倡導(dǎo)一題多解 提高學(xué)生解決問(wèn)題的綜合能力

郭勇其

摘 要：本文通過(guò)對(duì)2017年全國(guó)高考理綜（Ⅰ）卷第21題的若干種解法分析，旨在增強(qiáng)高考復(fù)習(xí)時(shí)分析題目的意識(shí)，倡導(dǎo)通過(guò)一題多解，發(fā)散學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生去尋求發(fā)現(xiàn)巧解、妙解，讓學(xué)生在比較與討論中找出最簡(jiǎn)便的解法和獨(dú)特的富有新意的解題思路，真正培養(yǎng)學(xué)生對(duì)多種解題方法的認(rèn)識(shí)。利用一題多解既能讓學(xué)生復(fù)習(xí)歸納知識(shí)，也能讓學(xué)生在頭腦中建立不同知識(shí)之間的聯(lián)系，完善學(xué)生的知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系，真正促進(jìn)學(xué)生的綜合能力的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：動(dòng)態(tài)平衡；一題多解；解題方法；發(fā)散思維；綜合能力

高三復(fù)習(xí)，許多學(xué)生埋頭于題海中，教師的講解有點(diǎn)兒走馬觀花，一帶而過(guò)，結(jié)果學(xué)生對(duì)于知識(shí)的應(yīng)用、解決問(wèn)題的綜合能力無(wú)法得到提高，復(fù)習(xí)效率低下。本文擬通過(guò)對(duì)2017年全國(guó)高考理綜（Ⅰ）卷第21題的不同解法，倡導(dǎo)高三復(fù)習(xí)時(shí)通過(guò)一題多解，全面提高學(xué)生解決問(wèn)題的綜合能力、提高復(fù)習(xí)效率。

題目：（2017年全國(guó)理綜Ⅰ卷）21題為多項(xiàng)選擇題。如圖1所示，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點(diǎn)M拴一重物，用手拉住繩的另一端N。初始時(shí)，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為α（α> ）。現(xiàn)將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變。在OM由豎直被拉到水平的過(guò)程中

A.MN上的張力逐漸增大

B.MN上的張力先增大后減小

C.OM上的張力逐漸增大

D.OM上的張力先增大后減小

引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題，尋求解決問(wèn)題的可能方案，提出解決問(wèn)題策略是培養(yǎng)學(xué)生分析能力、思維發(fā)散能力的好方法，也是習(xí)題教學(xué)的重要功能之一。

在學(xué)生用常規(guī)的思路解決之后，鼓勵(lì)他們嘗試從其他不同的角度或方法對(duì)問(wèn)題展開(kāi)分析，久而久之學(xué)生的思維就不會(huì)局限于原有的思維定勢(shì)，從而達(dá)到訓(xùn)練發(fā)散思維的目的。分析題目：

考點(diǎn)分析：本題是考點(diǎn)“共點(diǎn)力作用下物體的平衡” 中典型模型“動(dòng)態(tài)平衡”的問(wèn)題。

解決問(wèn)題的切入點(diǎn)：角α不變且α>

解決問(wèn)題的策略：正交分解法或平行四邊形定則

解決問(wèn)題的關(guān)鍵：畫出動(dòng)態(tài)變化中的靜態(tài)圖

解決問(wèn)題的方法：圖解法、解斜三角形法、端值法等

解法一：解斜三角形法

“動(dòng)態(tài)平衡”的問(wèn)題解法很多，其中利用三角形的正弦定理或余弦定理是經(jīng)常用到的方法。

將重物拉開(kāi)一個(gè)角度β后，對(duì)重物進(jìn)行受力分析，根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件，繩子OM與MN的拉力T 、TN的合力與重物的重力mg等值反向，如圖2所示。由三角形正弦定理可得 = = ；

由于α不變，且α> ，重物向右上方緩慢拉起時(shí)，β在增加，故TN在增大；又，β從0增大到 的過(guò)程中，sin（α-β）大小是先增大后減少，故TO也是先增大后減少。綜上所述，答案為A、D。

（注：本解法學(xué)生遇到的障礙是“三角形正弦定理”和“α> ，β從0增大到 時(shí)，

sin（α-β）大小是先增大后減少”）

解法二：正交分解法

正交分解法是“共點(diǎn)力作用下物體的平衡”這一考點(diǎn)的基礎(chǔ)知識(shí)，也是最常規(guī)的解法。

將重物拉開(kāi)一個(gè)角度β后，對(duì)重物進(jìn)行受力分析，以O(shè)M1 方向?yàn)榭v坐標(biāo)，垂直于為OM1方向橫坐標(biāo)，建立直角坐標(biāo)系，分別對(duì)mg 、TN進(jìn)行分解，如圖3所示；然后列方程得：mgsinβ=TNsin（？仔-？琢）①，由于α不變，可見(jiàn)在β從0增大到 的過(guò)程中，TN是一直增大；同時(shí)有TO=mgcosβ+TN cos（？仔-？琢）②，聯(lián)立①②，結(jié)合數(shù)學(xué)的三角函數(shù)中的知識(shí)，最終②式可寫成TO=Asin（β+r）形式，在β從0增大到 的過(guò)程中，sin（β+r）是先增大后減少，故TO也是先增大后減少。綜上所述，答案為A、D。

