基于負(fù)剛度的高速動(dòng)車組二維動(dòng)力吸振器研究

孫 煜, 周勁松, 宮 島, 孫文靜

(同濟(jì)大學(xué) 鐵道與城市軌道交通研究院，上海 201804)

隨著高速動(dòng)車組運(yùn)營(yíng)速度的提升，車體振動(dòng)加劇，諸多學(xué)者提出采用動(dòng)力吸振器控制車體彈性振動(dòng).周勁松等[1]在車底安裝動(dòng)力吸振器，研究其對(duì)車體彈性振動(dòng)的作用，提出動(dòng)力吸振器質(zhì)量越大，減振性能越好.Gong等[2]將車體視為均質(zhì)彈性歐拉梁，安裝動(dòng)力吸振器，建立剛?cè)狁詈夏Ｐ停治鰟?dòng)力吸振器對(duì)車體振動(dòng)的抑制作用，提出采用動(dòng)力吸振器后，大大降低了對(duì)車體垂向一階彎曲頻率的要求.

以往的研究中，大多是將動(dòng)力吸振器用于車體彈性振動(dòng)控制，鮮見用于車體剛性振動(dòng)控制，究其原因，是由于高速動(dòng)車組車體剛性振動(dòng)頻率很低，針對(duì)剛性振動(dòng)頻率所設(shè)計(jì)的動(dòng)力吸振器，其吊掛剛度很低，靜撓度過大，難以直接安裝于車體下方.為了解決吊掛剛度與靜撓度這一矛盾，可采用高靜剛度低動(dòng)剛度(high static low dynamic stiffness, HSLDS)減振元件作為動(dòng)力吸振器的吊掛元件.國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)HSLDS減振元件進(jìn)行過諸多研究.Carrella等[3-4]將一對(duì)線性彈簧水平放置，與垂向線性彈簧并聯(lián)，得到HSLDS隔振系統(tǒng)，該系統(tǒng)在與等效線性系統(tǒng)有著同樣靜撓度的條件下，具有更低的固有頻率.劉興天等[5-7]通過并聯(lián)具有負(fù)剛度特性的刀口支撐滑動(dòng)梁和正剛度的線性彈簧，得到超低頻非線性隔振系統(tǒng)，還將具有負(fù)剛度特性的歐拉屈曲梁結(jié)構(gòu)與線性隔振器并聯(lián)得到準(zhǔn)零剛度隔振器.孟令帥等[8]分別采用等厚度和變厚度碟形彈簧與線性彈簧并聯(lián)，得到準(zhǔn)零剛度隔振器，并研究了其靜態(tài)和動(dòng)態(tài)特性，得到了激勵(lì)幅值、質(zhì)量比、阻尼比等參數(shù)對(duì)碟形彈簧準(zhǔn)零剛度隔振器的影響特點(diǎn).

本文首先分析了基于加速度的二維動(dòng)力吸振器的工作原理，設(shè)計(jì)了安裝于車體下方，同時(shí)吸收車體點(diǎn)頭、浮沉振動(dòng)的二維動(dòng)力吸振器.然后，利用碟形彈簧的負(fù)剛度特性，將其與橡膠彈簧并聯(lián)，設(shè)計(jì)了用于安裝二維動(dòng)力吸振器的HSLDS減振元件.最后，基于Matlab/Simulink軟件，建立了車輛垂向非線性動(dòng)力學(xué)模型，分析了二維動(dòng)力吸振器對(duì)車體振動(dòng)的作用.

1 基于加速度的二維動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)

動(dòng)力吸振器是振動(dòng)控制領(lǐng)域重要的制振裝置，在建筑、機(jī)械等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[9-11].動(dòng)力吸振器是由輔助質(zhì)量、彈簧及阻尼組成，其工作原理是利用多自由度系統(tǒng)的反共振特性，當(dāng)主系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)，動(dòng)力吸振器也隨之振動(dòng)，由于吸振器的動(dòng)力作用，使其施加到主系統(tǒng)上的力與外界激振力的方向相反，以致其與外界激勵(lì)力疊加后，作用到主系統(tǒng)上的合力幅值減小，以達(dá)到抑制主系統(tǒng)振動(dòng)的目的[12].

