基于改進粒子群的薄壁變截面剛架臨界載荷優(yōu)化算法

， ， ，

(1.沈陽建筑大學(xué) 機械工程學(xué)院，沈陽 110168；2.沈陽建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院，沈陽 110168)

1 引 言

大型薄壁剛架穩(wěn)定性一直是工程結(jié)構(gòu)中的重點研究問題[1]。與等截面剛架相比，變截面剛架因其具有充分利用材料強度、節(jié)約經(jīng)濟、受力合理以及更好適應(yīng)截面應(yīng)力變化的優(yōu)點而在實際工程中廣泛應(yīng)用[2]。由于截面變化將導(dǎo)致剛度改變，因此在研究變截面剛架穩(wěn)定性時通常無法獲取相應(yīng)的臨界載荷解析表達式。

目前工程中普遍運用的是取等效截面計算的有效寬度法求解變截面剛架臨界載荷[3]。非線性數(shù)值求解方法已逐漸成為變截面問題的研究重點。郭彥林等[4]運用非線性屈曲分析考察了房頂表面均布荷載對剛架柱穩(wěn)定性的影響，重申了數(shù)值求解在變截面研究中的實用性。Ermopoulos[5]在前人研究的基礎(chǔ)上，通過設(shè)置不同的約束條件限制自由度，分析了楔形變截面桿在不同條件下的受力情況，從而得到相應(yīng)的特征方程。王欣等[6]為了探究壓桿穩(wěn)定性，建立n階變截面壓桿的非線性微分方程組，以建立適應(yīng)邊界條件的狀態(tài)方程組，求解獲取遞推關(guān)系式，從而應(yīng)用Newton法迭代計算臨界載荷。在非線性方程組優(yōu)化方面，群智能算法由于其具備較快的收斂速度、高魯棒性和較強的局部及全局搜索能力而在近些年受到廣泛推崇[7]。肖志權(quán)等[8]采用遺傳算法，以機械臂的結(jié)構(gòu)以及傳感器和控制器的參數(shù)為設(shè)計變量，建立無約束優(yōu)化，從而減小了變截面梁的末端振動。武和全等[9]基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，結(jié)合遺傳算法建立了變截面梁結(jié)構(gòu)的總吸能神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型，從而改善了汽車車架變截面薄壁梁結(jié)構(gòu)尺寸，提高了安全性。朱劍寶等[10]通過運用標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法優(yōu)化變截面板簧，以彈簧質(zhì)量最小為目標(biāo)函數(shù)，從而有效降低板簧余重1/3以上。在變截面穩(wěn)定性研究方面，侯祥林等[11]基于數(shù)值優(yōu)化思想提出了超靜定壓桿結(jié)構(gòu)臨界載荷的數(shù)值迭代算法和基于傳統(tǒng)無約束的優(yōu)化算法，有效提高了臨界載荷計算精度。

針對工程中廣泛運用的變截面剛架，在非線性小變形前提下，通過剛架拆分和節(jié)點設(shè)置，運用差分法構(gòu)造以節(jié)點位移和臨界偏載等為未知變量的非線性方程組，提出基于粒子優(yōu)勝劣汰的改進粒子群算法[12]IPSO(Improved Particle Swarm Optimization)進行無約束優(yōu)化求解，進而得出剛架臨界荷載及其變形圖。在此基礎(chǔ)上，針對變截面橋式起重機的工程算例，探討柱腳為固定端的超靜定剛架在受非對稱偏載時的穩(wěn)定性問題，并運用ABAQUS進行有限元仿真對比。通過算法的提出與實現(xiàn)為實際工程設(shè)計和分析提供支持。

2 剛架臨界載荷求解問題分析

圖1所示為一類典型對稱結(jié)構(gòu)非對稱載荷剛架結(jié)構(gòu)示意圖。圖中單跨單層剛架柱腳剛接，邊柱AB與CD長度分別為l1和l4，彎曲剛度分別為EI(x1)和EI(x4)；橫梁BC長l2，彎曲剛度為EI(x2)。彎曲剛度隨著坐標(biāo)x而變化。Fc r為施加于剛架上的臨界單一偏載，由于結(jié)構(gòu)對稱，左右立柱皆可施加。基于小變形線彈性穩(wěn)定性理論，臨界偏載作用下，剛架將遠在材料屈服前產(chǎn)生微小擾動偏離，但尚未失穩(wěn)，處于可恢復(fù)的臨界平衡狀態(tài)。設(shè)未知的撓曲軸線方程y=f(x)，考慮構(gòu)造求解解析解難以獲得的非線性差分方程組[13]。

