彈性薄板結(jié)構(gòu)的等效激勵譜反演問題研究

， *，

(1.山東大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，濟(jì)南 250061；2.山東大學(xué) 高效潔靜機(jī)械制造教育部重點實驗室，濟(jì)南 250061)

1 引 言

振動現(xiàn)象的發(fā)生通常與激勵的存在相關(guān)，準(zhǔn)確了解激勵特性是進(jìn)行結(jié)構(gòu)振動設(shè)計、振動特性分析及振動環(huán)境預(yù)測等工作的依據(jù)。實際問題中，通常難以實現(xiàn)激勵的直接測量，根據(jù)結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)對其所受激勵進(jìn)行估計的方法得到了廣泛應(yīng)用[1,2]，由此發(fā)展形成了動載荷識別技術(shù)領(lǐng)域[3]。如在艦船岸基維修中，通過測量安裝基礎(chǔ)的振動響應(yīng)對振源設(shè)備的激勵水平進(jìn)行評估[4]，或利用實測未充水的聲納基陣腔壁振動響應(yīng)估計其所受外部機(jī)械激勵,并作為聲納部位機(jī)械自噪聲評估的參考依據(jù)[5]。因此，如何提高估算精度、簡化測試和估算過程是研究的重點[6-8]。

在許多環(huán)境激勵評估問題中，實際關(guān)注的是激勵的平均水平及作用效果預(yù)測[9]。本文所探討的等效激勵法(虛擬激勵法)，是指將作用位置未知的激勵虛擬作用于有限數(shù)目的參考節(jié)點上，基于響應(yīng)相似原則反演求取具有最小均方幅值的激勵分布形式，在機(jī)械等力學(xué)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[10-11]。本文基于彈性薄板結(jié)構(gòu)的振動模態(tài)理論，對根據(jù)有限振動響應(yīng)數(shù)據(jù)估計等效激勵譜的一般方法進(jìn)行了理論分析論證?？紤]到實際測試工作的復(fù)雜性以及模態(tài)和測點選取對結(jié)果的影響[12-14]，運用簡支邊矩形薄板的Navier解法研究了等效激勵估計實驗方案中影響結(jié)果可靠性的主要影響模態(tài)的選取、測點的數(shù)量和選點布局以及等效激勵點的數(shù)量和位置設(shè)置等因素。最后，通過四邊固支矩形薄板的有限元法等效激勵譜反演算例對相關(guān)理論分析進(jìn)行了驗證。

2 彈性薄板結(jié)構(gòu)等效激勵反演理論

彈性薄板的振動微分方程為

(1)

設(shè)激勵f(σ,t)=F(σ)ej ω，根據(jù)振型疊加法

(2)

式中ωi,Mi和Ψi分別為板的第i階模態(tài)頻率、模態(tài)質(zhì)量和振型函數(shù)；ξi為第i階振型Ψi的模態(tài)影響因子；Qi為廣義激勵。

Qi=?AF(σ)Ψi(σ)dσ

(3)

(4)

式中x≥1,ε為模態(tài)截斷誤差。

等效激勵估計問題主要面向低中頻域，故在式(4)中令x=1，選σ1,…,σM為觀測點，獲取觀測值W=[W(σ1ω),…,W(σM,ω)]T，得觀測矩陣方程：

W=Ψξ+ε

(5)

式中Ψ=[Ψi j]M ×N，Ψi j=Ψj(σi),ξ=[ξ1,ξ2,…,ξN]T,ε=[ε1,ε2,…,εM]T。

應(yīng)用最小二乘估計原理，使殘差εTε最小的ξ為

ξ=(ΨTΨ)-1·ΨTW

(6)

由式(2)得到主要影響模態(tài)的廣義激勵

Q=M(Ω2-ω2IN)ξ

(7)

式中IN為N階單位方陣，M=diag[M1,M2,…,MN]，Ω=diag[ω1,ω2,…,ωN]，Q=[Q1,Q2,…,QN]T。

Q=Ψe qFe q

(8)

式中Ψe q=[Ψi j]N ×L，Ψi j=Ψi(σe q j)。

Fe q=ΨTe q(Ψe qΨTe q)-1Q=ΨTe q(Ψe qΨTe q)-1M(Ω2-

ω2IN)(ΨTΨ)-1ΨTW

(9)

3 等效激勵估計影響因素分析

不失一般性地，考慮簡支邊界矩形薄板，根據(jù) Na-vier解法，其固有頻率、振型函數(shù)和模態(tài)質(zhì)量分別為

(10)

