考慮距離因素的多方式交通超級(jí)網(wǎng)絡(luò)均衡配流模型及算法

周豪，四兵鋒，汪勤政

(北京交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院，北京 100044)

經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和城市化進(jìn)程的不斷推進(jìn)，使得居民出行距離不斷增加，供出行者選擇的交通方式也越來(lái)越多。不同方式在不同距離范圍內(nèi)有著不同優(yōu)勢(shì)，例如，自行車(chē)適合較短距離出行，小汽車(chē)適合較長(zhǎng)距離出行，而電動(dòng)汽車(chē)因?yàn)槭艿诫娏考s束，出行距離具有上限。因此，出行距離是影響出行者方式選擇的重要因素。此外，隨著出行距離的增加，出行者所花費(fèi)的出行成本也會(huì)相應(yīng)上升，因此，距離因素也會(huì)影響出行者的路徑選擇。在多方式交通系統(tǒng)中，出行者的選擇行為會(huì)直接決定其出行活動(dòng)，所有出行活動(dòng)的聚集現(xiàn)象則形成了網(wǎng)絡(luò)流量狀態(tài)。因此，研究考慮距離因素的出行者選擇行為及在此基礎(chǔ)上的多方式交通配流問(wèn)題對(duì)于現(xiàn)代綜合交通管理具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

自Wardrop在1952年提出了“用戶平衡條件”的概念，尤其是Beckmann在1956年提出與之等價(jià)的數(shù)學(xué)模型后，基于用戶平衡思想的交通配流理論得到了快速發(fā)展。然而，大部分研究是針對(duì)單一模式的交通網(wǎng)絡(luò)展開(kāi)的。例如，城市公交網(wǎng)絡(luò)客流分配[1]、城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)客流分配[2]等。目前，有些學(xué)者開(kāi)始關(guān)注多方式交通網(wǎng)絡(luò)的配流問(wèn)題，例如，Wu等[3]考慮了步行和公交兩種方式，建立了一個(gè)分層網(wǎng)絡(luò)模型，并提出了多方式網(wǎng)絡(luò)平衡配流模型；黃海軍等[4]研究了組合出行方式下的混合均衡分配問(wèn)題，提出了與用戶均衡條件等價(jià)的變分不等式模型；四兵鋒等[5]提出了一種分層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)來(lái)描述多方式交通網(wǎng)絡(luò)，并提出了考慮不同方式之間相互干擾的變分不等式模型；汪勤政等[6]構(gòu)建了多方式交通系統(tǒng)的可換乘超網(wǎng)絡(luò)模型，考慮出行者的出行規(guī)律、出行行為和換乘等條件，基于圖的遍歷算法和Dijkstra算法，提出了超網(wǎng)絡(luò)有效超路徑的搜索算法和最短有效超路徑算法。近年來(lái)，隨著電動(dòng)汽車(chē)等新能源交通工具的發(fā)展，有些學(xué)者開(kāi)始關(guān)注考慮路徑約束的網(wǎng)絡(luò)配流問(wèn)題。例如，Kang等[7]采用基于活動(dòng)的方法，對(duì)出行者的充電路徑選擇進(jìn)行了研究；He等[8]考慮了電動(dòng)汽車(chē)單一模式交通網(wǎng)絡(luò)，提出了基于出行距離約束下的用戶平衡配流模型。然而，在該研究中，所建立的廣義費(fèi)用函數(shù)均沒(méi)有考慮距離因素對(duì)出行者選擇行為的影響，路徑約束條件只是針對(duì)電動(dòng)汽車(chē)單一模式，沒(méi)有考慮多方式組合出行條件下距離因素對(duì)出行行為的影響。