剛架受非對稱載荷，導(dǎo)致變形不能簡單依靠對稱計算，所以通過拆分剛架，將變形剛架分成邊柱AB段、邊柱CD段、橫梁BK段和橫梁KC段四個部分。其中未知點K為橫梁變形后撓度為0的點，且BK長度為l2,KC長度為l3，對應(yīng)分別建立xj-wj(j=1,2,3,4)四個直角坐標(biāo)系。將各部分沿x坐標(biāo)軸離散成ni段，取Δxi=li/ni(i=1,2,3,4)。w為撓度值，對應(yīng)撓度坐標(biāo)為wi(i=0,1,2,…,ni)，撓曲軸線離散點坐標(biāo)為(xi,wi)(i=0,1,2,…,ni)。剛架拆分穩(wěn)定性分析如圖2所示。

建立各部分撓曲線微分方程：

EI(x)w″=M(x)

(1)

圖1 剛架受偏載荷結(jié)構(gòu)示意圖

Fig.1 Structural diagram of the bias load pressed frame

圖2 剛架拆分示意圖

Fig.2 Schematic diagram of disconnected frame

對于AB段，設(shè)柱段節(jié)點數(shù)量為n1，則

M(x1)=M1-FN(l1-x1)+Fc r(w1n1-w1)+

Fs(w1n1-w1)

(2)

將式(2)代入式(1)得

Fs(w1n1-w1)

(3)

對BK段、KC段和CD段分別設(shè)柱段節(jié)點數(shù)量為n2，n3和n4，則

(4)

(5)

(6)

(EI1(x1)/EI20)(w1(i +1)-2w1i+w1(i -1))=

(7)

(EI2(x2)/EI20)(w2(i +1)-2w2i+w2(i -1))=

(8)

(EI3(x3)/EI20)(w3(i +1)-2w3 i+w3(i -1))=

(9)

(EI4(x4)/EI20)(w4(i +1)-2w4i+w4(i -1))=

(10)

式中EIj 0=EIj(0)(j=1,2,3,4)；i=1,2,…,n-1。

(11)

如圖1所示，柱腳A和D處為固定端約束，可通過增加補點即w1(-1)=w11和w4(-1)=w41得

2w11c1(x10)-m1+fnl1-fc rw1n1-fsw1n1=0

(12)

2w41c4(x40)+m2-fnl4+fsw4n4=0

(13)

式中x10和x40分別為x1和x4坐標(biāo)軸上的第0點。

微分方程組中共有n1+n2+n3+n4-4個非線性差分方程。其中有wj i(i=1,2,…,nj-1,j=1,2,3,4)、柱頂點撓度w1n1和w4n4、柱端剪力Fs、柱端彎矩M1和M2、軸力FN、臨界偏載荷Fc r以及BK段長度l2，總共n1+n2+n3+n4+4個未知量。

針對剛架各部分邊界條件為

由柱腳剛接可知柱腳A和D無撓度無轉(zhuǎn)角

(14)

(15)

由橫梁BC彎矩平衡，則

m1-fsl2-m2=0

(16)

為了保證柱梁連續(xù)，即保證柱梁接點彎矩和轉(zhuǎn)角相同，則轉(zhuǎn)角等式為

(17，18)

在臨界偏載Fc r作用下，撓曲線的各節(jié)點撓度值將構(gòu)成一定的比例關(guān)系，即形成一組相對的模態(tài)解，為了方便求解及程序運算，取柱AB段任意節(jié)點P的撓度值為w1P，則可增加方程

w1P=c

(19)

式中c為任意正常數(shù)。

基于小變形穩(wěn)定理論，剛架柱AB段及柱CD段可視為相同變形條件，即設(shè)

w1n1=w4n4

(20)

為了尋求BK段長度l2，因為K點撓度為0，構(gòu)建橫梁為靜定結(jié)構(gòu)，運用圖乘法計算撓度，則得K點撓度方程為

(21)

通過補充方程(14～21)，方程組總個數(shù)變?yōu)閚1+n2+n3+n4+4，方程數(shù)等于未知量個數(shù)，理論上撓曲線可唯一確定。

針對變截面問題形成的非線性差分方程組不能運用解析法求解，因此構(gòu)造臨界荷載的優(yōu)化求解算法。

3 IPSO臨界載荷優(yōu)化算法求解原理

標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法(PSO)是Shi等[14]在前人研究基礎(chǔ)上引入慣性權(quán)重ω后得到的。通過慣性權(quán)重ω，粒子將具有更好的收斂性且不易飛躍邊界導(dǎo)致發(fā)散，從而保證算法局部搜索與全局搜索能力的平衡。為了提高算法搜索效率，Shi等[15]提出通過線性遞減慣性權(quán)重LDIW(Linear Decreasing Inertia Weight)。針對本文的多維算例，采用線性遞減慣性權(quán)重粒子群算法作為算法改進模板。慣性權(quán)重計算公式為