圖1是同時(shí)考慮主振動(dòng)系統(tǒng)浮沉和點(diǎn)頭振動(dòng)的動(dòng)力吸振器原理圖.圖中，m1、J1分別為主振動(dòng)系統(tǒng)質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，m2、J2分別為動(dòng)力吸振器質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其振動(dòng)微分方程為

圖1 二維動(dòng)力吸振器原理圖

(1)

(2)

(3)

(4)

式中:x1、θ1、k1、l1分別為主振動(dòng)系統(tǒng)的垂向位移、點(diǎn)頭角度、懸掛剛度、懸掛跨距之半;x2、θ2、k2、c、l2分別為動(dòng)力吸振器的垂向位移、點(diǎn)頭角度、懸掛剛度、阻尼、懸掛跨距之半;F1、T1分別為作用在主振動(dòng)系統(tǒng)上的力和力矩幅值.

由模型的振動(dòng)微分方程可知，其浮沉與點(diǎn)頭振動(dòng)是獨(dú)立的，并不耦合，因此，兩種振動(dòng)可單獨(dú)描述.這里以點(diǎn)頭振動(dòng)為例，推導(dǎo)基于加速度的點(diǎn)頭吸振原理，其動(dòng)力學(xué)方程為式(3)與式(4)，聯(lián)立該兩式，假設(shè)其解為

θ1(t)=Θ1ei(ωt-φ),θ2(t)=Θ2ei(ωt-φ)

(5)

式中:Θ1、Θ2分別為主振動(dòng)系統(tǒng)和動(dòng)力吸振器的響應(yīng)幅值;φ為相位.則主振動(dòng)系統(tǒng)的加速度可表示為

(6)

式中:A1為復(fù)數(shù)，包含了加速度的幅值和相位信息.

將式(5)代入式(3)與式(4)，并引入以下符號(hào)

式中:ω1為主振動(dòng)系統(tǒng)固有角頻率;ω2為動(dòng)力吸振器固有角頻率;θst為主振動(dòng)系統(tǒng)的靜變形;μ為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比;β為動(dòng)力吸振器與主振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率比;λ為強(qiáng)迫振動(dòng)頻率比;ζ為阻尼比.整理可得點(diǎn)頭加速度放大倍數(shù)為

(7)

利用定點(diǎn)理論，令ζ=0及ζ=∞的兩式相等，可得出兩定點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)位置，再令二者等高，可得滿足加速度響應(yīng)的動(dòng)力吸振器最優(yōu)同調(diào)條件

(8)

圖2是基于加速度響應(yīng)的最優(yōu)同調(diào)得到滿足時(shí)主振動(dòng)系統(tǒng)的加速度響應(yīng)與定點(diǎn)P、Q的關(guān)系.該圖為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比μ=0.1的情況，其中ζ=0.18是動(dòng)力吸振器最優(yōu)阻尼，此時(shí)主振動(dòng)系統(tǒng)加速度響應(yīng)振幅比峰值位于定點(diǎn)P、Q附近.

圖2 主振動(dòng)系統(tǒng)加速度響應(yīng)曲線

目前的高速動(dòng)車組通常采用輕量化技術(shù)，在車體底下吊掛重達(dá)數(shù)頓的動(dòng)力吸振器是不現(xiàn)實(shí)的.一種可行的方法是將車下設(shè)備(如牽引變流器)視為動(dòng)力吸振器，將車體視為主振動(dòng)系統(tǒng)，如圖1所示.本研究中車輛動(dòng)力學(xué)參數(shù)如表1所示.

