例談高中生數(shù)學(xué)解題的心理性錯誤

曹 瑜，張玉娟*，呂 謙

(1.鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，遼寧 鞍山114007；2.鞍山市第三中學(xué)，遼寧 鞍山 114012)

在中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，解題與對習(xí)題的反思是其中非常重要的一個環(huán)節(jié).學(xué)生通過解題，鞏固所習(xí)得的數(shù)學(xué)知識，訓(xùn)練自身的數(shù)學(xué)思維能力；通過對習(xí)題進行反思整理，學(xué)生可以對解題的思路進行重新整合，不斷鍛煉解題能力，提升數(shù)學(xué)水平.因此，在教師教學(xué)的過程中，往往重點強調(diào)解題后的整理與反思.對于常見的錯誤，有經(jīng)驗的教師會在課堂教學(xué)中有針對性地進行講解與分析，以避免學(xué)生再次出現(xiàn)該類錯誤.而對學(xué)生解題時還會出現(xiàn)錯誤，有的教師將其簡單歸咎于粗心大意或者知識點掌握不足.這導(dǎo)致教師在講解習(xí)題時，直接重復(fù)正確答案，忽略學(xué)生真正的出錯點；學(xué)生在聽課時不能找到自己出現(xiàn)錯誤的本質(zhì)原因，從而在一節(jié)習(xí)題課后依舊對問題存疑，無法正確地進行解題，使這種錯誤不斷出現(xiàn).教師認為自己講清楚了，但學(xué)生依舊什么也沒有聽懂，不能起到習(xí)題課的真正作用.造成這種現(xiàn)象的真正原因是教師不能充分地重視學(xué)生出錯的原因，成功解題除了依賴于智力品質(zhì)和充足的知識儲備外，學(xué)生本身的心理因素往往起到更大的作用.在同樣的課堂教學(xué)中，基礎(chǔ)水平相當(dāng)?shù)膶W(xué)生在解題上也會出現(xiàn)較大的差異，此時錯誤的出現(xiàn)與心理因素密切相關(guān).因此，教師分析學(xué)生解題的心理性錯誤[1～5]，對于提高教學(xué)效率、改進教學(xué)策略有重要意義.

1 心理能力不足

心理能力即人們從事心理活動所需要的能力.高中生解題過程中常因心理能力的限制導(dǎo)致在識別題目、對習(xí)題的信息加工及短期的工作記憶等方面出現(xiàn)錯誤.識別能力是指學(xué)生接觸到題目之后，將問題模式與大腦中已有的知識經(jīng)驗建立聯(lián)系，找出求解的方法.高中生常常對面對的問題感到茫然無措，百無頭緒，這就是識別能力不足，無法將問題與知識結(jié)構(gòu)進行對接.識別方面常見的典型錯誤為學(xué)生對已做過多次的習(xí)題無法再次識別辨認，對于解題過程中用到的公式感到陌生等.

分析學(xué)生采用換元的方法嘗試，但所得結(jié)果無法進行進一步的處理.這是屬于識別能力缺乏的錯誤.

正解b2=2-2a2，則

即

解題過程中的記憶能力的不足主要是工作記憶能力不足.在此過程中，學(xué)生不斷接收處理數(shù)據(jù)，這對他們暫時貯存信息的能力提出了一定的要求.解復(fù)雜的分類討論問題時經(jīng)常出現(xiàn)此種情況，解題后期忘記之前的分類，或是忘記求交集還是并集.

例2不等式x2-2ax+a+2≥0在x∈[1,3]時恒成立，求a的取值范圍.

錯解設(shè)f(x)=x2-2ax+a+2，函數(shù)的開口向上，對稱軸為x=a，對此進行分類討論:

若a≤1,則

f(1)=1-2a+a+2≥0,

解得a≤3；

若1

f(a)=a2-2a2+a+2≥0，

解得-1≤a≤2；

若a≥3，則

f(3)=9-6a+a+2≥0，

分析學(xué)生在計算過程中將參數(shù)的取值分為3個部分，a≤1，1

正解設(shè)f(x)=x2-2ax+a+2，則函數(shù)的開口向上，對稱軸為x=a，對此進行分類討論.