在以往的研究中沒(méi)有考慮出行距離對(duì)出行者廣義費(fèi)用和出行選擇的影響，且只考慮對(duì)單一方式進(jìn)行路徑約束，沒(méi)有綜合考慮出行者在整個(gè)多方式交通系統(tǒng)中的出行選擇行為。本文針對(duì)多方式交通網(wǎng)絡(luò)的流量分配問(wèn)題展開(kāi)研究，綜合考慮距離因素對(duì)出行者的方式選擇和路徑選擇，特別深入分析了距離因素對(duì)出行者廣義感知費(fèi)用的影響，定義了超路徑，提出了最短超路徑搜索算法。并提出了考慮距離因素的多方式交通網(wǎng)絡(luò)均衡流量分配模型及算法。最后，通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單算例對(duì)模型及算法進(jìn)行了驗(yàn)證分析。

1 多方式交通超級(jí)網(wǎng)絡(luò)模型

在多方式交通網(wǎng)絡(luò)中，出行者完成一次出行往往需要經(jīng)歷4個(gè)階段：從出行起點(diǎn)行走或行駛到達(dá)某一網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，即上網(wǎng)過(guò)程；采用某種交通方式行駛到達(dá)換乘節(jié)點(diǎn)，即運(yùn)行過(guò)程；在換乘節(jié)點(diǎn)從一種交通方式步行換乘到另一種交通方式，即換乘過(guò)程；從目的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)行走或行駛到達(dá)最終的出行終點(diǎn)，即下網(wǎng)過(guò)程。根據(jù)出行者的出行特征，本文采用超網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)來(lái)描述多方式交通系統(tǒng)。在多方式超級(jí)交通網(wǎng)絡(luò)中，每種交通方式都有自己的運(yùn)行子網(wǎng)，不同交通子網(wǎng)之間通過(guò)換乘節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接。多方式超級(jí)交通網(wǎng)絡(luò)可描述為：

G=(M,V,A)，

(1)

其中，G表示多方式超級(jí)網(wǎng)絡(luò)；M表示交通方式集合；V表示交通節(jié)點(diǎn)集合；A表示各類(lèi)弧的集合。

在多方式超級(jí)網(wǎng)絡(luò)中，根據(jù)節(jié)點(diǎn)和弧的不同屬性，可將其分為不同的類(lèi)別，不同類(lèi)別的節(jié)點(diǎn)和弧可通過(guò)不同的狀態(tài)向量進(jìn)行描述。節(jié)點(diǎn)可分為出行端點(diǎn)和非出行端點(diǎn)，出行端點(diǎn)表示一次出行的起點(diǎn)或終點(diǎn)，這類(lèi)節(jié)點(diǎn)集合用V1來(lái)表示，其中的元素用單變量r或s表示，即r,s∈V1；而非出行端點(diǎn)表示出行過(guò)程中的中間節(jié)點(diǎn)，這類(lèi)節(jié)點(diǎn)集合用V2來(lái)表示，其中的元素用二維向量(m,v)表示，即(m,v)∈V2，m和v分別表示節(jié)點(diǎn)的交通方式屬性和位置屬性。在多方式超級(jí)網(wǎng)絡(luò)中，弧可以分為上網(wǎng)弧、運(yùn)行弧、換乘弧和下網(wǎng)弧等四類(lèi)，不同類(lèi)型的弧的集合分別用A1、A2、A3、A4表示，即：

A=A1∪A2∪A3∪A4，

(2)

可用所連接的兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)來(lái)表示一條弧，例如上網(wǎng)弧可表示為{r,(m,v)}，運(yùn)行弧可表示為{(m,v1),(m,v2)}，換乘弧可表示為{(m1,v),(m2,v)}，而下網(wǎng)弧可表示為{(m,v),s}。

在多方式超級(jí)網(wǎng)絡(luò)中，出行者從起點(diǎn)到終點(diǎn)完成一次出行，需要經(jīng)歷上網(wǎng)、乘車(chē)、換乘、下網(wǎng)等一系列出行活動(dòng)，這些活動(dòng)可通過(guò)超網(wǎng)中具有序列關(guān)系的點(diǎn)或弧進(jìn)行描述。

