二次型在代數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

張立新

(鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,遼寧 鞍山 114007)

二次型是高等代數(shù)中一個比較獨立而重要內(nèi)容，它的理論知識不僅在中學(xué)數(shù)學(xué)，而且在大學(xué)數(shù)學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用.通過二次型應(yīng)用的研究,可以有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.

1 二次型的相關(guān)理論

數(shù)域P上n元二次齊次多項式

其中，aij=aji,AT=A)

稱為數(shù)域P上二次型.

化簡二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的基本方法有3種：配方法、合同變換法、正交變換法.

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一，規(guī)范形唯一.

設(shè)

是n元實二次型(A為實對稱矩陣)，如果對任意不全為零的實數(shù)c1,c2,…,cn都有f(c1,c2,…,cn)>0則稱為f為正定二次型.如果對任意不全為零的實數(shù)c1,c2,…,cn都有f(c1,c2,…,cn)≥0則稱為f為半正定二次型.如果對任意不全為零的實數(shù)c1,c2,…,cn都有f(c1,c2,…,cn)<0則稱為f為負(fù)定二次型.如果對任意不全為零的實數(shù)c1,c2,…,cn都有f(c1,c2,…,cn)0則稱為f為半負(fù)定二次型.

(1)在實二次型f(x1,x2,…,xn)的規(guī)范形中，正平方項的個數(shù)p稱為f(x1,x2,…,xn)的正慣性指數(shù)；負(fù)平方項的個數(shù)r-p稱為f(x1,x2,…,xn)的負(fù)慣性指數(shù)；它們的差稱為f(x1,x2,…,xn)的符號差.其中，r為f(x1,x2,…,xn)的秩[2].

(2)一個實二次型可以分解成兩個實系數(shù)的一次齊次多項式的乘積的充要條件是它的秩等于2和符號差等于0，或者它的秩等于1[3].

(3)一個n元實二次型

(A是實對稱矩陣),

(4)正定二次型與正定矩陣的判定：

①n元實二次型

(A是實對稱矩陣)

正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)為n.

②n級實對稱矩陣A是正定的充分必要條件是A與單位矩陣E合同.

③n級實對稱矩陣A是正定的充分必要條件是存在n級實可逆矩陣C，使A=C′C.

④n級實對稱矩陣A是正定的充分必要條件是A的順序主子式都大于零.

⑤n級實對稱矩陣A是正定的充分必要條件是A的特征值都大于零.

(5)半正定二次型與半正定矩陣的判定：

①n元實二次型

(A是實對稱矩陣)

半正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)與秩相等.

③n級實對稱矩陣A是半正定的充分必要條件是存在n級實矩陣C，使A=C′C.

④n級實對稱矩陣A是半正定的充分必要條件是A的主子式都大于零.

⑤n級實對稱矩陣A是半正定的充分必要條件是A的特征值都非負(fù).

2 二次型的應(yīng)用

2.1 二次型在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

例1對任意不全為0的實數(shù)x,y,z，證明：

證明上述問題等價于求

f(x,y,z)=x2+y2+2z2-3axy-ayz-azx≥0

恒成立的a的取值范圍.

得A的各階主子式分別為

則

解得

在

x2+y2+2z2-3axy-ayz-azx≥0

中，分別取

得

從而有

例2已知實數(shù)x,y滿足x2+y2=1，求

f(x,y)=x2-2xy+2y2

的最小值及最大值.

解令

f(x,y)=x2-2xy+2y2=X′AX，

由

因此，特征值：

例3判斷下列多項式在R上能否分解？若能，分解之.

解令

則

f(x1,x2)=g(x1,x2,1).

利用配方法，經(jīng)

將

也能分解，

2.2 二次型在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

例4方程

表示何曲面？

解

則方程改寫為：

X′AX+B′X+3=0.