若a≤1,對稱軸在定義域的左邊，x>a時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，只需f(1)=1-2a+a+2≥0則f(x)≥0在x∈[1,3]時恒成立,解得a≤3，與大分類求交集，得a≤1；

若1

f(a)=a2-2a2+a+2≥0，

解得-1≤a≤2，求交集得1

若a≥3，對稱軸在定義域右側(cè)，x

f(3)=9-6a+a+2≥0

因此，可以得到參數(shù)的范圍a∈(-,2].

2 錯誤的心理勢態(tài)

2.1 順序心理導(dǎo)致的錯誤

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，原有的知識結(jié)構(gòu)具備固定的順序，這種順序影響了學(xué)生對新知識的編碼，形成順序心理.常見的順序心理所導(dǎo)致的錯誤為：

例3已知ΔABC中，A∶B∶C=1∶2∶3，求sinA∶sinB∶sinC.

錯解根據(jù)題目所給的A∶B∶C=1∶2∶3，直接得出sinA∶sinB∶sinC=1∶2∶3.

2.2 停留性錯誤

停留性錯誤建立在學(xué)生解相關(guān)類型題的經(jīng)驗上，是一種對于經(jīng)驗的呆板套用.

例4等差數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-8，n∈N+.n為何值時，該數(shù)列的前n項和最小？

分析在求解等差數(shù)列的前n項和最值時，由于以往求二次函數(shù)最值只能得到一個解，學(xué)生不能及時地進行調(diào)整導(dǎo)致錯誤.這是學(xué)生停留在二次函數(shù)的經(jīng)驗中所產(chǎn)生的錯誤，屬于停留性錯誤.

停留性錯誤很多情況下被認為與順序心理相同，但二者有很大的區(qū)別.順序心理更多的是題目本身的形式導(dǎo)致學(xué)生片面沿用所學(xué)，是客觀條件給出的錯誤判斷；而停留性錯誤則是學(xué)生過往經(jīng)驗的停留，是主觀經(jīng)驗的直接影響.

2.3 忽視隱含條件

在數(shù)學(xué)習(xí)題中，題目給出了各種各樣的條件以供學(xué)生取用，此時學(xué)生傾向于發(fā)現(xiàn)簡單直接的表面條件，而對于隱含在題目背后的條件則無法全面地找出來.在進行解不等式的教學(xué)中，教師經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)學(xué)生忽略分母不為0，而在解分式不等式時擴大了解集，將導(dǎo)致分母為0的解納入解集范圍.這種心理勢態(tài)更多地被教師認為是馬虎，將其歸咎為單純的學(xué)生個人問題，從而忽視了學(xué)生對基礎(chǔ)知識掌握不足的問題.

錯解原式化為x(x+2)(3-x)≥0，根據(jù)“穿根法”得到解集為x∈[-2,0]∪[3,+).

分析錯解出現(xiàn)的原因有：一是忽略了“穿根法”的應(yīng)用條件：自變量的系數(shù)為正值；二是忽略了分母不為0這一隱含條件.

正解原式化為

x(x+2)(3-x)≥0 (x≠3)

后，整理為

x(x+2)(x-3)≤0 (x≠3)，

根據(jù)“穿根法”得到解集為

x∈(-,-2]∪[0,3).

錯解利用均值不等式

因此

的最小值為4.

分析忽略均值不等式等號成立的條件，直接重復(fù)套用.