在此，本文提出超路徑的概念來(lái)描述出行過(guò)程，定義：超路徑是指在多方式超級(jí)網(wǎng)絡(luò)中由起點(diǎn)到終點(diǎn)有連接關(guān)系的多方式交通網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)所組成的序列。例如，從起點(diǎn)r到終點(diǎn)s的一條超路徑可表示為：

r→(m1,v1)→(m1,v2)→…→(m1,vn)→(m2,vn)→…→(mn,vw)→s

(3)

在實(shí)際出行中，出行者不會(huì)考慮起點(diǎn)到終點(diǎn)之間所有連通的超路徑，因此，需要對(duì)超路徑進(jìn)行限定，本文將滿足下述條件的超路徑定義為有效超路徑，并假定出行者進(jìn)行出行選擇時(shí)僅考慮有效超路徑，將r-s之間的有效超路徑所組成的集合記為Krs：

(1)換乘次數(shù)不超過(guò)一個(gè)給定的最大值nmax；

(2)不存在連續(xù)換乘??；

(3)不包含回路；

在一條有效超路徑中，通常會(huì)包括多段連續(xù)運(yùn)行弧，也就是說(shuō)，出行者在進(jìn)行換乘之前，會(huì)在某一種交通子網(wǎng)中出行一段距離，然后在適當(dāng)?shù)膿Q乘點(diǎn)轉(zhuǎn)換到另外一種交通子網(wǎng)中。本文定義子路徑為：在多方式超級(jí)網(wǎng)絡(luò)的一條有效超路徑中，相鄰的上網(wǎng)弧、換乘弧和下網(wǎng)弧之間的運(yùn)行弧序列。顯然，有效超級(jí)路徑可以看成是由上網(wǎng)弧、子路徑、換乘弧以及下網(wǎng)弧所組成的。例如，在式(3)表示的超路徑中，以下節(jié)點(diǎn)序列則構(gòu)成了該超路徑的一條子路徑。

(m1,v1)→(m1,v2)→…→(m1,vn)。

(4)

圖1給出了一個(gè)簡(jiǎn)單的多方式超級(jí)網(wǎng)絡(luò)，在這個(gè)超網(wǎng)中包含4個(gè)子網(wǎng)，分別為小汽車(chē)子網(wǎng)(c)、電動(dòng)車(chē)子網(wǎng)(e)、自行車(chē)子網(wǎng)(b)和公交車(chē)子網(wǎng)(p)。

圖1 多方式超級(jí)網(wǎng)絡(luò)Fig 1 The multimodal super network

圖1中，r→(b,1)→(b,2)→(p,2)→(p,5)→(p,8)→(p,9)→s就是該超網(wǎng)絡(luò)中的一條有效超路徑，該有效超路徑中包含了自行車(chē)和公交兩種方式的子路徑。(p,2)→(p,5)→(p,8)→(p,9)是其中的一條公交車(chē)子路徑。

2 考慮距離因素的出行廣義費(fèi)用

在多方式交通網(wǎng)絡(luò)中，出行者在出行中既要選擇交通工具，還要選擇出行線路，影響出行者選擇的因素有很多，包括時(shí)間、花費(fèi)、換乘、舒適度等。在以前的研究中，很少考慮距離因素對(duì)出行者交通選擇的影響，然而，距離因素是影響出行者交通選擇，尤其是方式選擇的重要因素。例如，隨著距離的增加，出行花費(fèi)會(huì)增加，舒適度會(huì)下降，且不同方式對(duì)于距離的敏感性也是不同的。

根據(jù)以上分析，出行者的出行過(guò)程包括上網(wǎng)、車(chē)輛運(yùn)行、換乘及下網(wǎng)4個(gè)過(guò)程。相應(yīng)的，出行者在這些過(guò)程中所承擔(dān)的費(fèi)用可用這些弧段上的費(fèi)用來(lái)表示。超路徑費(fèi)用由上網(wǎng)費(fèi)用、子路徑費(fèi)用、換乘費(fèi)用和下網(wǎng)費(fèi)用組成，其中上網(wǎng)費(fèi)用、換乘費(fèi)用和下網(wǎng)費(fèi)用均為常數(shù)，是對(duì)時(shí)間費(fèi)用的適當(dāng)放大；而子路徑費(fèi)用可以由運(yùn)行弧費(fèi)用求得。

