容許射角范圍[θmin,θmax]內(nèi)采用二分法確定真空彈道達(dá)到或超過(guò)目標(biāo)射程的射角范圍[θj,min,θj,max],θj,min和θj,max作為空氣彈道計(jì)算的射角下邊界和上邊界；

③給定某較小的射角增量Δθ,從θj,min開(kāi)始向上逐個(gè)射角求解彈道。即給定(v0,j,θj,min+bΔθ),采用四階Runge-Kutta方法[19]求解彈道微分方程組,若存在命中目標(biāo)(彈道落點(diǎn)與目標(biāo)的距離不超過(guò)殺傷半徑)的彈道,則直接保存其彈道參數(shù)(v0,j,θj,min+bΔθ,tj,g)；若不存在命中目標(biāo)的彈道,則計(jì)算直到第1條超過(guò)目標(biāo)射程的彈道時(shí)停止向上遍歷,對(duì)最后2條彈道的參數(shù)做線性插值,得該裝藥對(duì)目標(biāo)的低伸彈道；

④從θj,max開(kāi)始向下逐個(gè)求解彈道,直到找到命中目標(biāo)的彈道或第1條超過(guò)目標(biāo)射程的彈道,結(jié)束對(duì)該裝藥的彈道求解,采用與③相同的方法得到該裝藥的曲射彈道；

⑤對(duì)全部裝藥求得的所有彈道按彈道飛行時(shí)間tj,i遞增排列,去除與前1條彈道的飛行時(shí)間差小于Δtmin的彈道,得到MRSI彈道的射擊序列。

記低伸彈道射角為θj,r,曲射彈道射角為θj,q,采用局部插值算法可將第j號(hào)裝藥求解的射角范圍限制于θj,use=[θj,min,θj,r]∪[θj,q,θj,max]。在本文第5節(jié)的計(jì)算條件下,第5號(hào)裝藥對(duì)10 km射程的θ5,use只占火炮容許射角范圍的4.58%,在計(jì)算量相當(dāng)條件下可以將原有算法的稀疏彈道序列加密20倍左右。第7號(hào)裝藥在45 km附近的彈道偏差小于1 m,彈道計(jì)算精度得到了很大提升。第5號(hào)裝藥對(duì)10 km射程的邊界射角彈道曲線如圖3。θ5,use中包含61條彈道,與文獻(xiàn)[7]所給計(jì)算序列包含的射角數(shù)量51相差不大。

圖3中彈道曲線Ⅰ和Ⅱ?yàn)閽佄锞€低伸和曲射彈道,射角分別為θj,min和θj,max；曲線Ⅲ～Ⅶ為空氣彈道,其中曲線Ⅲ和Ⅳ為低伸彈道,射角分別為θj,min和θj,r；曲線Ⅴ和Ⅵ為曲射彈道,射角分別為θj,max和θj,q；曲線Ⅶ為射角在[θj,r,θj,q]范圍內(nèi)的彈道。

采用局部插值算法實(shí)現(xiàn)MRSI彈道計(jì)算的流程如圖4所示。

4 并行計(jì)算

在高性能并行計(jì)算中,基于消息傳遞的MPI(message passing interface)編程模型是科研和工程領(lǐng)域中的事實(shí)標(biāo)準(zhǔn)[20],本文采用MPI實(shí)現(xiàn)MRSI彈道的并行計(jì)算。在進(jìn)行大量空氣彈道解算之前,需要先根據(jù)拋物彈道斜射程公式判斷各裝藥是否能達(dá)到目標(biāo)射程,并確定可達(dá)到目標(biāo)射程的裝藥的空氣彈道上、下邊界,所有裝藥的空氣彈道計(jì)算結(jié)束后需要對(duì)命中目標(biāo)的彈道排序、篩選以確定MRSI彈道射擊序列,以上任務(wù)計(jì)算量較小,單個(gè)CPU便可迅速完成；大量空氣彈道的解算則由多個(gè)CPU并行完成。因此本文采用MPI模型中的1?N集合通信模型[21],在所有參與計(jì)算的CPU中,存在一個(gè)Host(主CPU),負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)前處理、任務(wù)分配和最終的彈道序列生成；其余均為Device(設(shè)備CPU),只負(fù)責(zé)大量空氣彈道的并行解算。本文研究所用計(jì)算平臺(tái)的CPU為6核12線程,型號(hào)為Intel(R)Core(TM)i7-5820k,主頻3.30 GHz；內(nèi)存32 GB；操作系統(tǒng)為Windows Server 2012R2 Standard。

4.1 任務(wù)分配方案

為確定MRSI射擊序列,需對(duì)局部插值算法確定的射角范圍內(nèi)的密集彈道序列進(jìn)行解算,為此可有以下3種任務(wù)分配方案供選擇(設(shè)有k個(gè)Device)。

① 每個(gè)Device負(fù)責(zé)一種裝藥的彈道解算,M種裝藥需要k=M；

② 依次計(jì)算各裝藥的彈道,每個(gè)裝藥的θj,use被均分為k段,每個(gè)Device計(jì)算其中一段；

③ 依次計(jì)算各裝藥的彈道,各Device計(jì)算的彈道按插空分配,設(shè)裝藥j需要計(jì)算的射角序列為

[θj,0,θj,1,θj,2,…,θj,Nj]