正解首先對原始式子進行展開變形，為

然后再套用均值不等式

2.4 潛在假設(shè)

相較于對隱含條件的忽視，學(xué)生更多出現(xiàn)的一種情況則是增加補充新的條件，這種心理現(xiàn)象稱之為潛在假設(shè)——題目中并未給出條件，且并沒有相關(guān)的隱含推導(dǎo)，學(xué)生依據(jù)過往經(jīng)驗和習(xí)慣性認知添加條件，導(dǎo)致解題錯誤.這種錯誤的產(chǎn)生原因有：一是學(xué)生對于基礎(chǔ)知識掌握過于死板僵化；二是學(xué)生對題目重視不足，將其視為簡單的鞏固性練習(xí).

分析學(xué)生直接認為ΔABC是銳角三角形.這是潛在假設(shè)錯誤.

分析潛在假設(shè)認為題中所給的f(n)是一個數(shù)列前n項和，但實際上它是通項公式.

正解分別列出f(n+1)與f(n)

因此

例10不等式x2+ax+1≥0在x∈R時恒成立，求a的取值范圍.

分析運用參變分離的思想求解，潛意識認為x是一個正數(shù).這是學(xué)生的潛在假設(shè).

3 其他心理情況

適當(dāng)?shù)慕忸}焦慮有助于促進學(xué)生的解題亢奮情緒，而過度的焦慮則適得其反.學(xué)生在長期解題錯誤的過程中形成的緊張、逃避的心理態(tài)度，反映在習(xí)題上主要表現(xiàn)為試卷上解答題、應(yīng)用題的大量留空，疲于思考，只接受直接答案，拒絕寫出詳細的解題步驟；有的學(xué)生將解題及整理視為形式化的重復(fù)，機械性地依照教師指示完成練習(xí)；有的學(xué)生則走向另一個極端，他們認為日常的解題訓(xùn)練并沒有什么作用，從而輕視作業(yè)、練習(xí)，認為考試時解題正確即可，結(jié)果往往不如人意.

面對這樣的情況，教師應(yīng)當(dāng)提起重視，首先從學(xué)生本身的情緒入手，在教學(xué)中運用數(shù)學(xué)游戲、數(shù)學(xué)史等材料，耐心培養(yǎng)他們的解題興趣，形成正確的解題觀念.在解題教學(xué)過程中，教師應(yīng)擺脫無意義的重復(fù)行為，將教學(xué)重點轉(zhuǎn)移至解題方法的深入闡述，包括其應(yīng)用條件、適合的習(xí)題模式等，使學(xué)生真正理解練習(xí)的意義.

4 總結(jié)

在解題錯誤的產(chǎn)生過程中，各心理因素并非獨立作用.學(xué)生的解題過程中心理性錯誤是逐步產(chǎn)生的，每一步所蘊含的心理因素各不相同，最終導(dǎo)致的錯解也是各因素綜合作用影響的結(jié)果.

例11計算1+a+a2+…+an.

分析學(xué)生首先認為題目所給的等比數(shù)列可以直接應(yīng)用公式，這是忽略a可能為1這一隱含條件所導(dǎo)致的錯誤.在計算過程中又由于題目所給的形式，認為這是n項之和，這是相關(guān)類型題的經(jīng)驗所導(dǎo)致的停留性錯誤.

綜上所述，在解題過程中，學(xué)生的心理因素變化多樣，多重因素綜合導(dǎo)致了解題的失誤.在教師進行教學(xué)時，不能簡單認為解題的教學(xué)僅發(fā)生于習(xí)題課上，將糾正錯誤作為目標(biāo)，重復(fù)正確答案.而應(yīng)對題目和學(xué)生的錯誤進行針對性的分析，從學(xué)生的基礎(chǔ)知識開始，強調(diào)基礎(chǔ)概念和公式的掌握，活躍學(xué)生的解題思想，打破思維慣性；同時培養(yǎng)學(xué)生嚴謹審題的習(xí)慣，在解題過程中做到每一步驟有理有據(jù)，清晰明確，如此才能在心理層面逐步糾正學(xué)生的不良習(xí)慣.

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