數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合

方同文

摘 要 數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個研究對象，在一定條件下能互化。數(shù)形結(jié)合，就是把數(shù)學(xué)中“語言文字表現(xiàn)的數(shù)量信息與呈現(xiàn)方式”和“幾何圖形與圖像、實物等形象材料呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息”有機結(jié)合解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的方法，使某些抽象的數(shù)學(xué)問題更直觀化、生動化、形象化，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，使很多問題便迎刃而解且解法簡捷；同時，也激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)概念；數(shù)形結(jié)合；學(xué)習(xí)興趣

中圖分類號：G622 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）02-0086-01

一、數(shù)學(xué)概念

在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)形結(jié)合，就是借助于直觀形象模型去理解抽象的數(shù)學(xué)語言或數(shù)量關(guān)系，即用有形的數(shù)學(xué)教具、數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)概念、定義、規(guī)律等數(shù)學(xué)知識有機結(jié)合，幫助學(xué)生感知、生成、深化概念。

1.圖形演示，理解概念

圖形演示是理解概念的最常用的方法，借助豐富的感性材料聯(lián)系具體形象的模型演示出數(shù)學(xué)概念最抽象的最本質(zhì)的屬性，從而豐富了學(xué)生的感性認知，更為理解數(shù)學(xué)概念。

如“求一個數(shù)的幾倍是多少”，學(xué)生最不易理解的是“倍”的概念，如何把“倍”的數(shù)學(xué)概念深入淺出地教授給學(xué)生，使他們能對“倍”有個深刻的印象，用圖形演示的方法是最簡單又最有效的方法。可以利用多媒體技術(shù)在第一行排出3根一組的紅色小木棒，再在第二行排出3根一組的藍色的小木棒，第二行一共排4組藍色小木棒。

結(jié)合演示，讓學(xué)生觀察比較兩行小木棒的數(shù)量特征，再啟發(fā)學(xué)生小組合作討論和交流，使學(xué)生清晰地認識到：紅色小木棒是1個3根，藍色小木棒是4個3根；把一個3根當(dāng)作一份，則紅色小木棒是1份，而藍色小木棒就有4份。用數(shù)學(xué)語言：把紅色小木棒當(dāng)作1倍，藍色小木棒的根數(shù)就是紅色小木棒的4倍。這樣，從演示中讓學(xué)生看到從“個數(shù)”到“份數(shù)”，再引出倍數(shù)，很快就觸及了概念的本質(zhì)。

2.借形設(shè)問，形成過程

在概念教學(xué)中要借助學(xué)生熟知的能夠觸摸和直接感知的有形物體或圖形，設(shè)置一些步步深入的誘導(dǎo)性問題，從感知到認識的思維過程，再引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、比較、分析、概括逐步形成新的概念。有助于加強學(xué)生理解與運用概念，同時激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。如，教學(xué)“體積”概念。教師可以借助形象物體設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生分析比較。首先觀察物體，初步感知。

讓學(xué)生觀察教室門和黑板并說出誰大誰小，再出示兩個邊長分別為2厘米和5厘米的正方形紙板用同樣的方法，這樣建立了學(xué)生對物體大小的初步感性認識。接著出示兩個同樣的玻璃杯都裝有半杯水A、B：在B杯中慢慢加入小石子，學(xué)生可以觀察到，隨著小石子投入的增多，杯中的水位不斷上升。問：B杯的水位為什么會上升？再引導(dǎo)“為什么B杯的水位會隨著放入的小石子增多而升高”這一問題進行深入討論，通過討論交流學(xué)生自然地領(lǐng)悟“物體所占空間的大小叫體積”這一概念。為了進一步使概念在應(yīng)用中得到鞏固，繼續(xù)B杯中放石子，學(xué)生觀察到水溢了出來，啟發(fā)學(xué)生從觀察到的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)了什么問題？學(xué)生思考后提出：杯里溢出的水的多少與放進去的石子有什么關(guān)系？經(jīng)過討論得出：從杯里溢出水的體積等于石子的體積。至此，學(xué)生不僅認識了概念，而且能夠應(yīng)用概念。

二、數(shù)量信息

數(shù)量信息是數(shù)學(xué)問題中常見的呈現(xiàn)方式，用數(shù)形結(jié)合把復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，挖掘數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。使問題化難為易，化繁為簡。既可以引進新知、建構(gòu)概念，還可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于發(fā)展學(xué)生的想象力和提高思維力。

1.“以形助數(shù)”借助圖形的直觀性來闡明數(shù)間關(guān)系

借助圖形的直觀性將抽象的數(shù)學(xué)概念、運算等形象化、簡單化，挖掘數(shù)學(xué)的本質(zhì)。根據(jù)題意畫直觀圖分析和找出數(shù)量關(guān)系，以清晰的理論指導(dǎo)學(xué)生理解算理，在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計算方法，正所謂“知其然、知其所以然。”

如：A、B兩車從甲、乙兩地相對開出在某個地方相遇。A車行了5小時，每小時54千米；B車行了7小時，每小時48千米。甲、乙兩地相距多少千米？

畫圖觀察分析，明確數(shù)量關(guān)系：

路程A=速度A×?xí)r間A；路程B=速度B×?xí)r間B；總路程=路程A+路程B

54×5+48×7

=270+336

=606（千米）

或：54×5=270（千米） 48×7=336（千米）

270+336=606（千米）

答：甲、乙兩地相距606千米。

2.“以數(shù)解形”借助數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性

通過數(shù)的運算和變式，求出相應(yīng)的結(jié)果，增強了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，擴展了學(xué)生的思維，讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價值。如求一元一次方程ax+b=0的解的時候可以進行拓展方法。通常是采用轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想，利用等式基本性質(zhì)求解。我覺得也可以用數(shù)形結(jié)合的方法，把求方程的解轉(zhuǎn)化為找函數(shù)y=ax+b與x軸相交時（即y=0）的交點坐標的橫坐標。以“求2x+4=0的解”來說明。

解：用數(shù)形結(jié)合的方法，把方程轉(zhuǎn)化成函數(shù)y=2x+4再作函數(shù)圖像。通過學(xué)生共同參與列表、描點、連線，由函數(shù)圖像得知y=2x+4與x軸的交點（-2，0），所以方程2x+4=0的解x=-2。

總之，數(shù)形結(jié)合是理論與實際的聯(lián)系，是思維的起點，是學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模式的基本方法。數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非?！币虼?，要巧妙地運用數(shù)形結(jié)合。

參考文獻：

[1]數(shù)學(xué)概念的學(xué)與教.人民教育出版社.