非均勻步長分步傅里葉算法的改進

韓星星,趙麗華

(西安交通大學(xué)城市學(xué)院物理教學(xué)部,陜西 西安 710018)

1 引 言

分步傅里葉算法(SSM)是一種數(shù)值算法,被廣泛用于模擬激光在湍流介質(zhì)中的傳輸和散射。此算法最早由Martin等人于1988年用于大氣湍流中的光傳輸中[1],并限定了算法的適用范圍。1990年,Martin針對算法中存在的邊界反射問題,提出了吸收邊界法對算法進行了改進,擴展了其應(yīng)用范圍[2]。2000年,Belmonte對算法中各參數(shù)取值問題進行了深入地研究,明確了參數(shù)取值范圍[3]。2005年,Belmonte 把分步算法擴展應(yīng)用到了雙程傳輸問題中,研究了漫射目標(biāo)回波平均強度隨著目標(biāo)高度的變化規(guī)律[4]。2006年,Xiao Xifeng等人把分步算法擴展到部分相干光束的傳輸模擬中,研究了湍流中部分相干光的閃爍問題[5-6]。2009年,錢仙妹等人研究了非均勻湍流中的波束傳輸模擬算法,比較了三種備用的間距選擇方案[7],結(jié)果顯示過大的相位屏間距會顯著增大誤差。之后分步算法雖多有應(yīng)用,但對參數(shù)取值問題的討論并沒有太大進展[8-14],算法中的邊界反射問題始終限制了相位屏間距的取值范圍,并造成較大的誤差。

本文針對邊界反射問題,對湍流大氣中激光波束斜程傳輸?shù)姆抡嫠惴ㄟM行了改進,在吸收邊界法的基礎(chǔ)上,引入濾波函數(shù)法,極大拓展了仿真步長的取值范圍。在此基礎(chǔ)上,模擬計算了激光沿斜程路徑上行及下行傳輸過程中相干長度及閃爍指數(shù)的變化規(guī)律,并與理論值進行了比較。

2 分步傅里葉算法

激光在湍流大氣中的傳輸過程可以用分步傅里葉算法來模擬,模擬過程如圖1所示。

圖1 分步傅里葉算法原理圖

步進公式[16]為:

(1)

等效相位屏Si(ρ′)由譜反演法生成,離散形式的相位屏生成公式為:

(2)

(3)

其中,r0是大氣相干長度:

(4)

大氣湍流結(jié)構(gòu)常數(shù)隨著離地面高度的分布為:

(5)

模擬默認(rèn)參數(shù)如下:D=0.6 m,N=512,λ=1.064 μm。

3 分步傅里葉算法步長取值要求

分步傅里葉算法把連續(xù)分布的湍流大氣的擾動等效為一系列隨機相位薄屏的擾動,這是一種近似行為,其適用范圍是有要求的。根據(jù)Martin和Flatte的研究結(jié)果[15],要保證相位屏近似成立,需:

(6)

從物理意義上講,分步算法是把光場分解為一系列不同方向的平面波,各平面波在真空中傳輸后在下一個相位屏前重新合成新的光場。方向不平行于傳播方向的光場在真空傳播過程中會超出相位屏范圍,但是在分步傅里葉算法中,相位屏中的能量是守恒的,這意味著向外發(fā)散的能量會被邊界反射回來,從而對屏上的場帶來誤差。

為了解決這個問題,傳統(tǒng)方法是給相位屏邊界設(shè)置一個吸收層,到達(dá)邊界一定距離的場被逐漸衰減。設(shè)吸收層的厚度為Da,一般Da的取值不超過相位屏寬度的1/8。對于距離邊界距離為xa的網(wǎng)格點,衰減系數(shù)為[15]:

Sa=[1-cos(πxa/Da)]/2

(7)

圖2是利用分步傅里葉算法模擬一個準(zhǔn)直高斯波束在真空中傳播5000 m后形成的光強分布曲線,其中,M是路徑上的相位屏數(shù)目。在無吸收邊界的情況下,光強分布曲線與相位屏數(shù)目無關(guān),高頻分量反射造成的光強的劇烈起伏充滿整個相位屏,此時的光場的模擬顯然是無效的。在設(shè)置吸收邊界的情況下,相位屏數(shù)越多,模擬得到的光強分布曲線與理論曲線越吻合。當(dāng)M=20時,在吸收邊界以內(nèi),光強模擬值與理論值已經(jīng)非常接近了。這說明吸收邊界可以有效地解決高頻分量的邊界反射問題。