表1 車輛動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其含義

根據(jù)表1所示車輛動(dòng)力學(xué)參數(shù)，可計(jì)算得車體浮沉頻率為0.678 Hz，點(diǎn)頭頻率為0.900 Hz，可得動(dòng)力吸振器質(zhì)量比μm、慣量比μJ分別為

(9)

可得滿足動(dòng)力吸振器浮沉、點(diǎn)頭最優(yōu)同調(diào)條件時(shí)，動(dòng)力吸振器浮沉頻率比βm、點(diǎn)頭頻率比βJ分別為

(10)

可得動(dòng)力吸振器浮沉頻率fm、點(diǎn)頭頻率fJ分別為

(11)

根據(jù)圖1所示動(dòng)力吸振器原理，可將動(dòng)力吸振器視為2點(diǎn)吊掛，可得動(dòng)力吸振器浮沉振動(dòng)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)同調(diào)時(shí)，吊掛剛度ke為

(12)

動(dòng)力吸振器點(diǎn)頭振動(dòng)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)同調(diào)時(shí)，吊掛跨距之半le為

(13)

2 高靜剛度低動(dòng)剛度減振元件設(shè)計(jì)

如果采用傳統(tǒng)橡膠元件作為動(dòng)力吸振器懸掛元件，對(duì)于質(zhì)量m、懸掛剛度kz、懸掛頻率fz、靜撓度δst的動(dòng)力吸振器有

(14)

可見，懸掛頻率直接決定了懸掛剛度及靜撓度，如果懸掛頻率過低，會(huì)使吸振器靜撓度太大，導(dǎo)致超限界等問題.根據(jù)上節(jié)分析可知，抑制車體浮沉振動(dòng)與點(diǎn)頭振動(dòng)的二維動(dòng)力吸振器，其浮沉與點(diǎn)頭固有頻率均小于1 Hz，顯然，僅采用傳統(tǒng)橡膠元件作為懸掛元件是不行的.因此，本文基于碟形彈簧的負(fù)剛度特性，設(shè)計(jì)出一種碟型彈簧與傳統(tǒng)橡膠件并聯(lián)的HSLDS減振元件，以使動(dòng)力吸振器以低頻懸掛的同時(shí)，靜撓度也控制在一定范圍內(nèi).

圖3 碟形彈簧力-變形特性曲線

無支撐面碟形彈簧截面示意圖如圖5所示.圖中，D為外徑，d為內(nèi)徑.通常，無支撐面碟形彈簧(外內(nèi)徑之比C=1～4)受力可表示為[13]

(15)

式中:E為彈性模量;ν為泊松比，x為碟形彈簧從初始位置沿垂向產(chǎn)生的位移;K1與外內(nèi)徑之比C(C=D/d)有關(guān)

1—車體連接端;2—設(shè)備連接端;3—橡膠彈簧;4—僅提供垂向剛度的碟形彈簧負(fù)剛度機(jī)構(gòu);5—碟形彈簧；6—滑動(dòng)機(jī)構(gòu)或潤(rùn)滑層

圖4HSLDS減振元件示意圖

Fig.4IllustrationofHSLDSelement

圖5 無支撐面碟形彈簧截面示意圖

Fig.5Illustrationofthesectionofdiscspringwithoutsupportingface

(16)

為了研究碟形彈簧負(fù)剛度特性，令

并代入式(15)有

(17)

將式(17)等號(hào)兩側(cè)對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)，可得碟形彈簧剛度表達(dá)式為

(18)

HSLDS減振元件垂向剛度-位移曲線如圖6所示.圖中，kaopt為動(dòng)力吸振器垂向剛度目標(biāo)設(shè)計(jì)值，

kaopt=(2πfopt)2me/n

(19)

fopt為設(shè)備的垂向目標(biāo)固有頻率;me為動(dòng)力吸振器的質(zhì)量;n為減振元件的個(gè)數(shù);kd為通過式(18)計(jì)算得到的碟形彈簧垂向剛度;kz為并聯(lián)的橡膠彈簧垂向剛度，并取平衡位置為z=0(z=x-h0);ka即為最終獲得的HSLDS減振元件垂向剛度，

(20)

從圖6可以看出，當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置附近振動(dòng)時(shí)，HSLDS減振元件垂向剛度ka可達(dá)到垂向剛度目標(biāo)設(shè)計(jì)值kaopt.

