引導(dǎo)學(xué)生觀察問題 培養(yǎng)學(xué)生解題能力

廣東梅州市大埔縣虎山中學(xué) (514299) 江中偉

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，觀察是一種很重要的思維活動，要想學(xué)好數(shù)學(xué)，首先要學(xué)會觀察.觀察的對象可分為兩類：一類是用符號、字母、數(shù)字所表示的或文字所表示的數(shù)學(xué)關(guān)系式、命題或問題；另一類是圖表、圖像、幾何圖形.觀察是解題的基礎(chǔ)，是思維的起點.因而在數(shù)學(xué)例題教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生勤于觀察、善于觀察的良好習(xí)慣，對提高學(xué)生的解題能力、數(shù)學(xué)素質(zhì)十分重要.現(xiàn)結(jié)合本人的教學(xué)實踐，談?wù)勗诶}教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生進行觀察，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的.

一、引導(dǎo)學(xué)生觀察題設(shè)和結(jié)論的特征——培養(yǎng)學(xué)生解題能力

在數(shù)學(xué)例題教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過對題目中的條件和結(jié)論特征的仔細觀察，可以建立起聯(lián)系它們的橋梁，從而由已知通向未知.這是解題常使用的一種觀察方法.

例1 若a+b-c=0，證明直線系ax+by+c=0恒過一定點.

分析：觀察條件式和直線系方程的形式，并加以比較，然后分別將直線系方程和條件式變成-ax-by-c=0①,-a·(-1)-b·(-1)-c=0②

對照①、②，發(fā)現(xiàn)點(-1,-1)在直線上，故知直線系恒過定點(-1,-1).

二、引導(dǎo)學(xué)生觀察命題式子結(jié)構(gòu)特征——培養(yǎng)學(xué)生解題能力

在數(shù)學(xué)解題中，有些數(shù)學(xué)問題，一時難以觀察到某些特征.但是如果教師引導(dǎo)學(xué)生對問題稍加分析，使得對某些特征初有感知，然后再根據(jù)其特征，應(yīng)用這些已知條件去尋找解決問題的思路，?？烧业浇忸}的捷徑.

分析：此題一時無從下手，仔細觀察條件中自變量的取值特征，聯(lián)想到數(shù)列求和的“倒序相加法”，便可獲得下述簡捷解法.

三、引導(dǎo)學(xué)生觀察命題相應(yīng)的圖像(圖形)特征——培養(yǎng)學(xué)生解題能力

圖像(圖形)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的重要組成部分，在各種考試中都有和圖像(圖形)有關(guān)的一些問題出現(xiàn)，而這類問題卻是教學(xué)中的薄弱部分，主要是學(xué)生不善于通過直觀的圖像(圖形)來觀察思考問題.所以教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會對圖像(圖形)的觀察是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要組成部分.

例3 已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖像(如圖)，則 .

(A)b∈(-∞,0) (B)b∈(0,1),

(C)b∈(1,2) (D)b∈(2,+∞).

分析：這是一道創(chuàng)新試題，有利于培養(yǎng)學(xué)生閱讀圖像獲取信息的能力.教師引導(dǎo)學(xué)生對圖1進行觀察，可以獲取各種有價值的信息，形成以下兩種思路：

思路1：由此題的函數(shù)圖像可以聯(lián)想到高次不等式時所用的圖像法.

∵a>0,x1、x2、x3為圖像與X軸的交點,x1=2,x2=1,x3=0.∴ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=a(x-2)(x-1)(x-0),∴f(x)=ax3-3ax2+2ax,∴b=-3a<0.故選(A).

思路2：函數(shù)f(x)的圖像過原點，即f(0)=0，得d=0，又因為f(x)的圖像過點(1,0)，得f(1)=a+b+c=0…①,由圖像得f(-1)<0，即-a+b-c<0…②,由①+②得2b<0，∴b<0，故選(A).

四、引導(dǎo)學(xué)生觀察題設(shè)有無隱含條件——培養(yǎng)學(xué)生解題能力

當(dāng)解決某些問題感到“條件不夠”或“無從下手”時，教師要引導(dǎo)學(xué)生特別注意深入觀察是否還有隱含條件沒有挖掘.

例4 下面這道填空題因印刷原因造成橫線上的內(nèi)容無法認清，現(xiàn)知結(jié)論，請在橫線上填寫原題的一個條件.

五、引導(dǎo)學(xué)生觀察能否變換代用公式——培養(yǎng)學(xué)生解題能力

有些命題的式子，初看似乎不能代用公式，教師引導(dǎo)學(xué)生通過變換觀察，發(fā)現(xiàn)可以代用公式，從而解決問題.

tan40°.

分析：初看20°和40°都是非特殊角，似乎不能求值.但教師引導(dǎo)學(xué)生觀察注意到20°+40°=60°，從而聯(lián)想到兩角和正切公式的變形，易得.因此

原式=tan(20°+40°)(1-tan20°tan40°)+

在解決此題后，讓學(xué)生完成下列各題.

六、引導(dǎo)學(xué)生觀察命題的整體結(jié)構(gòu)——培養(yǎng)學(xué)生解題能力

在例題教學(xué)中，有的學(xué)生往往只觀察到問題的一個方面而忽視整體，從而無法解決問題.在進行觀察時，教師要引導(dǎo)學(xué)生從整體中看部分，從部分中把握整體，才能真正抓住問題的關(guān)鍵，從而達到意想不到的效果.

七、引導(dǎo)學(xué)生觀察問題的極限情形——培養(yǎng)學(xué)生解題能力

數(shù)學(xué)問題的表現(xiàn)形式是多種多樣的，在有些情況下不利于我們對問題的解決作出判斷，而此時教師引導(dǎo)學(xué)生考慮利用與已知問題等價的某種特殊形式來思考分析，這就是一種極限觀察問題的方法.

(A)2<λ≤4 (B)3<λ<4.

(C)2.5<λ≤3.5 (D)3.5≤λ<5.5

分析：若此四面體是正四面體，則λ=4，否則λ<4;若此四面體的高(相對于某一面)無限接近于0時，λ→2，否則λ>2,故選(A).

例8 在正n棱錐中，相鄰兩個側(cè)面所成的二面角的取值范圍為( ).

因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過不同的觀察，可以得到許多有效的解題途徑.如果在教學(xué)中教師能有目的地引導(dǎo)學(xué)生觀察分析問題，長此以往，必能提高學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).