圖2 在真空中利用分步傅里葉算法模擬準(zhǔn)直高斯波束傳輸距離L后的光強分布(附加吸收邊界),其中,L=5000 m,W0=0.5 cm

4 濾波函數(shù)法

在斜程路徑上,湍流主要分布在大氣底層,而在高空中湍流很弱。根據(jù)公式(6),超過一定高度后,不論路徑長度,只需要設(shè)置一個相位屏就可以。但圖2表明,吸收邊界對相位屏間距的拓展是有限的,即使不考慮湍流,步長超過一定值后也會引起較大誤差,步長的最大值約為250 m。

這種情況下,現(xiàn)有文獻(xiàn)中的解決方法是增加相位屏數(shù)目[4],但這會降低模擬效率。為了提高模擬效率,本文提出濾波函數(shù)法。

當(dāng)激光傳播極遠(yuǎn)的距離后,光軸附近的場會趨向于平面波,這意味著在屏間傳輸過程中高頻分量被衰減,低頻分量才能到達(dá)下一個相位屏,即相位屏間的自由傳輸相當(dāng)于一個低通濾波器。而傳統(tǒng)分步算法中各空間頻率分量的強度是不變的,這顯然不符合現(xiàn)實。因此需要給算法中引入一個低通濾波函數(shù)。濾波函數(shù)形式參照邊界吸收函數(shù):

(8)

其中,截止頻率為:

κh=kD/Δz

(9)

圖3顯示了使用濾波法模擬得到的準(zhǔn)直激光在傳播不同距離后的光強分布情況,在模擬過程中保持M=1。在相位屏中間區(qū)域,模擬結(jié)果與理論值吻合得很好,但在靠近邊界處,模擬結(jié)果出現(xiàn)較大的誤差。在不同傳播距離條件下,模擬結(jié)果有效的區(qū)間都大致相同,約為-D/4

圖3 在真空中利用分步傅里葉算法

5 大氣湍流中斜程路徑上相位屏的設(shè)置方式

在斜程路徑上,湍流沿路徑分布不均勻,高度越高,湍流越弱,相位屏之間的間距也應(yīng)該越大。但考慮到濾波函數(shù)法對有效區(qū)域縮減嚴(yán)重,不宜多用,因此綜合吸收邊界法和濾波函數(shù)法,圖4給出了一種斜程路徑上的相位屏設(shè)置方式,此路徑傾斜角(即路徑方向與水平面的夾角) θ=10°,地面處湍流結(jié)構(gòu)常數(shù)C0=1×10-13m-2/3,圖4中的曲線是湍流強度隨高度的分布,水平線代表了相位屏的位置。在z<1750 m這一段路徑上,相位屏均勻設(shè)置且間距250 m,相位屏附加吸收邊界。在z=1750 m處設(shè)置相位屏,同時附加吸收邊界和濾波函數(shù),其后不論路徑長度不再設(shè)置相位屏。

圖4 斜程路徑上的相位屏設(shè)置方式

圖5給出了準(zhǔn)直高斯波束(W0=3 cm)在湍流大氣中沿圖4所示的傾斜路徑上行、下行傳輸距離L=5 km的光斑樣本。

圖5 高斯波束在湍流中沿斜程路徑傳輸?shù)墓獍邩颖?/p>

由圖5可見,在上行路徑上,光束充滿了整個相位屏(除了邊界吸收區(qū)域內(nèi)),且形成較大的散斑。在下行路徑上,光束仍局限在相位屏中心較小區(qū)域內(nèi),形成的散斑也較小。這是因為對激光有明顯影響的湍流基本上只存在于距地面高度1500 m以下,上行傳輸?shù)募す庠诔跏茧A段就受到湍流的影響,相位受到較大的擾動,反映在接收屏上即光束的擴展較大。在之后的更長的路徑上,激光相當(dāng)于在真空中傳輸,散斑場在真空中傳輸越遠(yuǎn),散斑尺寸就越大。而下行波束則相反,在初始路徑上不受擾動,波束基本保持完全相干,在接近地面時光場才受到湍流的影響,形成了尺寸很小的散斑。