圖6 HSLDS減振元件垂向剛度-位移曲線

根據(jù)上節(jié)所設(shè)計(jì)二維動(dòng)力吸振器參數(shù)，HSLDS減振元件目標(biāo)剛度值為kaopt=ke=47.3 kN·m-1，設(shè)吸振器僅在橡膠彈簧作用下吊掛靜撓度為6 mm，采用4點(diǎn)吊掛的方式，可得橡膠彈簧垂向剛度值為

(21)

根據(jù)式(19)可得平衡位置處碟形彈簧應(yīng)提供的負(fù)剛度為

kd(z=0)=kz-kaopt=2 405.2 kN·m-1

(22)

根據(jù)式(22)碟形彈簧平衡位置所需提供的負(fù)剛度值，可設(shè)計(jì)出碟形彈簧各參數(shù)如表2所示.根據(jù)表2所設(shè)計(jì)的碟形彈簧參數(shù)，校核設(shè)備在HSLDS吊掛下的實(shí)際靜撓度為

δst=(meg/4-Fd(z=0))/kz=5.7 mm

(23)

式中:Fd(z=0)為平衡位置時(shí)碟形彈簧提供的垂向力，此時(shí)碟形彈簧的壓縮量等于其高度，結(jié)合表2中碟形彈簧的高度可知，安裝碟形彈簧時(shí)，需預(yù)壓縮0.54 mm.

表2 碟形彈簧各參數(shù)

3 車輛垂向非線性動(dòng)力學(xué)模型的建立與分析

由以上分析可知，用于吊掛二維動(dòng)力吸振器的HSLDS減振元件的剛度特性是非線性的，因此，本研究采用Matlab/Simulink建立車輛非線性垂向動(dòng)力學(xué)模型，通過時(shí)間積分仿真，分析二維動(dòng)力吸振器對(duì)車輛振動(dòng)性能的影響.采用面向?qū)ο蟮慕７椒╗14]，基于Matlab/Simulink建立車輛垂向動(dòng)力學(xué)模型，可將車輛系統(tǒng)劃分為5大類[15]：①結(jié)構(gòu)類，②懸掛類，③功能模塊類，④輪軌接觸類，⑤軌道輸入類.本研究中，結(jié)構(gòu)類包含1個(gè)車體、1個(gè)動(dòng)力吸振器、2個(gè)轉(zhuǎn)向架，均考慮浮沉振動(dòng)與點(diǎn)頭振動(dòng)，共8個(gè)自由度；懸掛類包括4個(gè)一系懸掛、2個(gè)二系懸掛、2個(gè)動(dòng)力吸振器懸掛；輪軌接觸假設(shè)車輪緊貼鋼軌，將軌道譜垂向激勵(lì)直接作用于軸箱作為系統(tǒng)激勵(lì)輸入，軌道譜采用空間域高速高干擾譜.輸入到結(jié)構(gòu)類的信息是廣義懸掛力和廣義慣性力，輸出的是該結(jié)構(gòu)的狀態(tài)變量，如車體的浮沉、點(diǎn)頭；懸掛類包含一系、二系彈簧及阻尼器；軌道譜輸入垂向位移、速度激勵(lì).車輛垂向力學(xué)模型如圖7所示，各參數(shù)如表1所示.其中，動(dòng)力吸振器吊掛剛度ke為非線性，具體參數(shù)由所設(shè)計(jì)的碟形彈簧與橡膠彈簧決定.

圖7 車輛垂向力學(xué)模型

通過所建車輛垂向非線性動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行時(shí)域仿真，計(jì)算車輛速度為350 km·h-1的車體振動(dòng)響應(yīng)情況.圖8為車體中部振動(dòng)加速度功率譜密度(power spectral density, PSD).可以看出，無論有無采用二維動(dòng)力吸振器，車體振動(dòng)加速度功率譜密度峰值均在0.678 Hz與0.900 Hz處.這是分別由車體浮沉、點(diǎn)頭振動(dòng)所致，采用二維動(dòng)力吸振器后，車體浮沉、點(diǎn)頭振動(dòng)得到明顯降低，浮沉振動(dòng)峰值降低50.6%，點(diǎn)頭振動(dòng)峰值降低49.0%.