A的特征多項式為

A的特征值1,2,0所對應(yīng)的特征向量分別為(0,1,0)′,(1,0,-1)′,(1,0,1)′.

取正交矩陣

及正交變換X=TY代入方程得：

Y′T′ATY+B′TY+3=0，

整理得

配方得到

(y1-1,)2+2(y2-1)2=6y3.

令

由此可知，方程表示的曲面為橢圓拋物面.

例5已知A是n級正定矩陣，Y,X∈Rn,b∈R，求f(x)=X′AX+2Y′X+b的極值.

所以

(X′+Y′A-1)A(X+A-1Y)+b-Y′A-1Y=

(X+A-1Y)′A(X+A-1Y)+b-Y′A-1Y.

因為A是正定矩陣，所以

(X+A-1Y)′A(X+A-1Y)≥0，

故當(dāng)X=-A-1Y時，f(x)的極小值為b-Y′A-1Y.

證明令

則B′B正定矩陣，從而|B′B|≥0

≥0，

即柯西不等式成立.

2.3 研究生考試中的二次型問題

例7若A是n級實對稱陣，證明A半正定的充要條件是對任何μ>0,B=μE+A正定.(1993年考研試題)

證明A是n級實對稱陣,從而存在正交陣T，使

其中，λ1,…,λn為A的全部實特征值.

先證必要性，若A半正定，則

λi≥0(i=1,2,…,n)，

則B的全部實特征值

μ+λi>0(i=1,2,…,n)，B′=B∈Rn×n，

所以B為正定.

則μ>0，但

例8設(shè)n元實二次型

f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2,

其中,ai(i=1,2,…,n)為實數(shù)，試問：當(dāng)a1,a2,…,an滿足何種條件時，二次型f(x1,x2,…,xn)為正定二次型.(2000年考研試題)

解由題設(shè)條件知，對于任意的x1,x2,…,xn,有f(x1,x2,…,xn)≥0,

其中,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)

此方程組僅有零解的充要條件是其系數(shù)行列式不為零，即

所以，當(dāng)1+(-1)n+1a1a2…an≠0時，對于任意的不全為零的x1,x2,…,xn,有f(x1,x2,…,xn)≥0，即當(dāng)a1a2…an≠(-1)n時，二次型f(x1,x2,…,xn)為正定二次型.

3 一點思考

本文從3個方面(即初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)、考研)研究了二次型的應(yīng)用.其實二次型不僅在數(shù)學(xué)的各個方面有著應(yīng)用，而且在物理、力學(xué)、工程技術(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用.雖然在高等代數(shù)教材中沒有介紹它的應(yīng)用，但在高等教育改革的今天，為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，教師在授課之余應(yīng)有意識地滲透二次型的應(yīng)用.也就是說：教師在授課時應(yīng)重視學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的培養(yǎng)[4].

要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，教師要有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識與應(yīng)用能力[5].為此，教師應(yīng)刻苦鉆研，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，少一些純粹的數(shù)學(xué)問題，多一些實際的數(shù)學(xué)應(yīng)用，潛移默化地感染學(xué)生，使學(xué)生逐漸形成數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.

要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，教師要善于創(chuàng)設(shè)情境，改革評價形式，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用.學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的同時，也鞏固了數(shù)學(xué)知識.長此以往，學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣得到激發(fā)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到錘煉，數(shù)學(xué)思想得到升華[6]，從而有效地培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識與應(yīng)用能力.

[1] 王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2] 姚慕生.高等代數(shù)學(xué)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2003.

[3] 張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2001.

[4] 劉維.淺談數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的培養(yǎng)[J].學(xué)術(shù)論壇,2011(11):49-50.

[5] 張文海.淺議高中生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的培養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2017(6)：17-19.

[6] 田衛(wèi)東.加強(qiáng)教材習(xí)題的研究，讓學(xué)生的思維展翅飛翔——對一道課本習(xí)題的探究與思考[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2017(12)：38-42.