幾何形體上積分的微元法教學(xué)

趙玉娟

（吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130022）

隨著現(xiàn)代社會的發(fā)展，數(shù)學(xué)教育的普及和日益廣泛的應(yīng)用，高等數(shù)學(xué)的用途越來越顯露出來。我們在教學(xué)中遇到了一個(gè)關(guān)于微積分的應(yīng)用問題，通過這個(gè)問題，使我們積累了培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題及培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力的經(jīng)驗(yàn)，嚴(yán)謹(jǐn)性與邏輯性的關(guān)系，以及解決實(shí)際問題過程中的全面性。尤其是邊界問題，極值問題與最值問題等的實(shí)際意義。

一、問題

1、我們把具有長度，面積，體積等形狀的物體統(tǒng)稱為幾何形體。幾何形體上的積分就是指多元函數(shù)的積分域是具有幾何形狀的物體上（包括曲線，曲面，區(qū)域，立體等）。其方法就是利用微元法。先化整為零，再“積零為整”。即把“大化小”，求出小幾何形體的度量，并把它看做一個(gè)“點(diǎn)”，這個(gè)點(diǎn)仍具有小度量的意義，再對這些“點(diǎn)”求和，即對幾何形體上求積分。具體方法如下：

2.舉例

當(dāng)幾何形體為空間區(qū)域時(shí)，我們計(jì)算質(zhì)點(diǎn)繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量問題。

例1設(shè)密度為常數(shù)ρ，底面半徑為R，厚度為常數(shù)h的圓柱立體，圓柱體的軸向上有4個(gè)螺母形“空柱”，分布于直徑上相互垂直的位置上，空柱半徑為求這個(gè)有“洞孔”（如圖2）且底面半徑為R，厚度為常數(shù)h圓柱繞其中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量，并討論轉(zhuǎn)動慣量何時(shí)最大。

解：首先建立空間直角坐標(biāo)系，以旋轉(zhuǎn)軸為oz軸，以底面為oxy面，以底面圓形中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角

轉(zhuǎn)動慣量I=m r2;其中r是質(zhì)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)軸的垂直距離，m是物體質(zhì)量。當(dāng)幾何形體的形狀為G時(shí)，其繞定軸L旋轉(zhuǎn)時(shí)的轉(zhuǎn)動慣量

圖1

圖2

圖3

圖4

其中r表示dG（看做點(diǎn)）到旋轉(zhuǎn)軸L的垂直距離，ρ表示幾何形體G的密度，dG表示幾何形體的度量（幾何形體的長度，面積，體積等總稱為幾何形體的度量）。

（1）先計(jì)算實(shí)心圓柱（如圖2）繞其中心軸（oz軸）旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量。

根據(jù)微元法，設(shè)在 oxy 面上，底面所占區(qū)域 D1=｛（x，y）│x2+y2≤R2}，在D1上點(diǎn) (x,y)處，取一小塊平面區(qū)域，記為 dσ，也用它表示面積；柱體上與dσ對應(yīng)的空間區(qū)域用dG表示，同時(shí)也用它表示體積dG=hdσ，則，把dG看做點(diǎn)(x,y,z)處的質(zhì)點(diǎn)，則dG其繞中心軸oz軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的轉(zhuǎn)動慣量；dI=r2dm=（x2+y2）ρhdσ；計(jì)算出轉(zhuǎn)動慣量

（2）設(shè)“空柱”的軸心位于距離整個(gè)柱體軸心a處，半徑為在底面上(在 oxy面上)位于點(diǎn)（a，0）處（參考圖 3），a滿足，取令則計(jì)算出此“空柱”部分的轉(zhuǎn)動慣量

利用積分區(qū)域的可加性，積分的輪換對稱性及轉(zhuǎn)動慣量的可加性，并利用（1）的結(jié)果，故有4個(gè)小圓“洞孔”的圓柱繞中心軸oz軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量為