ω(k)=ωend+(ωstart-ωend)[(K-k)/K]

(22)

式中k=1,2,…,K為當(dāng)前迭代次數(shù)，K為設(shè)定最大迭代次數(shù)，ωstart為初始慣性權(quán)重，ωend為迭代滿次時的慣性權(quán)重。

通過實驗仿真，線性遞減慣性權(quán)重粒子群算法雖然相比標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法在搜索速度和精度上得到很大提高，但仍然具有多數(shù)群體智能算法早期收斂速度快但后期收斂精度不夠或陷入局部最優(yōu)的缺點。通過研究早熟粒子，發(fā)現(xiàn)粒子受隨機起點位置影響，導(dǎo)致在慣性權(quán)重下降的搜索后期速度下降，使得越來越多的粒子無法趨近最優(yōu)解或成為無用僵化的早熟粒子。

針對上述現(xiàn)象，提出一種基于適應(yīng)度評估適者生存的粒子更新粒子群算法。具體步驟如下。

(1) 初始化。在D維的搜索空間內(nèi)，設(shè)計種群粒子數(shù)為n，記{Xi}={X1,X2,…,Xn}，每個元素視為一個D維解集且為粒子位置，即初始化粒子i的位置和速度為

Xi=(xi 1,xi 2,…,xi D)T(i=1,2,…,n)

(23)

Vi=(vi 1,vi 2,…,vi D)T(i=1,2,…,n)

(24)

(2) 適應(yīng)度評估。通過需要求解的適應(yīng)度函數(shù)function()評選種群最佳粒子位置gbest和第i個粒子的歷史粒子位置pbest[i]。

(3) 更新粒子位置。運用粒子群位置和速度更新公式獲取新的粒子第d維(1≤d≤N)位置和速度，即[16]

(25)

(26)

式中c1為局部慣性權(quán)重因子，c2為全局慣性權(quán)重因子,rand()為(0,1)間的隨機數(shù),k=1,2,…,K為迭代次數(shù)。

(4) 適者生存。每隔Z輪再次計算n個粒子的適應(yīng)度，依據(jù)適者生存淘汰機制，隨機淘汰P個粒子，P取[n/2α,n/α]間的隨機整數(shù)[17]，α為更新系數(shù)。并補充P個粒子，其第d維(1≤d≤N)位置和速度為

vj d=rand(vmin,vmax)

(j=1,2,…,P) (27)

xj d=rand(xmin,xmax)

(j=1,2,…,P) (28)

式中vmin和vmax為群體淘汰P個粒子后第d維的最小速度和最大速度,xmin和xmax為群體淘汰P個粒子后第d維位置的最小值和最大值。

(5) 停止條件。循環(huán)回到步驟(2)，直至達到設(shè)定的最大迭代數(shù)K或設(shè)定精度ε。優(yōu)化程序流程如圖3所示。

對稱結(jié)構(gòu)變截面剛架臨界載荷最優(yōu)化問題：

min.f(z)

(29)

式中z∈RN為動態(tài)設(shè)計變量，N=n1+n2+n3+n4+4為動態(tài)設(shè)計變量z的維數(shù)。設(shè)置：

zi=w1i(i=1,2,…,n1)

zi + n1=w2i(i=1,2,…,n2-1)

zi + n1+ n2=w3i(i=1,2,…,n3-1)

zi + n1+ n2+ n3=w4i(i=1,2,…,n4)

zN -5=m1,zN -4=m2,zN -3=fn,zN -2=fs

zN -1=fc r,zN=l2,l=l2+l3

構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)f(z)為

m1+fn(l1-x1)-fc r(w1n1-w1i)-

2w2i+w2(i -1))+m1-fnw2i-fsx2]2+

2w4i+w4(i -1))+m2-fn(l4-x4)+

fs(w4n4-w4i)]2+(w1P-c)2+

[2w11c1(x10)-m1+fnl1-fc rw1n1-fsw1n1]2+

[2w41c4(x40)+m2-fnl4+fsw4n4]2+

(w1n1-w4n4)2+[m1-fsl-m2]2+

(30)

通過最優(yōu)化求解，所求優(yōu)化函數(shù)的極小值f(z*)→0,從而輸出滿足精度的N維z=z*解集[18]。算法基于eclipse 開發(fā)平臺用JAVA語言編寫。