Ψi(σ)=sin(Miπx/LX)sin(niπy/LY)

(11)

(12)

式中i=1,2,…，(Mi,ni)∈N2，且使ω1<ω2<…；LX和LY為矩形板的邊長。

在矩形板上劃分網(wǎng)格并對節(jié)點編號，如圖1所示。設(shè)矩形板邊長LX=0.6 m，LY=0.4 m，厚度h=0.005 m，材料為45號鋼。隨機(jī)選取節(jié)點施加簡諧激勵，由式(2,3,10～12)可得各階ωi，Qi，Mi和ξi。

圖1 矩形板的網(wǎng)格節(jié)點編號和觀測點/等效激勵點布置

Fig.1 Grid node number and arrangement of observation points/ equivalent excitation points of rectangular plate

圖2 500Hz單位簡諧激勵下的前25階模態(tài)影響因子

Fig.2 First 25 order modal impact factors under unit harmonic force (500 Hz) excitation

(13)

根據(jù)上述分析，假設(shè)分別取激勵頻率附近的5，10，15和20階模態(tài)合成1～77號節(jié)點的振動響應(yīng)(幅值為|W(σ)|)，結(jié)果比較如圖3所示。顯然，僅取5階模態(tài)將產(chǎn)生顯著的模態(tài)截斷誤差，取10，15和20階的計算結(jié)果非常接近，因此必須保證參與計算的主要影響模態(tài)的數(shù)量不能太少，但亦無需太多。

顯然，布置測點的數(shù)目越多，越能準(zhǔn)確地反映結(jié)構(gòu)的振動模式。在實際操作中應(yīng)尋求如何以較少的測點數(shù)目和較小的測試工作量獲取較準(zhǔn)確可靠的計算結(jié)果。

對圖1，若選取激勵頻率附近的10階模態(tài)作為主要影響模態(tài)，應(yīng)保證觀測點數(shù)量M≥10。為了研究觀測點數(shù)量和選點布局對等效激勵估計精度的影響，考慮幾種不同的觀測點選取方案，(1) 取 圖1 全部77個節(jié)點；(2) 取圖1中陰影部分包含的49個節(jié)點；(3) 取圖1中重疊陰影部分的12個節(jié)點；(4) 取圖1中點劃線框包含的20個節(jié)點；(5) 取圖1中虛線框包含的20個節(jié)點。

設(shè)在矩形板上施加一個500 Hz的單位簡諧集中力(27號節(jié)點)，用前25階振型疊加計算板上1～77號節(jié)點的振動位移作為響應(yīng)觀測值；然后，按照上述5種觀測點方案構(gòu)造觀測向量W，同時將各測點坐標(biāo)代入式(5)獲得觀測點模態(tài)矩陣Ψ；最后，由式(6)估算模態(tài)影響因子ξ。圖4是對5種測點布置方案下的前10階模態(tài)影響因子估算結(jié)果的比較。

圖3 不同階數(shù)模態(tài)疊加合成節(jié)點位移響應(yīng)的結(jié)果對比

Fig.3 Comparison of node displacement responses resulted from superposition of different numbers of plate’s modes

方案(1)的結(jié)果與理論值相近；方案(2)測點數(shù)量較多，精度較高；方案(3)選取了12個觀測點，觀測點規(guī)模與方案(1，2)相比大為減小，仍有較高的估計精度；方案(4)的觀測點布置過于集中，導(dǎo)致了較大的估算誤差；方案(5)的觀測點布局畸形集中而導(dǎo)致計算結(jié)果奇異,由于該方案結(jié)果偏差較大，未在圖4中顯示。

將上述各模態(tài)影響因子代入式(7)即完成了對廣義激勵的估計，利用式(8)或式(9)進(jìn)行等效激勵估計。由于不存在唯一的等效激勵點設(shè)置方案，等效激勵估計的可靠性通過結(jié)構(gòu)在等效激勵作用下的振動響應(yīng)與實際激勵作用效果的近似程度來評價。

為保證式(8)存在等效激勵解，必須使L≥N。對圖1算例，選取三種等效激勵點設(shè)置方案，(I) 1，7，10，23，24，27，33，56，57和66號節(jié)點；(II) 1，7，10，23，24，29，33，56，57和66號節(jié)點；(III) 5，10，11，24，29，45，46，62和68號節(jié)點。沿用前文計算結(jié)果，根據(jù)方案(3)進(jìn)行等效激勵估計，重新應(yīng)用式(2)預(yù)測等效激勵振動響應(yīng)，圖5是三種方案的預(yù)測效果與實際振動響應(yīng)的對比。