首先，構(gòu)建上、下網(wǎng)弧以及換乘弧的廣義費(fèi)用。而子路徑費(fèi)用可以由運(yùn)行弧費(fèi)用求得，包括時(shí)間費(fèi)用和價(jià)格費(fèi)用。其中，時(shí)間廣義費(fèi)用通過(guò)對(duì)子路徑的運(yùn)行時(shí)間適當(dāng)放大得到，放大因素包括道路擁擠、公交車(chē)車(chē)內(nèi)擁擠以及距離增加帶來(lái)的舒適度損耗成本；而子路徑的價(jià)格費(fèi)用則是距離的單調(diào)遞增函數(shù)。

根據(jù)以上分析，對(duì)各弧段的廣義費(fèi)用進(jìn)行分析和建模。

(1)上網(wǎng)弧和下網(wǎng)弧的廣義費(fèi)用

上網(wǎng)弧費(fèi)用是指出行者從出行起點(diǎn)到達(dá)相鄰網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)所花費(fèi)的時(shí)間，而下網(wǎng)弧費(fèi)用則表示出行者從最后的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)到出行終點(diǎn)所花費(fèi)的時(shí)間。通常，這兩類(lèi)弧上的費(fèi)用可以假定為常數(shù)，即：

(5)

(6)

(2)換乘弧廣義費(fèi)用

換乘弧的費(fèi)用是指換乘時(shí)間，由步行時(shí)間和等待時(shí)間組成，本文假定換乘時(shí)間為常數(shù)。由于換乘通常需要消耗體力，因此，換乘時(shí)間所產(chǎn)生的出行者心理感知費(fèi)用是對(duì)換乘時(shí)間的適度放大。節(jié)點(diǎn)(m1,v)到(m2,v)間的換乘費(fèi)用可表示為：

(7)

(3)子路徑廣義費(fèi)用

根據(jù)前面的定義，子路徑是由同一方式的運(yùn)行弧組成的，子路徑上的費(fèi)用表示出行者在某一方式子網(wǎng)內(nèi)出行一段距離所承擔(dān)的費(fèi)用。通常，影響出行者出行選擇的因素包括時(shí)間、價(jià)格、舒適度等，其中時(shí)間因素就是車(chē)輛的行駛時(shí)間，價(jià)格因素包括票價(jià)、油耗等，而舒適度則是指車(chē)輛內(nèi)部擁擠所產(chǎn)生的心理費(fèi)用。在實(shí)際的出行過(guò)程中，價(jià)格因素和舒適度因素均和車(chē)輛行駛距離有關(guān)，例如，交通價(jià)格(或者油耗)一般會(huì)隨著距離的增加而增加，而車(chē)內(nèi)的舒適度會(huì)隨著出行距離的增加而下降，并且不同方式的廣義費(fèi)用隨距離變化的趨勢(shì)也是不同的。

首先，在多方式超級(jí)網(wǎng)絡(luò)中，方式m的車(chē)輛在運(yùn)行弧上的行駛時(shí)間可表示為路段流量的單調(diào)增函數(shù)，如果考慮不同方式車(chē)輛之間的相互干擾，可采用式(8)所示的函數(shù)形式進(jìn)行計(jì)算[9]：

(8)

由于不同方式車(chē)輛的平均載客人數(shù)不同，因此，選擇不同交通方式的出行需求所形成的道路流量是不同的，可采用下式計(jì)算不同方式車(chē)輛的道路流量[9]：

(9)

此外，出行者乘坐車(chē)輛行駛過(guò)程中，除了出行時(shí)間的之外，還需要承擔(dān)由車(chē)內(nèi)擁擠所帶來(lái)的舒適性成本，尤其對(duì)于公交出行而言。因此，將方式m的出行時(shí)間放大，表示舒適度對(duì)于出行的影響，如式(10)所示。