（注：本解法學(xué)生遇到的障礙是“利用三角函數(shù)中的知識(shí)，聯(lián)立①②，寫成TO=Asin（β+r）形式”）

解法三：圖解法

“動(dòng)態(tài)平衡”的問(wèn)題中，若研究對(duì)象受到三個(gè)力作用，其中一個(gè)力為恒力，另一個(gè)力方向不變，第三個(gè)力則隨外界條件的變化而變化，包括大小和方向都變化，解決問(wèn)題往往是應(yīng)用三角形定則畫出不同狀態(tài)下的矢量圖（畫在同一個(gè)圖中），然后根據(jù)有向線段（表示力）的長(zhǎng)度變化判斷各力的變化情況。

在圖2的基礎(chǔ)上，注意到π-α不變，重力mg不變，而TO、 TN的大小和方向都在變化，由于α> ，mg、TO 、TN三者的大小方向及變化關(guān)系可以用圖4表示。由圖可以看出隨著MN向上傾斜，TN是一直增大，而TO是先增大后減少（從弦到直徑再到弦）。所以，答案為A、D。

（注：本解法學(xué)生遇到的障礙是“畫出動(dòng)態(tài)圖” 以及“TO是從弦到直徑再到弦的變化過(guò)程”）

解法四：相似三角形法

“相似三角形法”指的是在對(duì)物體進(jìn)行受力分析（尤其是動(dòng)態(tài)平衡過(guò)程）時(shí)找到兩個(gè)相似三角形，其中一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)表示長(zhǎng)度，另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)表示力的大小。利用相似三角形法可以判斷某些力的變化情況。

在圖2的基礎(chǔ)上，還可以應(yīng)用“相似三角形法”另外求解，將M1N1反向延長(zhǎng)交OM（或其延長(zhǎng)線）于M2，如圖5所示，由圖可知三角形△OM1M2與mg、TO 、TN三者構(gòu)成的力圖三角形相似，則有： = ，重物向右上方緩慢拉起時(shí)， OM1不變，OM2是先減少后增大（不太容易看出，如圖6所示），故TO是先增大后減少；同時(shí)有 = = ，在β從0增大到 的過(guò)程中，TN是一直增大。答案為A、D。

（注：本解法學(xué)生遇到的障礙是分析出“OM2是先減少后增大”和尋找出“相似三角形法”）

解法五：端值法

端值法，是一種非常規(guī)的解題方法，特別是在某些選擇題中，在不超出變量取值范圍的前提下，對(duì)變量取極端值（極大值或極小值）進(jìn)行分析和研究，也可以是對(duì)物理過(guò)程取極端值分析，快速進(jìn)行判斷。

本題中，取最低點(diǎn)和最高點(diǎn)兩個(gè)位置進(jìn)行分析，剛開(kāi)始時(shí)，重物在最低點(diǎn)，繩子OM與MN的拉力TO 、TN的分別為mg 、0；重物在最高點(diǎn)（水平位置與O點(diǎn)等高）時(shí)，對(duì)重物進(jìn)行受力分析，如圖7所示，根據(jù)平行四邊形定則，繩子OM與MN的拉力TO 、TN的分別為

TO= ，TN=

可見(jiàn)：①當(dāng) 時(shí)，T/OTO；所以可以判斷選項(xiàng)C “OM上的張力逐漸增大”是錯(cuò)誤的（也可利用當(dāng)角α很接近 時(shí)，T/O 幾乎為零，判斷選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的）；選項(xiàng)D可能是正確的。

②若角α趨于π，TN 將趨于∞，由此可以判斷選項(xiàng)B“MN上的張力先增大后減小” 是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)A是正確的；由于本題是多項(xiàng)選擇題，故答案為A、D。

本題甚至可以應(yīng)用“有固定轉(zhuǎn)軸物體的平衡條件”判斷繩子MN的拉力TN的變化情況：以過(guò)O點(diǎn)、垂直于紙面的直線為軸，由于角α不變，所以隨著重物向右上方緩慢拉起，MN的拉力TN的力臂L1不變，而重力mg的力臂L2在增大，而OM的拉力TO的力矩為零；根據(jù)有固定轉(zhuǎn)軸物體的平衡條件得mgL2=TN L1，所以選項(xiàng)A是正確的；

（注：本解法學(xué)生遇到的障礙是“根據(jù)分析得到TO可能大于也可能小于TO，排除選項(xiàng)B”）

本例中，借助考點(diǎn)“共點(diǎn)力作用下物體的平衡”，復(fù)習(xí)了解決此類問(wèn)題的若干方法，也將解選擇題的一些方法（排除法、端值法）等介入進(jìn)來(lái)，有繁有簡(jiǎn)，各種方法相得益彰，提高了學(xué)生的興趣。因此，高考復(fù)習(xí)時(shí)的例題教學(xué)中首先應(yīng)注意常規(guī)解法的講授，做好正常的雙基教學(xué)，讓學(xué)生掌握一種基本的常規(guī)解法后，然后再適當(dāng)點(diǎn)撥，發(fā)散學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生去尋求發(fā)現(xiàn)其他巧解、妙解等，讓學(xué)生在比較與討論中找出最簡(jiǎn)便的解法和獨(dú)特的富有新意的解題思路，真正培養(yǎng)學(xué)生對(duì)多種解題方法的認(rèn)識(shí)。利用一題多解既能讓學(xué)生復(fù)習(xí)歸納知識(shí)，也能讓學(xué)生在頭腦中建立不同知識(shí)之間的聯(lián)系，完善學(xué)生的知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系，真正促進(jìn)學(xué)生的綜合能力的發(fā)展。