圖4 不同測點布置方案的模態(tài)影響因子估計結(jié)果對比

Fig.4 Comparison of modal impact factors of different observation points layout schemes

圖5 等效激勵與實際激勵的作用效果對比

Fig.5 Comparison of the effect of the equivalent excitation and the actual excitation

可以看出，等效激勵點設(shè)置的變化幾乎不產(chǎn)生任何影響，但這一結(jié)論是有條件的。如果等效激勵點數(shù)量與主要影響模態(tài)數(shù)量相等(L=N)，應(yīng)避免將等效激勵點設(shè)定在主要影響模態(tài)的節(jié)線上，否則可能在該點上出現(xiàn)奇異的等效激勵估計值；增加等效激勵點數(shù)量(L>N)可以不受上述限制，此時等效激勵的解不唯一，但利用式(9)可以確定一個具有最小均方幅值的等效激勵分布形式。取L=N可以得到一個唯一的等效激勵解，故而若將實際激勵當(dāng)作集中力看待，且所選取的等效激勵點中包含了實際激勵作用點(如本算例的等效激勵點方案(I))，則等效激勵反演能夠準(zhǔn)確地對實際激勵位置和大小進(jìn)行識別。已知有單一集中激勵作用在某階模態(tài)節(jié)線上而欲準(zhǔn)確識別其大小是難以實現(xiàn)的情況，對此，首先應(yīng)將該模態(tài)排除在主要影響模態(tài)之外(其模態(tài)影響因子理論值為0)；其次，令L=N，并遵循等效激勵點不設(shè)置在主要影響模態(tài)節(jié)線上的原則。

4 結(jié)合有限元法的等效激勵譜估計

對圖1矩形板，邊界條件改為四邊固支，則類似式(10～12)的模態(tài)表達(dá)方法不再適用，有限元法是目前通用性的方法。設(shè)四邊固支矩形板仍采用如圖1的網(wǎng)格劃分單元，表1是有限元法得到的前10階固有頻率，圖6是振型圖形式的振型函數(shù)Ψi(σ)的有限元數(shù)值解(前4階)。因有限元軟件給出的各階振型Ψi是正則化的，故模態(tài)質(zhì)量Mi≡1。

表1 四邊固支矩形薄板的前10階固有頻率

Tab.1 First 10 orders natural frequencies of rectangular thin plates with four edges clamped

f1/Hzf2/Hzf3/Hzf4/Hzf5/Hz200.2305.2485.9490.7577.4f6/Hzf7/Hzf8/Hzf9/Hzf10/Hz730.5738.6935.6954.21007.4

圖6Ψ1～Ψ4的有限元數(shù)值解

Fig.6 Finite element numerical solution ofΨ1～Ψ4

為了考察寬頻帶等效激勵譜反演的可靠性，在板上選取某節(jié)點施加具有0 Hz～700 Hz帶寬的穩(wěn)態(tài)單位簡諧力，按響應(yīng)相似原則進(jìn)行等效激勵譜反演，圖7～圖10比較了實際激勵和等效激勵作用下的四邊固支矩形板振動位移響應(yīng)。計算方法說明如下。

(1) 將分析帶寬的上限(700 Hz)、下限(0 Hz)和表1的模態(tài)頻率數(shù)據(jù)代入式(13)，假定取α=0.2，則板的前10階模態(tài)確定為主要影響模態(tài)。

(2) 仍如圖1之方案(3)布設(shè)12個響應(yīng)觀測點，利用振型函數(shù)的有限元數(shù)值解導(dǎo)出各觀測點σ處的Ψi(σ)數(shù)值，構(gòu)造觀測點模態(tài)矩陣Ψ。

(3) 按照實際激勵作用位置未知的約定，本算例最多可以將圖1全部77個內(nèi)部節(jié)點都設(shè)置為等效激勵點，為減少計算量，僅選取18個節(jié)點(圖1 中以☆號標(biāo)識的節(jié)點)作為等效激勵點；利用各等效激勵點σe q處的振型函數(shù)(有限元)數(shù)值解Ψi(σe q),構(gòu)造等效激勵點模態(tài)矩陣Ψe q。