其中帶有4個(gè)圓“洞孔”柱的立體質(zhì)量為m2=ρh[πR2-4π代入上式得

例2設(shè)密度為常數(shù)ρ，底面半徑為R，厚度為常數(shù)h的圓柱立體，圓柱體的其軸向上有4個(gè)扇形“空柱”，分布于直徑上相互垂直的位置上，扇形空柱半徑為，求這個(gè)有“洞孔”（如圖2）且底面半徑為R，厚度為常數(shù)h圓柱繞其中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量，并討論小扇形孔位于底面何處時(shí)轉(zhuǎn)動慣量最大，并與例1中的結(jié)果比較那種形狀的圓柱體轉(zhuǎn)動慣量更大。

解：畫出底面形狀在oxy面上圖形（如圖4），實(shí)心柱繞其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為

設(shè)扇形的頂點(diǎn)在（a，0）時(shí)，其中，先計(jì)算出圓柱上位于小扇形“洞孔”處的相應(yīng)部分繞oz軸的轉(zhuǎn)動慣量，由于在oxy面上，頂角為

根據(jù)積分區(qū)域可加性和積分的輪換對稱性及轉(zhuǎn)動慣量的可加性，并利用（1）的結(jié)果，故得有4個(gè)形狀相同的小扇形“洞孔”的圓柱繞中心軸oz軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量

二、結(jié)果的對比分析

（1）取時(shí)，得若R為常數(shù)，假設(shè)幾種不同形狀的圓柱體的質(zhì)量相等，即m1=m2=m3時(shí)，顯然I1＜I2且I1＜I3，即實(shí)心柱的轉(zhuǎn)動慣量I1最小。

（3）討論對于“孔洞”為扇形柱的柱體（底面圖形如圖4），

圖5

圖6

圖7

圖8

其轉(zhuǎn)動慣量可疑的極值點(diǎn)為，因?yàn)?＜a＜R，所以函數(shù)無極值。而a的值越大，轉(zhuǎn)動慣量就越??；a的值越小，轉(zhuǎn)動慣量也就也越大。當(dāng)a=0時(shí)，轉(zhuǎn)動慣量最大，此時(shí)圓柱體是一個(gè)空心柱。（圖7）；當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)“洞孔”圓柱與外緣相切（圖8）。

（4）對于例1的最小值和例2的最小值

這只是一個(gè)數(shù)學(xué)的應(yīng)用問題，是微積分的數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)。

在實(shí)踐教學(xué)中，我們一方面，要教會學(xué)生使用微元法，另一方面，要教會學(xué)生結(jié)合具體問題建立數(shù)學(xué)模型，這個(gè)模型其本質(zhì)上是高等數(shù)學(xué)中極值和最值問題。尤其是要注意的是邊界情況，要結(jié)合實(shí)際問題說明邊界點(diǎn)的重要性。慢慢培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)性，這對學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)提高是極好的訓(xùn)練。

三、數(shù)學(xué)模型教學(xué)的現(xiàn)實(shí)意義

通過上述模型的研究，顯示出多元微積分學(xué)應(yīng)用的重要性。

我們通過這個(gè)例題培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，并用所學(xué)的知識解決問題的能力，了解數(shù)學(xué)問題遍布生活的方方面面，只要你能注意到問題的存在，這對培養(yǎng)創(chuàng)新型人才具有現(xiàn)實(shí)意義。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中我們教給他們一些建模方法，對他們后續(xù)課程和未來的工作都是有益的，所謂厚積薄發(fā)。使學(xué)生了解數(shù)學(xué)不是抽象得離生活很遠(yuǎn)。及早培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的意識，數(shù)學(xué)是當(dāng)今時(shí)代必要的技術(shù)手段，學(xué)會用數(shù)學(xué)手段解決問題，是科學(xué)未來發(fā)展的必要基礎(chǔ)。

[1]趙玉娟等.知識經(jīng)濟(jì)時(shí)代的數(shù)學(xué)教學(xué)[J].現(xiàn)代教育科學(xué)，2004,（12）.

[2]COMAP（申大維等譯）.數(shù)學(xué)的原理與實(shí)踐[M].高等教育出版社,施普林格出版社，2004.