(10)

同時(shí)，隨著出行距離的增加，由時(shí)間和舒適度所產(chǎn)生的費(fèi)用會(huì)逐漸放大，并且不同交通方式對(duì)距離的敏感性是不同的。因此，某一超路徑k上子路徑lk上的出行時(shí)間和舒適度成本如式(11)所示。

(11)

(12)

(13)

其中，am和bm表示與不同方式相關(guān)的待定參數(shù)。

在子路徑費(fèi)用中，除了時(shí)間和舒適度的心理感知費(fèi)用外，影響出行者交通行為的因素還有價(jià)格因素。對(duì)于小汽車(chē)來(lái)說(shuō)，這部分費(fèi)用包括油耗、過(guò)路費(fèi)等，對(duì)于公交而言，則為票價(jià)。通常，價(jià)格費(fèi)用與出行距離直接相關(guān)，距離越長(zhǎng)，所花費(fèi)價(jià)格越高?？梢杂檬?14)來(lái)表示OD對(duì)r-s之間方式為m的有效超路徑k上子路徑lk的價(jià)格費(fèi)用：

(14)

(15)

式中,τ為待定參數(shù)。

(16)

(17)

以路段流量為變量，超路徑的廣義費(fèi)用可表示成如下形式：

(18)

3 多方式交通網(wǎng)絡(luò)均衡配流模型

本文采用用戶平衡(user equilibrium，UE)準(zhǔn)則對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的流量進(jìn)行分配，該準(zhǔn)則也被稱為Wardrop平衡原則。當(dāng)交通網(wǎng)絡(luò)的流量分配達(dá)到平衡時(shí)，在OD對(duì)r-s之間的所有有效超路徑中，出行者所采用的各條路徑上的廣義費(fèi)用均相等，且不大于未被使用路徑上的出行費(fèi)用。其費(fèi)用和流量有如下關(guān)系：

(19)

(20)

其中：

r,s∈V1,k∈Krs,a∈A,m∈M}。

(21)

4 求解算法

本文采用連續(xù)平均算法(MSA算法)求解該UE平衡配流問(wèn)題[10]，具體步驟如下：

Step4:迭代更新，計(jì)算：

(22)

Step5:收斂性檢查。如果滿足

(23)

算法結(jié)束；否則，令n=n+1，轉(zhuǎn)Step2。

在求解本文的UE問(wèn)題時(shí)，需要確定最短有效超路徑，傳統(tǒng)的最短路徑搜索算法對(duì)本文所考慮的子路徑問(wèn)題無(wú)法描述，因此本文基于Dijkstra算法，提出考慮子路徑的超網(wǎng)絡(luò)最短有效超路徑搜索算法，具體步驟如下：

Step2：取Ci中的某一節(jié)點(diǎn)，如j：

(2)若弧(i,j)∈A2，判斷：

b)若弧m(i,j)=0，轉(zhuǎn)Step3；

(3)若(i,j)∈A3，判斷弧(pi,i)∈A3是否成立，是，則轉(zhuǎn)step6；否，轉(zhuǎn)Step4；

Step4：令n(r,j)=n(r,i)+1，判斷n(r,j)?nmax是否成立，是,轉(zhuǎn)step5；否，則轉(zhuǎn)Step6；

Step6: 將j從集合Ci中移除, 判斷Ci是否為空，是，轉(zhuǎn)入Step7；否，轉(zhuǎn)入Step2；

Step7:找出標(biāo)號(hào)為0的點(diǎn)中費(fèi)用最小的點(diǎn)，如j，令s(j)=1,并將j設(shè)為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，令K=K+1，轉(zhuǎn)Step8；

5 算例分析

以圖1所示的多模式交通網(wǎng)絡(luò)為例對(duì)說(shuō)明模型及算法進(jìn)行驗(yàn)證，對(duì)文中參數(shù)作如下取值：