則第h個(gè)Device負(fù)責(zé)計(jì)算的射角序列為

[θj,h,θj,h+k,θj,h+2k,…,θj,h+fk],h+fk≤Nj

式中:f為滿足h+fk≤Nj的最大自然數(shù)。

方案①為粗粒度并行,方案②和方案③為細(xì)粒度并行。為減少計(jì)算耗時(shí),需要盡可能提高并行算法的并行度。由于各裝藥的炮彈初速差別較大,θj,use占火炮最大容許射角范圍的比例相差也會(huì)較大,所以按照方案①分配時(shí),各Device的計(jì)算量明顯不均勻,算法的并行度較低。根據(jù)外彈道學(xué),曲射彈道的彈道飛行時(shí)間總是大于低伸彈道。按方案②分配計(jì)算任務(wù)時(shí),由于各Device求解彈道方程的時(shí)間步長(zhǎng)為統(tǒng)一值,曲射彈道的時(shí)間步數(shù)量總會(huì)大于低伸彈道,算法并行度低。按方案③分配任務(wù)時(shí),由于同一裝藥相鄰射角的彈道差別不大,各Device之間可實(shí)現(xiàn)最大程度的并行。綜合上述分析,任務(wù)分配應(yīng)采用方案③。

圖5為采用不同的任務(wù)分配方案計(jì)算10 km射程的MRSI彈道所消耗的計(jì)算時(shí)間,數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果與上述分析相吻合。計(jì)算耗時(shí)為tc,計(jì)算中保證Device數(shù)量k=M,其余計(jì)算條件見(jiàn)第5節(jié)。

4.2 并行效率

由圖6可知,隨著Device數(shù)量的增加,并行效率在遞增,但遞增的速度減緩。這是由于隨著Device數(shù)量的增加,彈道計(jì)算所消耗的時(shí)間減少,數(shù)據(jù)處理消耗的時(shí)間占總耗時(shí)的比重上升,且用于通信和數(shù)據(jù)處理的時(shí)間消耗會(huì)增加。由此可以預(yù)測(cè),存在某個(gè)Device數(shù)Mη使得并行效率取最大值,之后再增加Device的數(shù)量,并行效率將降低,實(shí)際系統(tǒng)的Mη可由實(shí)驗(yàn)確定。從并行效率、硬件復(fù)雜程度、可靠性和經(jīng)濟(jì)性等角度考慮,彈道計(jì)算機(jī)的Device數(shù)量不應(yīng)該超過(guò)Mη。

5 應(yīng)用實(shí)例

為驗(yàn)證局部插值算法和并行算法的有效性,取如下條件做MRSI彈道仿真計(jì)算。

①榴彈彈徑d=122 mm,cx0,N(Ma)采用43年阻力定律,彈形系數(shù)i=1.035；

②各級(jí)裝藥的炮彈初速如表1所示。

表1 裝藥初速表

③兩次射擊之間的最小時(shí)間間隔Δtmin=8.75 s；

④火炮最大容許射角范圍為5°～85°；

⑤命中精度：榴彈殺傷半徑為10 m,MRSI彈道時(shí)間精度為0,即計(jì)算狀態(tài)下所有炮彈同時(shí)落在距離目標(biāo)10 m以內(nèi)；

⑥射程范圍5～15 km,計(jì)算間隔為1 km,目標(biāo)相對(duì)我方陣地高度為100 m；

⑦Δθ=0.06°,Runge-Kutta法求解彈道方程時(shí),為保證彈道計(jì)算精度,時(shí)間步長(zhǎng)取1 ms。

計(jì)算結(jié)果：15 km射程計(jì)算耗時(shí)最大,為14.16 s,與文獻(xiàn)[2]相符,所得MRSI彈道數(shù)量Q隨射程X的分布如圖7。文獻(xiàn)[3]的彈道數(shù)量分布在2～6條,與本文相符。

圖7中,10 km射程的MRSI彈道射擊序列見(jiàn)表2,j為裝藥號(hào),θ為射角,t為彈道飛行時(shí)間,ts為射擊時(shí)刻。

表2 10 km射程MRSI彈道射擊序列

10 km射程的MRSI彈道曲線如圖8,其中編號(hào)Ⅰ～Ⅴ對(duì)應(yīng)表2中的序列號(hào)1～5.

6 結(jié)論

本文分析了已有的MRSI彈道算法和彈道分布規(guī)律,在此基礎(chǔ)上做了以下研究工作：

①提出了一種局部插值算法,可大幅提高彈道計(jì)算精度,同時(shí)引入MPI并行計(jì)算,保證計(jì)算耗時(shí)滿足戰(zhàn)場(chǎng)要求；

②在并行算法設(shè)計(jì)中,分析了不同任務(wù)分配方式的并行度,結(jié)合數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果,選擇并行度最高的第③方案；

③根據(jù)并行效率與CPU核心數(shù)量的關(guān)系,指出彈道計(jì)算機(jī)的CPU數(shù)量不應(yīng)該超過(guò)Mη；

④應(yīng)用局部插值算法結(jié)合并行計(jì)算,在一定條件下計(jì)算了5～15 km射程的MRSI彈道,驗(yàn)證了算法的有效性和高效性。

雖然本文的研究對(duì)象只是普通自動(dòng)化榴彈炮,但局部插值算法和并行計(jì)算方法可直接推廣到基于瞄準(zhǔn)點(diǎn)排布的面積殺傷法[7]和一維修正彈[8-10]的MRSI彈道計(jì)算中。近年來(lái),通用圖形處理器(general purpose graphics processing units,GPGPU)并行加速技術(shù)已經(jīng)在計(jì)算傳熱學(xué)[22]、計(jì)算流體力學(xué)[23]以及信號(hào)處理[24]等多個(gè)領(lǐng)域取得了應(yīng)用。相比于CPU,GPGPU更適合于進(jìn)行大規(guī)模重復(fù)性計(jì)算,未來(lái)可以考慮將GPGPU并行加速應(yīng)用于MRSI彈道求解,以解決更復(fù)雜的新型可控炮彈[25]MRSI彈道解算問(wèn)題。

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