利用幾何畫板進(jìn)行探究教學(xué)

江蘇省灌云高級(jí)中學(xué) (222200) 商再金江蘇省太湖高級(jí)中學(xué) (214125) 翟洪亮

數(shù)學(xué)軟件的開發(fā)為數(shù)學(xué)教學(xué)提供檢驗(yàn)和猜想的工具，這使我們的教學(xué)方式發(fā)生變化，可以讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的實(shí)驗(yàn)過(guò)程中去感受、體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)．?dāng)?shù)學(xué)軟件幾何畫板(TheGeometer'sSketchpad)是以點(diǎn)、線、圓為基本元素，通過(guò)對(duì)這些基本元素的變換、構(gòu)造、度量、計(jì)算、動(dòng)畫、跟蹤軌跡等，構(gòu)造出其他較為復(fù)雜的幾何圖形，其最大特點(diǎn)是“動(dòng)態(tài)性”，給學(xué)生以直觀生動(dòng)的啟示，促進(jìn)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解，加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)．現(xiàn)通過(guò)具體案例介紹其在探究教學(xué)中的使用，歡迎大家批評(píng)指正．

1 計(jì)算坐標(biāo)比值，探究三點(diǎn)共線

指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)是兩個(gè)重要的初等函數(shù)，它們之間存在著特定的函數(shù)關(guān)系．它們與正比例函數(shù)之間的交匯問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)．在蘇教版高中數(shù)學(xué)必修1教材第111頁(yè)的18題中，所給兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的底之間存在特殊關(guān)系，要求學(xué)生用換底公式和相似知識(shí)加以證明．

圖1

案例1 如圖1，已知過(guò)原點(diǎn)O的直線與函數(shù)y=log8x的圖像交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B作y軸的平行線，與函數(shù)y=log2x的圖像交于C，D兩點(diǎn)．

(1)試?yán)孟嗨菩缘闹R(shí)，證明O，C，D在同一直線上；

(2)當(dāng)BC∥x軸時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

問(wèn)題(1)中所給兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的底之間存在特殊關(guān)系，得到結(jié)論O，C，D三點(diǎn)在同一直線上．若改為一般的兩個(gè)不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)，能否也有結(jié)論O，C，D三點(diǎn)在同一直線上？利用幾何畫板進(jìn)行如下探究：

圖2

由于底數(shù)相同的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)之間互為反函數(shù)，故可讓學(xué)生證明：

圖3

結(jié)論如圖3，已知過(guò)原點(diǎn)O的直線與函數(shù)y=ax的圖像交于A，B兩點(diǎn)，與函數(shù)y=bx的圖像交于C，D兩點(diǎn)．求證：AC∥BD．

2.拖動(dòng)多點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，演示極值性質(zhì)

高考試題是經(jīng)過(guò)專家組的精心命制而成，有些試題初看起來(lái)很平常，實(shí)際上卻豐富多彩，蘊(yùn)涵著漂亮的結(jié)論，有較大的研究空間和教學(xué)價(jià)值.我們可以利用幾何畫板拖動(dòng)多點(diǎn)展示涉及多個(gè)參數(shù)問(wèn)題的內(nèi)在規(guī)律，激發(fā)學(xué)生探究熱情．

案例2 (2016年天津市高考文科試卷第20題)設(shè)函數(shù)f(x)=x3-ax-b,x∈R，其中a,b∈R..

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若f(x)存在極值點(diǎn)x0，且f(x1)=f(x0)，其中x1≠x0,求證：x1+2x0=0；

圖4

證明:f′(x)=3ax2+2bx+c，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1,x2，則方程3ax2+2bx+c=0的△=4b2-12ac>0，則方程3ax2+2bx+c=0的兩根為

易知當(dāng)x∈(-∞,x1)時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在(-∞,x1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)在(x1,x2)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在(x2,+∞)上單調(diào)遞增．

在圖像上以極值點(diǎn)x1為橫坐標(biāo)的點(diǎn)記為A(x1,y1)，過(guò)點(diǎn)A作平行于x軸的直線AC交函數(shù)f(x)的圖像于C點(diǎn)，則x1=xA,f(xC)=f(x1)=y1.

3 改變?cè)匚恢?，展示圖形定性

解析幾何中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題是各地高考試卷的熱點(diǎn)之一．對(duì)于解析幾何中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題，可以先利用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)畫演示，然后再激發(fā)學(xué)生去證明．

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1，證明：l過(guò)定點(diǎn)．

對(duì)于此題，給出多余條件，讓學(xué)生先排除再求解．由直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1，直線l過(guò)定點(diǎn)(2,-1)是在定直線y=-1上．對(duì)于此題，可以利用幾何畫板引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下探究：

圖5

由于點(diǎn)P(0,b)是橢圓的上頂點(diǎn)，位置特殊，因此自然地聯(lián)想到其他頂點(diǎn)時(shí)的情況，利用幾何畫板演示，同樣引導(dǎo)學(xué)生探究可得：

對(duì)于上述結(jié)論，可以繼續(xù)讓學(xué)生在圓、雙曲線和拋物線中進(jìn)行自主探究，去發(fā)現(xiàn)類似的結(jié)論，形成體系加深認(rèn)識(shí).

縱觀上述案例，幾何畫板制作的多媒體CAI課件能夠生動(dòng)形象地描述教學(xué)中的復(fù)雜問(wèn)題的幾何關(guān)系，深刻地揭示問(wèn)題的內(nèi)在規(guī)律，通過(guò)探究可以培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和創(chuàng)造能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高課堂教學(xué)的有效性.