圖9為車體前轉(zhuǎn)向架處振動(dòng)加速度PSD，其與車體中部振動(dòng)情況相似，采用二維動(dòng)力吸振器后，浮沉、點(diǎn)頭振動(dòng)峰值分別降低約58.1%、47.6%.

圖10為車體后轉(zhuǎn)向架處振動(dòng)加速度PSD，采用二維動(dòng)力吸振器后，浮沉、點(diǎn)頭頻率處峰值分別降低約43.8%、39.3%.

綜合圖8～10可得，車輛主要?jiǎng)傂哉駝?dòng)能量來自于其浮沉及點(diǎn)頭振動(dòng)，在車體下方安裝二維動(dòng)力吸振器后，車體浮沉、點(diǎn)頭振動(dòng)均可得到有效降低.

圖8 車體中部垂向振動(dòng)加速度PSD

圖9 前轉(zhuǎn)向架處垂向振動(dòng)加速度PSD

圖10 后轉(zhuǎn)向架處垂向振動(dòng)加速度PSD

圖11、12、13分別為不同速度級(jí)下，無動(dòng)力吸振器車體與采用二維動(dòng)力吸振器車體中部、前轉(zhuǎn)向架處、后轉(zhuǎn)向架處的平穩(wěn)性Sperling指標(biāo).采用動(dòng)力吸振器后，車體中部、前轉(zhuǎn)向架處、后轉(zhuǎn)向架處運(yùn)行平穩(wěn)性Sperling指標(biāo)均明顯降低，速度為350 km·h-1時(shí)，車體中部、前轉(zhuǎn)向架、后轉(zhuǎn)向架處分別降低3.9%、1.2%、2.1%.這是由于采用二維動(dòng)力吸振器后，車體浮沉、點(diǎn)頭振動(dòng)被二維動(dòng)力吸振器所抑制，以致車體浮沉、點(diǎn)頭振動(dòng)加速度幅值降低，從而使運(yùn)行平穩(wěn)性得到提高，乘坐舒適度得到改善.

圖11 車體中部運(yùn)行平穩(wěn)性指標(biāo)

圖12 車體前轉(zhuǎn)向架處運(yùn)行平穩(wěn)性指標(biāo)

圖13 車體后轉(zhuǎn)向架處運(yùn)行平穩(wěn)性指標(biāo)

4 結(jié)論

本文首先分析了基于加速度的二維動(dòng)力吸振器工作原理，將車體視為主振動(dòng)系統(tǒng)，車下設(shè)備視為動(dòng)力吸振器，設(shè)計(jì)了針對(duì)車體點(diǎn)頭、浮沉振動(dòng)的二維動(dòng)力吸振器.為了使二維動(dòng)力吸振器安裝靜撓度控制在一定范圍的同時(shí)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)同調(diào)，基于碟形彈簧的負(fù)剛度特性，將其與橡膠彈簧結(jié)合，設(shè)計(jì)了用于二維動(dòng)力吸振器吊掛的高靜剛度低動(dòng)剛度減振元件.基于Matlab/Simulink軟件，建立了高速動(dòng)車組垂向非線性動(dòng)力學(xué)模型，分析了二維動(dòng)力吸振器對(duì)車體振動(dòng)的影響.基于本文所研究高速動(dòng)車組，設(shè)計(jì)安裝二維動(dòng)力吸振器后，車體中部、前、后轉(zhuǎn)向架處浮沉振動(dòng)功率譜密度峰值分別降低50.6%、58.1%、43.8%；車體中部、前、后轉(zhuǎn)向架處點(diǎn)頭振動(dòng)功率譜密度峰值分別降低49.0%、47.6%、39.3%；各速度級(jí)下車體中部、前、后轉(zhuǎn)向架處運(yùn)行平穩(wěn)性Sperling指標(biāo)明顯降低.研究結(jié)果表明，二維動(dòng)力吸振器可以有效抑制車體浮沉、點(diǎn)頭振動(dòng)，提高車輛運(yùn)行平穩(wěn)性，改善乘坐舒適度.

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