(1)η=1.1，ε=0.001，τ=0.2；

各交通方式相關(guān)信息如表1～表3所示：

表1 弧段的相關(guān)信息

表2 上、下網(wǎng)弧及換乘弧相關(guān)數(shù)據(jù)

表3 交通模式的相關(guān)數(shù)據(jù)

首先分析MSA算法的收斂性，通過(guò)每次迭代中弧段{(c,1),(c,2)} 上小汽車(chē)和{(e,1),(e,2)}上電動(dòng)汽車(chē)出行需求的變化來(lái)表示算法的收斂性。圖2給出了MSA算法的前30次的計(jì)算結(jié)果。可以看出，MSA算法具有明顯的收斂性質(zhì)。

圖2 交通需求隨迭代次數(shù)的變化Fig.2 Variations of demands of car and electric car vs iteration times

用MATLAB對(duì)算例進(jìn)行求解，首先對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的參數(shù)賦值，求得各弧段以及子路徑的費(fèi)用，用第4部分中的最短超路徑搜索算法尋找最短路徑。對(duì)最短路徑采用全有全無(wú)配流，得到附加交通流，并更新各弧段的流量。重復(fù)以上過(guò)程，直至達(dá)到網(wǎng)絡(luò)平衡的收斂條件。本文中的簡(jiǎn)單算例，共有18條超路徑，經(jīng)程序計(jì)算，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，超網(wǎng)絡(luò)中的有效超路徑一共有5條，每條路徑的出行模式如表4所示。當(dāng)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，根據(jù)本文算法得到的各弧段上的交通需求如圖3所示。

表4 有效超路徑分配結(jié)果

從圖3的配流結(jié)果中可以看出，在有電動(dòng)汽車(chē)行駛的路段上(例如路段{(m,2),(m,3)})，小汽車(chē)的流量均為0，這是因?yàn)橄嗤窂缴想妱?dòng)汽車(chē)的廣義費(fèi)用比小汽車(chē)低，因此出行者會(huì)全部選擇電動(dòng)汽車(chē)。但是當(dāng)路徑的距離超出電量限制時(shí)，例如超路徑r-(e,1)-(e,4)-(e,7)- (e,8)-(e,9)-s，出行者便不能選擇電動(dòng)車(chē)出行。自行車(chē)流量只分布在路段{(b,1),(b,2)}上，其他路段上自行車(chē)的流量為0。這是因?yàn)樽孕熊?chē)只適宜在較短的距離內(nèi)出行，當(dāng)距離較長(zhǎng)時(shí)，自行車(chē)將消耗較大的人力，出行者便不會(huì)選擇，為了發(fā)揮自行車(chē)短距離出行的優(yōu)勢(shì)，自行車(chē)通常在多方式組合出行中采用。選擇單模式的出行量占90.75%，選擇多方式組合的出行量占9.25%，這是因?yàn)槎喾绞綋Q乘的費(fèi)用較高，導(dǎo)致出行廣義費(fèi)用增加，因此選擇多方式組合出行的流量較少。

圖3 平衡時(shí)超網(wǎng)絡(luò)的路段流量Fig 3 The link flow of super network at equilibrium

6 結(jié)語(yǔ)

本文基于圖論方法建立了用于描述多方式組合出行的超網(wǎng)絡(luò)模型，驗(yàn)證結(jié)果表明本文提出的模型和算法是有效的，并且說(shuō)明了距離是影響出行者方式選擇和路徑選擇的重要因素。距離既影響時(shí)間，又影響價(jià)格，無(wú)論是對(duì)出行者的路徑選擇或方式選擇都有著重要的影響，考慮距離因素更符合出行者的實(shí)際出行選擇。通過(guò)算例說(shuō)明了距離對(duì)出行選擇的影響，例如出行者僅在短距離出行中會(huì)選擇自行車(chē)，而長(zhǎng)距離中選擇其他交通工具，這一結(jié)果是與實(shí)際相符的。

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