6 光斑統(tǒng)計特征計算驗證

6.1 相干長度

在大氣湍流中,模擬得到的每個光斑樣本都是隨機的,但這些光斑符合特定的統(tǒng)計特性。為了驗證本文提出的濾波函數(shù)法在湍流環(huán)境下的有效性,我們在模擬得到100個樣本的基礎(chǔ)上,統(tǒng)計計算了湍流中光場的散斑場尺寸和強度起伏方差,即相干長度和光強閃爍指數(shù),并與理論值作對比。

要計算光場的相干長度,首先要計算光場的相干度函數(shù)[14]:

(10)

其中,I(m,n)是對所有光斑樣本上在同一位置(m,n)上對光強求平均得到。

對所有的γ(iΔx,jΔx)求平均得到γT(iΔx,jΔx),沿幅角求平均可得相干度函數(shù)γ(ρ),利用γ(ρ0)=e-1得到接收場相干長度ρ0。

圖6是準(zhǔn)直激光波束激光沿斜程路徑傳輸時的場相干長度。可見模擬值與理論值吻合得很好,說明本文提出的濾波函數(shù)及相應(yīng)的相位屏設(shè)置方式是可行的。在大部分情況下,模擬值比理論值略小,尤其在上行路徑上,這時的波束發(fā)散比較強烈,雖然附加了吸收邊界和濾波函數(shù),及仍然不能完全消除部分高頻成分的邊界反射。

圖6 湍流大氣中激光波束斜程傳輸時相干長度模擬結(jié)果

在傳輸路徑較短時,激光經(jīng)過同樣距離的上行或下行傳輸后,相干長度差別很小,這是因為此時路徑全部位于湍流范圍中。隨著路徑長度的增大,上行路徑與下行路徑的差別越來越大,激光相干長度差別也越大。在下行路徑上,相干長度隨著路徑長度的增大而逐漸減小,最終穩(wěn)定在1 cm左右,所以在大多數(shù)下行傳輸?shù)膶嶋H應(yīng)用中,如衛(wèi)星對地面的激光通信中,不論衛(wèi)星高度如何,地面接受到的激光散斑大小是固定的。相干長度逐漸減小。隨著路徑長度的增大,上行路徑和下行路徑上波束特性的差別越來越大。在上行路徑上,相干長度存在一個最小值,在越過最小值位置后,路徑越長,激光散斑越大。這和圖5中得到的信息是一致的。

6.2 閃爍指數(shù)

光斑的閃爍指數(shù)是另一個很重要的統(tǒng)計量,由于光斑不同位置處,閃爍指數(shù)是不同的,本文只統(tǒng)計計算了光斑的中心閃爍指數(shù)。理論上只能利用相位屏中心點處光強來統(tǒng)計,但實際上為了節(jié)省計算量,光斑中心一個圓域內(nèi)的所有點都可以作為有效點。假設(shè)光斑的有效半徑為We,有效區(qū)域半徑取為Ne=0.2We/Δx。

對于每個光斑樣本,都得到對應(yīng)的閃爍指數(shù)[14]:

(11)

對所有光斑的閃爍指數(shù)求平均得:

(12)

圖7是準(zhǔn)直激光波束激光沿斜程路徑傳輸時的閃爍指數(shù)。理論顯示對于同一條路徑,上行傳輸和下行傳輸時的閃爍指數(shù)是相同的。模擬得到的閃爍指數(shù)比理論值略大,而下行路徑上的閃爍指數(shù)又比上行路徑上的大,但總體來說三條曲線之間的誤差在合理范圍內(nèi),本文提出的算法是可行的。

圖7 湍流大氣中激光波束斜程傳輸時閃爍指數(shù)模擬結(jié)果

7 結(jié) 論

本文主要研究了斜程路徑上相位屏的設(shè)置問題,結(jié)果顯示吸收邊界法可以有效提高分步算法的效率(更少的相位屏)和精度(更小的誤差),但步長存在上限。而濾波函數(shù)法徹底消除了對步長的上限(在真空中),但是相位屏有效區(qū)域縮小較嚴(yán)重(只有整個相位屏面積的1/4)。兩種方法相結(jié)合用于大氣湍流中激光波束斜程傳輸?shù)姆抡?減小了相位屏的設(shè)置,提高了仿真效率。在此基礎(chǔ)上,本文對斜程湍流中激光光斑的相干長度及閃爍指數(shù)進行了統(tǒng)計計算,結(jié)果與Rytov理論給出的結(jié)果比較吻合,再一次證明了本文提出的算法的有效性。

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