4 工程算例

本文選用常見構(gòu)型相對簡單的變截面橋式起重機為工程算例，對優(yōu)化算法和程序進行考證。幾何尺寸如圖4(a)所示。其中橫梁為等截面梁跨度l=34 m，其截面尺寸如圖4(b)所示，截面高度h1=2000 mm，截面寬度b1=1600 mm。起升高度即邊柱為變截面高度，為l1=l4=16.5 m，其截面尺寸如圖4(c)所示，大頭截面高度h2=3200 mm，截面寬度b2=1026 mm，小頭截面高度h3=2600 mm，橫梁邊柱皆為箱型結(jié)構(gòu)。邊柱與主梁和下橫梁均為剛性連接，下橫梁與地面接觸為起重機提供支撐，其對起重機的整體穩(wěn)定性影響可以忽略。不考慮起重機下橫梁對整體穩(wěn)定性的影響，認(rèn)為兩柱腿與地面采用固定約束。取截面厚度t=12 mm，起重機左端受未知偏載荷如圖1所示，通過優(yōu)化算法求解未知偏載荷，即臨界載荷Fc r及剛架變形。

圖3 優(yōu)化程序流程

Fig.3 Optimization program flowchart

圖4 變截面剛架算例力學(xué)模型

Fig.4 Variable cross-section compression frame mechanical modes of example

求解變截面穩(wěn)定性問題，由于截面慣性矩隨著截面尺寸的變化而變化，因此彎曲剛度也時刻變化，關(guān)系式為

(31)

h(x)=h3+(h2-h3)/l1

(32)

(33)

取段數(shù)n1=n2=n3=n4=11，設(shè)計變量數(shù)N=48，z1～z42為撓度對應(yīng)wi j(i=1,2,3,4；j=1,2,…,11)，z43為簡化彎矩m1，z44為簡化彎矩m2，z45為簡化軸力fn，z46為簡化剪力fs，z47為簡化臨界載荷fc r，z48為BK段長l2。IPSO搜索精度ε=10-7，設(shè)計粒子總數(shù)為40，初始迭代次數(shù)K=40000，取粒子速度初值為Vi=rand()(i=1,2,…48)，位置初值為Xi=rand()(i=1,2,…，48)。通過38571次優(yōu)化計算達到預(yù)定精度。力與彎矩的各簡化變量優(yōu)化過程列入表1。

因此，對應(yīng)的簡化形式臨界載荷為

fc r=0.0592

則臨界載荷為

Fc r= 0.0592×EI20=

0.0592×2.06×1011I20=

(1.6-0.024)×(2-0.024)3]=

6.512×105kN

滿足精度后的剛架的42個離散節(jié)點撓度與5個無量綱參數(shù)列入表2。依據(jù)表2各點撓度繪制變截面剛架在臨界偏載情況下的位型，如圖5所示。

表1 優(yōu)化計算過程表Tab.1 Optimized calculation process

表2N=48個設(shè)計變量優(yōu)化計算結(jié)果

Tab.2 Optimization results of design variables

(N=48)

動態(tài)變量優(yōu)化結(jié)果動態(tài)變量優(yōu)化結(jié)果動態(tài)變量優(yōu)化結(jié)果z10.0112z170.3977z330.0202z20.0414z180.3262z340.0498z30.0880z190.2408z350.0952z40.1496z200.1515z360.1584z50.2254z210.0679z370.2411z60.3152z220.1238z380.3451z70.4192z230.2324z390.4717z80.5384z240.3225z400.6222z90.6738z250.3909z410.7979z100.8270z260.4344z421.0000z111.0000z270.4497z43-0.0234z120.2112z280.4339z440.0288z130.3524z290.3840z450.0013z140.4325z300.2969z46-0.0015z150.4604z310.1698z470.0592z160.4457z320.0044z4820.1462

圖5 變截面剛架在臨界載荷作用下的位型

Fig.5 Variable cross-section compression frame deformation

運用ABAQUS有限元仿真軟件，設(shè)置鋼材彈性模量E=2.06×105N/mm2，泊松比μ=0.3，單元類型為B31，模型節(jié)點數(shù)為2143，單元數(shù)為714。

仿真計算臨界載荷結(jié)果為

Fc r,s=6.0505×105kN

則本文算法與ABAQUS計算的相對誤差為

ε′=7.63%

因此本文算法與仿真結(jié)果十分接近。

ABAQUS仿真變形圖如圖6所示。

圖6 變截面剛架在ABAQUS下的屈曲模型

Fig.6 Variable cross-section compression frame buckling model through ABAQUS

5 結(jié) 論

本文針對小變形下變截面對稱剛架受非對稱載荷的實際工況，分析計算了剛架梁柱彈性變形形變及臨界載荷等參數(shù)。主要結(jié)論如下。

(1) 所述臨界載荷算法，基于差分思想和優(yōu)化原理，運用改進粒子群算法嵌套工程實例，編程計算了變截面剛架的臨界載荷算例。

(2) 通過ABAQUS仿真對比，本文算法具有足夠精準(zhǔn)性，相比常規(guī)的有效寬度法能更好地描述剛架受力下位型和載荷的力學(xué)關(guān)系，進一步為工程設(shè)計與分析提供支持。

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