(4) 以有限元法計算實際激勵振動位移響應(yīng)，將預(yù)設(shè)觀測點位移響應(yīng)導(dǎo)出,構(gòu)成觀測值向量W。

圖7 25號節(jié)點的實際激勵與等效激勵響應(yīng)譜比較

Fig.7 Comparison of response spectrum between the actual excitation and the equivalent excitation of the 25t hnode

圖8 52號節(jié)點的實際激勵與等效激勵響應(yīng)譜比較

Fig.8 Comparison of response spectrum between the actual excitation and the equivalent excitation of the 52t hnode

(5) 由式(9)完成等效激勵譜反演計算，以等效激勵取代實際激勵，重新以有限元法計算各節(jié)點的振動位移響應(yīng)譜，與實際激勵比較。

圖7～圖9分別比較了25,52和58號節(jié)點的實際激勵(在38號節(jié)點上加0 Hz～700 Hz的譜激勵)與等效激勵的位移響應(yīng)譜，圖10為位移響應(yīng)云圖的比較。

綜合圖7～圖10，基于主要影響模態(tài)篩選和有限觀測點/等效激勵點布設(shè)的等效激勵譜反演效果，與實際激勵的作用效果在整體上非常接近。作為一般性的理論探討，本算例考慮了影響等效激勵譜反演計算穩(wěn)定性的一些不利因素,以實際激勵位置未知為前提假設(shè)時，即使實際激勵點(本算例38號節(jié)點)位于某些模態(tài)(本算例第4階及其他若干階對稱型模態(tài))節(jié)線上，也無法將這些理論影響因子為0的模態(tài)排除在主要影響模態(tài)之外；此外，本算例還將較多的等效激勵點設(shè)置在主要影響模態(tài)的節(jié)線上。上述是某些頻率上的等效激勵響應(yīng)譜發(fā)生異常波動的原因。進(jìn)一步分析表明，隨機(jī)地布設(shè)等效激勵點并使等效激勵點數(shù)量多于主要影響模態(tài)數(shù)量，可以消除等效激勵譜的異常波動現(xiàn)象。

圖9 58號節(jié)點的實際激勵與等效激勵響應(yīng)譜比較

Fig.9 Comparison of response spectrum between the actual excitation and the equivalent excitation of the 58t hnode

圖10 等效激勵與實際激勵的位移響應(yīng)云圖比較

Fig.10 Comparison of displacement response images between the actual excitation and the equivalent excitation

5 結(jié) 論

本文基于響應(yīng)相似原則對等效激勵法的可靠性和實用性進(jìn)行了理論分析論證。在激勵位置未知時，等效激勵譜反演可用于對實際激勵的作用效果進(jìn)行模擬分析；若激勵位置已知，則通過等效激勵譜反演可實現(xiàn)對激勵大小的識別。

等效激勵估計的精度，除了振動響應(yīng)測量誤差之外，還受主要影響模態(tài)的篩選、響應(yīng)測量點數(shù)量和布設(shè)等因素的影響。選取模態(tài)頻率處于激勵頻率一定鄰域范圍內(nèi)的若干階模態(tài)作為主要影響模態(tài)，參與反演計算的模態(tài)數(shù)目過少將導(dǎo)致較大的模態(tài)截斷誤差，但數(shù)量過多亦對提高等效激勵估計精度作用不大。測點數(shù)量應(yīng)不少于主要影響模態(tài)數(shù)量，可以采用隨機(jī)大量布設(shè)響應(yīng)測量點的方法來保證模態(tài)影響因子識別結(jié)果的可信度；亦可以通過合理地分散(優(yōu)化)測點布置，用較少的測點數(shù)量取得較高的識別精度。

對于等效激勵點的設(shè)置，應(yīng)考慮等效激勵譜反演計算的穩(wěn)定性，主要的指導(dǎo)原則是避免設(shè)置在主要影響模態(tài)的節(jié)線上。一般性地，若主要關(guān)注振動響應(yīng)的一致性，則宜采取隨機(jī)分散布設(shè)等效激勵點并使其數(shù)量多于主要影響模態(tài)數(shù)量的方法，此時可得到具有最小均方幅值的等效激勵分布形式。對實際激勵位置已知而欲識別其大小的問題，應(yīng)將實際激勵位置包含在所設(shè)置的等效激勵點中，同時使等效激勵點的數(shù)量與主要影響模態(tài)數(shù)量相等；特別地，如果已知實際激勵作用在某階模態(tài)的節(jié)線上，則應(yīng)額外考慮避免在該階模態(tài)未受到顯著激發(fā)的情況下將其入選到主要影響模態(tài)。

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